人教A版高二数学教材(必修二)
新人教A版高中数学必修二《8.6.3平面与平面垂直》教学设计
人教A 版必修第二册§8.6.3 平面与平面垂直教学设计一、教学内容分析本节课选自普通高中课程标准实验教科书人教版必修必修第二册第八章《立体几何初步》第六节《空间直线、平面的垂直》，主要为两个平面互相垂直的定义、两个平面互相垂直的判定定理，是一节新授课。
平面与平面的垂直关系是“立体几何初步”章节中的又一个重点，是继直线、平面的平行关系，直线与平面的垂直关系之后的迁移与拓展，是“类比”与“转化”思想的又一重要体现。
这一节的学习对理顺“立体几何初步”章节的知识结构体系、提高学生的综合能力起着十分重要的作用。
平面与平面垂直是平面与平面相交的特殊情况，生活中平面与平面垂直的例子大量存在，引导学生观察、发现大量实例，通过类比直线、平面平行关系的判定以及直线与平面垂直的判定，提出“平面与平面垂直判”判定的猜想，选择“如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面互相垂直”等典型猜想进行说理。
本节课中，几何直观、空间想象、合情推理和论证推理的结合有助于学生数学核心素养的培养。
二、教学目标与核心素养课程目标学科素养1.通过实例，学生运用类比的思想，独立探索空间中两个平面互相垂直的定义方法，体会定义一个数学对象的基本思想；2.熟悉线线垂直、线面垂直的转化；3.通过运用所学定理的过程，达到巩固理解所学知识的目标，提高学生类比化归能力，培养学生降低空间维数的转化与化归1.数学抽象、直观想象：平面与平面垂直的定义；2.逻辑推理：用定理证明垂直关系；三、学情分析经过前面的学习，学生有了“通过观察、操作并抽象概括等活动获得数学结论”的体会，有了一定的几何直观能力、推理论证能力等，能较准确地使用图形和数学语言表述几何对象的位置关系；已了解“平行关系”的性质和判定方法，以及直线与直线、直线与平面“垂直关系”的性质和判定方法；已基本掌握解决空间问题的一般方法—平面化，具备学习本节课所需的知识。
然而，学生的能力发展正处于由形象思维向抽象思维转折的阶段，但更注重形象思维，对两个平面的垂直关系还停留在感性的认识阶段，没有上升到理论。
人教A版高中数学必修二课件 《空间直线、平面的垂直》(直线与直线垂直、直线与平面垂直的定义及判定)
3．[变条件]本例中的条件“AE⊥PB 于点 E， AF⊥PC 于点 F”，改为“E，F 分别是 AB， PC 的中点，PA＝AD”，其他条件不变，求证： EF⊥平面 PCD.
证明：取 PD 的中点 G，连接 AG，FG. 因为 G，F 分别是 PD，PC 的中点， 所以 GF═∥12CD，又 AE═ ∥12CD，所以 GF═ ∥AE， 所以四边形 AEFG 是平行四边形，所以 AG∥EF. 因为 PA＝AD，G 是 PD 的中点， 所以 AG⊥PD，所以 EF⊥PD， 易知 CD⊥平面 PAD，AG⊂平面 PAD， 所以 CD⊥AG，所以 EF⊥CD. 因为 PD∩CD＝D，所以 EF⊥平面 PCD.
8．6 空间直线、平面的垂直 第1课时直线与直线垂直、直线与平面垂直的定义及判定
第八章 立体几何初步
考点
学习目标
核心素养
会用两条异面直线所成角的
直观想象、逻辑
异面直线所成的 定义，找出或作出异面直线
推理、
角
所成的角，会在三角形中求简
数学运算
单的异面直线所成的角
第八章 立体几何初步
考点
学习目标
核心素养
所以∠GFE(或其补角)就是异面直线 EF 与 AB 所成的角，EG ＝GF. 因为 AB⊥CD，所以 EG⊥GF. 所以∠EGF＝90°. 所以△EFG 为等腰直角三角形． 所以∠GFE＝45°， 即 EF 与 AB 所成的角为 45°.
直线与平面垂直的定义
(1)直线 l⊥平面 α，直线 m⊂α，则 l 与 m 不可能( )
解析：当 l 与 α 内的一条直线垂直时，不能保证 l 与平面 α 垂 直，所以①不正确；当 l 与 α 不垂直时，l 可能与 α 内的无数条 平行直线垂直，所以②不正确，③正确．根据线面垂直的定义， 若 l⊥α，则 l 与 α 内的所有直线都垂直，所以④正确． 答案：③④
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1．1.1棱柱、棱锥、棱台的结构特征课前自主预习知识点一空间几何体的定义、分类及相关概念1．空间几何体的定义2．空间几何体的分类3．相关概念知识点二棱柱的结构特征1．棱柱的定义、图形及相关概念2．棱柱的分类(1)依据：□6底面多边形的边数．(2)举例：三棱柱(底面是三角形)、四棱柱(底面是四边形)……知识点三棱锥的结构特征1．棱锥的定义、图形及相关概念2．棱锥的分类(1)依据：□6底面多边形的边数．(2)举例：□7三棱锥(底面是三角形)□8四棱锥(底面是四边形)……知识点四棱台的结构特征1．棱台的定义、图形及相关概念2．棱台的分类(1)依据：□5由几棱锥截得．(2)举例：□6三棱台(由三棱锥截得)、四棱台(由四棱锥截得)……判断棱柱、棱锥、棱台形状的方法(1)棱柱：①两个面互相平行；②其余各面是四边形；③相邻两个四边形的公共边互相平行．(2)棱锥：①只有一个面是多边形，此面即为底面；②侧棱相交于一点．(3)棱台：①两个互相平行的面，即为底面；②侧棱延长后相交于一点．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)棱柱的侧面可以不是平行四边形．()(2)各面都是三角形的多面体是三棱锥．()(3)(教材改编，P8，T1(2))棱台的上下底面互相平行，且各侧棱延长线相交于一点．()答案(1)×(2)×(3)√2．做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)面数最少的多面体的面的个数是________．(2)三棱锥的四个面中可以作为底面的有________个．(3)四棱台有________个顶点，________个面，________条边．答案(1)四(2)四(3)八六十二3．(教材改编，P7，T2)有两个面平行的多面体不可能是()A．棱柱B．棱锥C．棱台D．以上都错答案 B课堂互动探究探究1对棱柱、棱锥、棱台概念的理解例1下列命题中，真命题有________．①棱柱的侧面都是平行四边形；②棱锥的侧面为三角形，且所有侧面都有一个公共点；③棱台的侧面有的是平行四边形，有的是梯形；④棱台的侧棱所在直线均相交于同一点；⑤多面体至少有四个面．解析棱柱是由一个平面多边形沿某一方向平移而形成的几何体，因而侧面是平行四边形，故①对．棱锥是由棱柱的一个底面收缩为一个点而得到的几何体，因而其侧面均是三角形，且所有侧面都有一个公共点，故②对．棱台是棱锥被平行于底面的平面所截后，截面与底面之间的部分，因而其侧面均是梯形，且所有的侧棱延长后均相交于一点(即原棱锥的顶点)，故③错④对．⑤显然正确.因而真命题有①②④⑤.答案①②④⑤拓展提升关于棱柱、棱锥、棱台结构特征问题的解题方法(1)根据几何体的结构特征的描述，结合棱柱、棱锥、棱台的定义进行判断，注意判断时要充分发挥空间想象能力，必要时做几何模型通过演示进行准确判断．(2)解决该类题目需准确理解几何体的定义，要真正把握几何体的结构特征，并且学会通过举反例对概念类的命题进行辨析，即要说明一个命题是错误的，设法举出一个反例即可．【跟踪训练1】下列关于棱锥、棱台的说法：①棱台的侧面一定不会是平行四边形；②由四个平面围成的封闭图形只能是三棱锥；③棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥．其中正确说法的序号是________．答案①②解析①正确，棱台的侧面一定是梯形，而不是平行四边形；②正确，由四个平面围成的封闭图形只能是三棱锥；③错误，如图所示四棱锥被平面截成的两部分都是棱锥．探究2对棱柱、棱锥、棱台的识别与判断例2如图长方体ABCD－A1B1C1D1，(1)这个长方体是棱柱吗？如果是，是几棱柱？为什么？(2)用平面BCEF把这个长方体分成两部分，各部分的几何体还是棱柱吗？解(1)是棱柱．是四棱柱，因为长方体中相对的两个面是平行的，其余的每个面都是矩形(四边形)，且每相邻的两个矩形的公共边都平行，符合棱柱的结构特征，所以是棱柱．(2)截后的各部分都是棱柱，分别为棱柱BB1F－CC1E和棱柱ABF A1－DCED1.[条件探究]若本例(2)中将平面BCEF改为平面ABC1D1，则分成的两部分各是什么体？解截后的两部分分别为棱柱ADD1－BCC1和棱柱AA1D1－BB1C1.拓展提升棱柱判断的方法判断棱柱，依据棱柱的定义，先确定两个平行的面——底面，再判断其余面——侧面是否为四边形及侧棱是否平行．【跟踪训练2】判断下图甲、乙、丙所示的多面体是不是棱台？解根据棱台的定义，可以得到判断一个多面体是不是棱台的标准有两个：一是共点，二是平行，即各侧棱延长线要交于一点，上、下两个底面要平行，二者缺一不可．据此，在图甲中多面体侧棱延长线不相交于同一点，不是棱台；图乙中多面体不是由棱锥截得的，不是棱台；图丙中多面体虽是由棱锥截得的，但截面与底面不平行，因此也不是棱台．探究3空间几何体的展开图问题例3如下图是三个几何体的侧面展开图，请问各是什么几何体？解由几何体的侧面展开图的特点，结合棱柱，棱锥，棱台的定义，可把侧面展开图还原为原几何体，如图所示：所以(1)为五棱柱，(2)为五棱锥，(3)为三棱台．拓展提升空间几何体的展开图(1)解答空间几何体的展开图问题要结合多面体的结构特征发挥空间想象能力和动手能力．(2)若给出多面体画其展开图，常常给多面体的顶点标上字母，先把多面体的底面画出来，然后依次画出各侧面．(3)若是给出表面展开图，则按上述过程逆推．【跟踪训练3】根据如下图所给的平面图形，画出立体图．解将各平面图折起来的空间图形如下图所示．1.正确理解多面体的概念对多面体概念的理解，注意以下两个方面：(1)多面体是由平面多边形围成的，不是由圆面或其他曲面围成，也不是由空间多边形围成．(2)我们所说的多边形包括它内部的部分，故多面体是一个“封闭”的几何体．2.正确理解棱柱的定义可以从以下三个方面理解棱柱：(1)棱柱的两个主要结构特征：①有两个面平行；②各侧棱都平行，各侧面都是平行四边形．通俗地讲，棱柱“两头一样平，上下一样粗”．(2)有两个面互相平行，并不表明只有两个面互相平行，如长方体，有三组对面互相平行，其中任意一组对面都可以作为底面．(3)从运动的观点来看，棱柱也可以看成是一个平面多边形从一个位置沿一条不与其共面的直线运动到另一位置时，其运动轨迹所形成的几何体．3.正确认识棱锥的结构特征棱锥是一种非常重要的多面体，它有两个本质特征：(1)有一个面是多边形；(2)其余各面都是有一个公共顶点的三角形．4.正确认识棱台的结构特征(1)上底面与下底面是互相平行的相似多边形；(2)侧面都是梯形；(3)侧棱延长线必相交于一点．5.立体图形的展开和平面图形的折叠立体图形的展开或平面图形的折叠是培养空间立体感的较好方法，解此类问题可以结合常见几何体的定义和结构特征，进行空间想象或亲自动手制作侧面展开图进行实践.课堂达标自测1．下列说法中，正确的是()A．棱柱中所有的侧棱都相交于一点B．棱柱中互相平行的两个面叫做棱柱的底面C．棱柱的侧面是平行四边形，而底面不是平行四边形D．棱柱的侧棱相等，侧面是平行四边形答案 D解析A选项不符合棱柱的特点；B选项中，如图①，构造四棱柱ABCD－A1B1C1D1，令四边形ABCD是梯形，可知平面ABB1A1∥平面DCC1D1，但这两个面不能作为棱柱的底面；C选项中，如图②，底面ABCD可以是平行四边形；D选项是棱柱的特点．故选D.2．下列三种叙述，正确的有()①用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台；②两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台；③有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台．A．0个B．1个C．2个D．3个答案 A解析本题考查棱台的结构特征．①中的平面不一定平行于底面，故①错；②③可用如图的反例检验，故②③不正确．故选A.3．下列图形中，不是三棱柱展开图的是()答案 C解析本题考查三棱柱展开图的形状．显然C无法将其折成三棱柱，故选C.4．下列说法中，正确的是()①棱锥的各个侧面都是三角形；②有一个面是多边形，其余各面都是三角形，由这些面围成的几何体是棱锥；③四面体的任何一个面都可以作为棱锥的底面；④棱锥的各侧棱长相等．A．①②B．①③C．②③D．②④答案 B解析由棱锥的定义，知棱锥的各侧面都是三角形，故①正确；有一个面是多边形，其余各面都是三角形，如果这些三角形没有一个公共顶点，那么这个几何体就不是棱锥，故②错误；四面体就是由四个三角形所围成的几何体，因此四面体的任何一个面作底面的几何体都是三棱锥，故③正确；棱锥的侧棱长可以相等，也可以不相等，故④错误．5．一个棱柱有10个顶点，所有的侧棱长的和为60 cm，则每条侧棱长为________cm.答案12解析由n棱柱有2n个顶点，于是知此棱柱为五棱柱，故有5条侧棱．又每条侧棱长都相等，且和为60 cm，可知每条侧棱长为12 cm.课后课时精练A级：基础巩固练一、选择题1．下列几何体中，柱体有()A．1个B．2个C．3个D．4个答案 D解析根据棱柱的定义知，这4个几何体都是棱柱．2．下列图形经过折叠可以围成一个棱柱的是()答案 D解析图A缺少一个面；图B有五个侧面而两底面是四边形，多了一个侧面；图C也是多一个侧面，故选D.3．具有下列哪个条件的多面体是棱台()A．两底面是相似多边形的多面体B．侧面是梯形的多面体C．两底面平行的多面体D．两底面平行，侧棱延长后交于一点的多面体答案 D解析棱台是由棱锥截得的，因此一个几何体要是棱台应具备两个条件：一是上、下底面平行，二是各侧棱延长后必须交于一点，选项C只具备一个条件，选项A，B则两条件都不具备．4．某同学制作了一个对面图案相同的正方体礼品盒(如图)，则这个正方体礼品盒的表面展开图应该为()答案 A解析两个☆不能并列相邻，B、D错误；两个※不能并列相邻，C错误，故选A.也可通过实物制作检验来判定．5．下列三种叙述，其中正确的有()①两个底面平行且相似，其余的面都是梯形的多面体是棱台；②如图所示，截正方体所得的几何体是棱台；③有两个面互相平行，其余四个面都是梯形的六面体是棱台．A．0个B．1个C．2个D．3个答案 A解析①不正确，因为不能保证各侧棱的延长线交于一点；②不正确，因为侧棱延长后不交于一点；③不正确，因为它们的侧棱延长后不一定交于一点，用一个平行于楔形底面的平面去截楔形，截得的几何体虽有两个面平行，其余各面是梯形，但它不是棱台．二、填空题6．对棱柱而言，下列说法正确的序号是________．①有两个平面互相平行，其余各面都是平行四边形；②所有的棱长都相等；③棱柱中至少有2个面的形状完全相同；④相邻两个面的交线叫做侧棱．答案①③解析①正确，根据棱柱的定义可知；②错误，因为侧棱与底面上的棱长不一定相等；③正确，根据棱柱的特征知，棱柱中上下两个底面一定是全等的，棱柱中至少有两个面的形状完全相同；④错误，因为底面和侧面的交线不是侧棱．7.如图，正方形ABCD中，E，F分别为CD，BC的中点，沿AE，AF，EF将其折成一个多面体，则此多面体是________．答案三棱锥(或四面体)解析此多面体由四个面构成，故为三棱锥，也叫四面体．8．长方体AC1的长、宽、高分别为3、2、1，从A到C1沿长方体的表面的最短距离为________．答案3 2解析如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝3，BC＝2，BB1＝1.如图(1)所示，将侧面ABB1A1和侧面BCC1B1展开，则有AC1＝52＋12＝26，即经过侧面ABB1A1和侧面BCC1B1时的最短距离是26；如图(2)所示，将侧面ABB1A1和底面A1B1C1D1展开，则有AC1＝32＋32＝32，即经过侧面ABB1A1和底面A1B1C1D1时的最短距离是32；如图(3)所示，将侧面ADD1A1和底面A1B1C1D1展开，则有AC1＝42＋22＝25，即经过侧面ADD1A1和底面A1B1C1D1时的最短距离是2 5.由于32<25，32<26，所以由A到C1在长方体表面上的最短距离为3 2.三、解答题9．观察下列四张图片，结合所学知识说出这四个建筑物主要的结构特征．解(1)上海世博园中国馆，其主体结构是四棱台．(2)法国卢浮宫，其主体结构是四棱锥．(3)国家游泳中心“水立方”，其主体结构是四棱柱．(4)美国五角大楼，其主体结构是五棱柱．B级：能力提升练10．在一个长方体的容器中，里面装有少量水，现将容器绕着其底部的一条棱倾斜，在倾斜的过程中．(1)水面的形状不断变化，可能是矩形，也可能变成不是矩形的平行四边形，对吗？(2)水的形状也不断变化，可以是棱柱，也可能变为棱台或棱锥，对吗？(3)如果倾斜时，不是绕着底部的一条棱，而是绕着其底部的一个顶点，上面的第(1)题和第(2)题对不对？解(1)不对；水面的形状就是用一个与棱(倾斜时固定不动的棱)平行的平面截长方体时截面的形状，因而可以是矩形，但不可能是其他非矩形的平行四边形．(2)不对；水的形状就是用与棱(将长方体倾斜时固定不动的棱)平行的平面将长方体截去一部分后，剩余部分的几何体，此几何体是棱柱，水比较少时，是三棱柱，水多时，可能是四棱柱，或五棱柱；但不可能是棱台或棱锥．(3)用任意一个平面去截长方体，其截面形状可以是三角形，四边形，五边形，六边形，因而水面的形状可以是三角形，四边形，五边形，六边形；水的形状可以是棱锥，棱柱，但不可能是棱台．故此时(1)对，(2)不对．1．1.2圆柱、圆锥、圆台、球和简单组合体的结构特征课前自主预习知识点一圆柱、圆锥和圆台的结构特征1．圆柱的定义、图形及表示2．圆锥的定义、图形及表示3．圆台的定义、图形及表示知识点二球的结构特征知识点三组合体1．概念：由□1简单几何体组合而成的几何体叫做简单组合体．常见的简单组合体大多是由具有柱、锥、台、球等几何结构特征的物体组成的．2．基本形式：一种是由简单几何体□2拼接而成的简单组合体；另一种是由简单几何体□3截去或□4挖去一部分而成的简单组合体．1．圆柱、圆锥、圆台的关系如图所示．2．处理台体问题常采用还台为锥的补体思想．3．处理组合体问题常采用分割思想．4．重视圆柱、圆锥、圆台的轴截面在解决几何量中的特殊作用，切实体会并运用空间几何平面化的思想．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)到定点的距离等于定长的点的集合是球．()(2)用平面去截圆锥、圆柱和圆台，得到的截面都是圆．()(3)(教材改编，P9，T2)用平面截球，无论怎么截，截面都是圆面．()答案(1)×(2)×(3)√2．做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)图①中的几何体叫做________，O叫它的________，OA叫它的________，AB叫它的________．(2)(教材改编，P9，T3)图②的组合体是由________和________构成．(3)图③中的几何体有________个面．答案(1)球球心半径直径(2)圆柱圆锥(3)三3．圆锥的母线有()A．1条B．2条C．3条D．无数条答案 D课堂互动探究探究1旋转体的概念例1下列命题：(1)以直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥；(2)以直角梯形的一腰为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；(3)圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；(4)用一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台．其中正确命题的个数为()A．0 B．1 C．2 D．3解析根据圆柱、圆锥、圆台的概念不难做出判断．(1)以直角三角形的一条直角边为轴旋转才可以得到圆锥；(2)以直角梯形垂直于底边的一腰为轴旋转才可以得到圆台；(3)圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面；(4)用平行于圆锥底面的平面截圆锥，才可得到一个圆锥和一个圆台．故4个均不正确．答案 A[条件探究]若本例中(2)改为以直角梯形的各边为轴旋转，得到的几何体是由哪些简单几何体组成的？解①以垂直于底边的腰为轴旋转得到圆台；②以较长的底为轴旋转得到的几何体为一圆柱加上一个圆锥；③以较短的底为轴旋转得到的几何体为一圆柱挖去一个同底圆锥；④以斜腰为轴旋转得到的几何体为圆锥加上一个圆台挖去一个小圆锥．拓展提升平面图形旋转形成的几何体的结构特征圆柱、圆锥、圆台和球都是由平面图形绕着某条轴旋转而成的，平面图形不同，得到的旋转体也不同，即使是同一平面图形，所选轴不同，得到的旋转体也不一样．判断旋转体，要抓住定义，分清哪条线是轴，什么图形，怎样旋转，旋转后生成什么样的几何体．【跟踪训练1】一个有30°角的直角三角尺绕其各条边所在直线旋转所得几何体是圆锥吗？如果以斜边上的高所在的直线为轴旋转180°得到什么几何体？旋转360°又得到什么几何体？解如图(1)和(2)所示，绕其直角边所在直线旋转一周围成的几何体是圆锥；如图(3)所示，绕其斜边所在直线旋转一周围成的几何体是两个同底相对的圆锥．如图(4)所示，绕其斜边上的高所在直线旋转180°围成的几何体是两个半圆锥，旋转360°围成的几何体是一个圆锥．探究2简单组合体的结构特征例2描述下图几何体的结构特征．解图(1)中的几何体是由一个四棱柱和一个四棱锥拼接而成的组合体．图(2)中的几何体是在一个圆台中挖去一个圆锥后得到的组合体．图(3)中的几何体是在一个圆柱中挖去一个三棱柱后得到的组合体．图(4)中的几何体是由两个同底的四棱锥拼接而成的简单组合体．拓展提升简单组合体的两种构成方法(1)简单组合体的构成一般有两种基本形式：一种是由简单几何体拼接而成，一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成．(2)识别或运用几何体的结构特征，要从几何体的概念入手，掌握画图或识图的方法，并善于运用身边的特殊几何体进行判断、比较、分析．【跟踪训练2】观察下列几何体，并分析它们是由哪些基本几何体组成的．解图(1)是由一个圆柱中挖去一个圆台形成的．图(2)是由一个球、一个四棱柱和一个四棱台组合而成的．探究3旋转体的计算问题例3一个圆台的母线长为12 cm，两底面面积分别为4π cm2和25π cm2.求：(1)圆台的高；(2)截得此圆台的圆锥的母线长．解(1)如图，圆台的轴截面是等腰梯形ABCD，由已知可得上底面半径O1A＝2 cm，下底面半径OB＝5 cm，又腰长AB＝12 cm，所以圆台的高为AM＝122－(5－2)2＝315(cm)．(2)设截得此圆台的圆锥的母线长为l，则由△SAO1∽△SBO可得l －12l ＝25，所以l ＝20(cm)．故截得此圆台的圆锥的母线长为20 cm. 拓展提升旋转体中的计算问题及截面性质(1)圆柱、圆锥和圆台中的计算问题，一要结合它们的形成过程，分辨清轴、母线及底面半径与旋转前平面图形量的关系；二要切实体现轴截面的作用．解题时，可把轴截面从旋转体中分离出来，以平面图形的计算解决立体问题．(2)球中的计算应注意一个重要的直角三角形，设球的半径为R ，截面圆的半径为r ，球心到截面的距离为d ，则R 2＝d 2＋r 2.(3)用平行于底面的平面去截柱、锥、台等几何体，注意抓住截面的性质(与底面全等或相似)，同时结合旋转体中的经过旋转轴的截面(轴截面)的性质，利用相似三角形中的相似比，构设相关几何变量的方程组而得解．【跟踪训练3】 圆台的两底面面积分别为1,49，平行于底面的截面面积的2倍等于两底面面积之和，求圆台的高被截面分成的两部分的比．解 将圆台还原为圆锥，如图所示．O 2，O 1，O 分别是圆台上底面、截面和下底面的圆心，V 是圆锥的顶点，令VO 2＝h ，O 2O 1＝h 1，O 1O ＝h 2，设上底面的面积为S 1，半径为r 1，则S 1＝πr 21＝1，下底面的面积为S 2，半径为r 2，则S 2＝πr 22＝49，截面的面积为S ＝S 1＋S 22＝25，半径为r 3，则S ＝πr 23.由三角形相似得⎩⎪⎨⎪⎧ h ＋h 1h ＝49＋121，h ＋h 1＋h 2h ＝491，所以⎩⎨⎧ h 1＝4h ，h 2＝2h ，即h 1∶h 2＝2∶1. 探究4 圆柱、圆锥、圆台侧面展开图的应用例4 如图所示，已知圆柱的高为 80 cm ，底面半径为10 cm ，轴截面上有P ，Q 两点，且P A ＝40 cm ，B 1Q ＝30 cm ，若一只蚂蚁沿着侧面从P 点爬到Q 点，问：蚂蚁爬过的最短路径长是多少？解 将圆柱侧面沿母线AA 1展开，得如图所示矩形．则＝12·2πr ＝πr ＝10π(cm)．过点Q 作QS ⊥AA 1于点S ，在Rt △PQS 中，PS ＝80－40－30＝10(cm)，QS ＝A 1B 1＝10π(cm)．∴PQ ＝PS 2＋QS 2＝10π2＋1(cm)．即蚂蚁爬过的最短路径长是10π2＋1 cm.拓展提升求圆柱、圆锥、圆台侧面上两点间最短距离都要转化到侧面展开图中，“化曲为直”是求几何体表面上两点间最短距离的好方法．【跟踪训练4】 国庆节期间，要在一圆锥形建筑物上挂一宣传标语，经测量得圆锥的母线长为3米，高为22米，如图所示．为了美观需要，在底面圆周上找一点M拴系彩绸的一端，沿圆锥的侧面绕一周挂彩绸，彩绸的另一端仍回到原处M，则彩绸最短要多少米？解把圆锥的侧面沿过点M的母线剪开，并铺平得扇形MOM1，如图所示．这样把空间问题转化为平面问题，易知彩绸的最短长度即为线段MM1的长度，由母线长为3米，高为22米，得底面半径为1米，所以扇形的圆心角为120°，所以MM1＝33米，即彩绸最短要33米．1.透析圆柱的结构特征(1)圆柱有两个互相平行的面且这两个面是等圆；(2)有无数条母线，长度相等且都与轴平行；(3)圆柱上底面圆周上一点和下底面圆周上一点的连线不一定是圆柱的母线，只有这两点连线平行于轴时才是母线．2.透析圆锥的结构特征(1)底面是圆面；(2)侧面是由无数条母线组成的，且母线长均相等．3.透析圆台的结构特征(1)圆台上、下底面是相似的圆；(2)有无数条母线且等长，各母线的延长线交于一点．圆台可以由直角梯形以垂直于底边的腰所在直线为旋转轴，旋转而形成．4.透析球的概念球也是旋转体，球的表面是旋转形成的曲面，球是由球面及其内部空间组成的几何体．根据球的定义，铅球是一个球，而足球、乒乓球、篮球、排球等，虽然它们的名字中有“球”字，但它们是空心的，不符合球的定义，都不是真正的球．5.柱体、锥体、台体之间的关系课堂达标自测1．下列几何体中不是旋转体的是()答案 D解析正方体不可能是旋转体．2．一个等腰三角形绕它的底边所在直线旋转360°形成的曲面所围成的几何体是()A．球体B．圆柱C．圆台D．两个共底面的圆锥的组合体答案 D解析过等腰三角形的顶点向底边作垂线，得到两个有一条公共边的全等直角三角形，而直角三角形以一条直角边为轴旋转得到的几何体是圆锥，故选D.3．下列几何体中是旋转体的是()①圆柱；②六棱锥；③正方体；④球体；⑤四面体．A．①和⑤B．①C．③和④D．①和④答案 D解析根据旋转体的概念知①④正确．4．指出如图(1)(2)所示的图形是由哪些简单几何体构成的．解分割图形，使它的每一部分都是简单几何体．图(1)是由一个三棱柱和一个四棱柱拼接而成的简单组合体．图(2)是由一个圆锥和一个四棱柱拼接而成的简单组合体．5．圆台的两底面圆的半径分别为2,5，母线长是310，求其轴截面的面积．解 如图，在轴截面内过点A 作AB ⊥O 1A 1，垂足为B .由已知OA ＝2，O 1A 1＝5，AA 1＝310，∴A 1B ＝3.∴AB ＝AA 21－A 1B 2＝90－9＝9.∴S 轴截面＝12(2OA ＋2O 1A 1)·AB ＝12×(4＋10)×9＝63(cm 2)．故圆台轴截面的面积为63 cm 2.课后课时精练A 级：基础巩固练一、选择题1．下列几何体是简单组合体的是( )答案 D解析 A 项中的几何体是圆锥，B 项中的几何体是圆柱，C 项中的几何体是球，D 项中的几何体是一个圆台中挖去一个圆锥，是简单组合体．2．给出下列命题：①圆柱的底面是圆；②经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形；③连接圆柱上、下底面圆周上两点的线段是圆柱的母线；④圆柱的任意两条母线互相平行．其中正确命题的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案 B解析 本题的判断依据是圆柱的定义及结构特征．①中圆柱的底面是圆面，而不是圆，故①错；②和④中，圆柱有无数条母线，它们平行且相等，并且母线都与底面垂直，②和④正确；③中连接圆柱上、下底面圆周上两点的线段不一定与圆柱的轴平行，故③错．故选B.3．如图所示的平面中阴影部分绕中间轴旋转一周，形成的几何体。
人教A版高中数学必修二 《基本立体图形》立体几何初步(第二课时旋转体及简单组合体的结构特征)
[解析] ①以直角三角形的一条直角边为轴旋转一周才可以得到圆锥，故错误；②以 直角梯形垂直于底边的一腰为轴旋转一周可得到圆台，故错误；③它们的底面为圆 面，故正确；④正确；作球的一个截面，在截面的圆周上任意取四点，则这四点就 在球面上，故⑤错误；球面上任意三点一定不共线，故⑥错误．
[答案] ③④
课前 • 自主探究 课堂 • 互动探究 课后 • 素养培优 课时 • 跟踪训练
[教材提炼] 知识点一 圆柱的结构特征 预习教材，思考问题 圆柱是由几个平面围成的吗？若不是，它又是怎么构成的呢？
[提示] 圆柱的面不都是平的，如侧面就是曲的．它是以矩形的一条边为旋转轴， 其余三条边旋转一周形成的面围成的旋转体．
2．已知 AB 是直角梯形 ABCD 中与底边垂直的一腰，如图．分别 以 AB、BC、CD、DA 为轴旋转，试说明所得几何体的结构特征．
解析：(1)以 AB 为轴旋转所得旋转体是圆台．如图①所示． (2)以 BC 边为轴旋转所得的旋转体是一组合体：下部为圆柱，上部为圆锥．如图② 所示． (3)以 CD 边为轴旋转所得的旋转体为一组合体：上部为圆锥，下部为圆台，再挖去 一个小圆锥．如图③所示．
若本例中蚂蚁围绕圆柱转两圈，如图，则它爬行的最短距离是多少？
解析：可把圆柱展开两次，如图，则 AB′即为所求． ∵AB＝2，BB′＝2×2π×1＝4π， ∴AB′＝ AB2＋BB′2＝ 4＋16π2＝2 1＋4π2. 故蚂蚁爬行的最短距离为 2 1＋4π2.
一般地，沿多面体或旋转体的表面最短距离(路程)问题，用侧面展开解决．
答案：C
3．如图所示的组合体，其结构特征是 ( ) A．两个圆锥 B．两个圆柱 C．一个棱锥和一个棱柱 D．一个圆锥和一个圆柱
解析：题图所示的几何体是由一个圆锥和一个圆柱构成的组合体．
人教A版高二数学教材
人教版高中数学教材（必修二）第一章空间几何体
空间几何体的结构
空间几何体的三视图和直观图
阅读与思考画法几何与蒙日
空间几何体的表面积与体积
探究与发现祖暅原理与柱体、椎体、球体的体积
实习作业
小结
复习参考题
第二章点、直线、平面之间的位置关系
空间点、直线、平面之间的位置关系
直线、平面平行的判定及其性质
直线、平面垂直的判定及其性质
阅读与思考欧几里得《原本》与公理化方法
小结
复习参考题
第三章直线与方程
直线的倾斜角与斜率
探究与发现魔术师的地毯
直线的方程
直线的交点坐标与距离公式
阅读与思考笛卡儿与解析几何
小结
复习参考题
第四章圆与方程
圆的方程
阅读与思考坐标法与机器证明
直线、圆的位置关系
空间直角坐标系
信息技术应用用《几何画板》探究点的轨迹：圆
小结
复习参考题。
人教A版高中数学必修二课件 《平面向量基本定理及坐标表示》平面向量及其应用(平面向量基本定理)
线，C→A与D→C不共线；而D→A∥B→C，O→D∥O→B，故①③可作为基底．
2．点 O 为正六边形 ABCDEF 的中心，则可作为基底的一对向量是 ()
A.O→A，B→C
B.O→A，C→D
C.A→B，C→F
D.A→B，D→E
解析：选 B.由题图可知，O→A与B→C，A→B与C→F，A→B与D→E共线，不能
B.12(a＋b)
C.12(b－a)
D.12b＋a
解析：选 B.如图，AD 是△ABC 的中线，则 D 为线段
BC 的中点，从而B→D＝D→C，即A→D－A→B＝A→C－A→D，
从而A→D＝12(A→B＋A→C)＝12(a＋b)．
平面向量基本定理的理解 设 e1，e2 是不共线的两个向量，给出下列四组向量： ①e1 与 e1＋e2；②e1－2e2 与 e2－2e1；③e1－2e2 与 4e2－2e1； ④e1＋e2 与 e1－e2. 其中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是________(写出 满足条件的序号)．
B.23a＋13b
C.35a＋45b
Hale Waihona Puke D.45a＋35b解析：选 B.因为B→D＝12D→A，C→B＝a，C→A＝b，所以C→D＝a＋B→D
＝a＋13B→A＝a＋13(b－a)＝23a＋13b.
2．如图，已知在梯形 ABCD 中，AD∥BC，E，F 分别是 AD， BC 边上的中点，且 BC＝3AD，B→A＝a，B→C＝b.试以{a，b}为 基底表示E→F，D→F.
法二：设A→B＝x，B→C＝y，则A→D＝B→C＝y， 又AA→ →BD＋－BA→→CB＝＝AB→→CD，， 所以yx－＋xy＝＝ba，，解得 x＝12a－12b，y＝12a＋12b， 即A→B＝12a－12b，B→C＝12a＋12b.
人教A版高中数学必修二课件第一章1.3.2球的体积和表面积(共41张PPT)
答案：288πcm3
5.(2013·新课标全国卷Ⅱ)已知正四棱锥O-ABCD的体积为
底3面2边，长为，则以O为3 球心，OA为半径的球的表面积为
2
_______.
【解析】设正四棱锥的高为h，则 1
3
2
h
3
2，
3
2
解得高h=则3 底2 .面正方形的对角线长为
2
2 3 6，
所以OA=所(3以2球)2的 (表6面)2积为6,
(3)此类问题的具体解题流程：
【变式训练】正方体的内切球和外接球的半径之比为()
A.∶31B.∶2C.2∶3 D.∶3
3
3
【解析】选D.设正方体的棱长为a,则内切球半径为 a ,
2
外接球半径为所以3a 半, 径之比为1∶=∶3. 3 3
2
【规范解答】有关球的计算问题 【典例】【条件分析】
【规范解答】设圆锥的底面半径为r，高为h，母线长为l，
3
3
答案：(1)√(2)√(3)×(4)√
【知识点拨】 1.对球的三点说明 (1)球的表面是曲面,不能展开在一个平面上,因此没有展开图. (2)球既是中心对称的几何体,又是轴对称的几何体,它的任何 截面均为圆面,它的三视图也都是圆. (3)球是一个封闭的几何体,既包括球的表面,又包括球面所包 围的空间.
【解题探究】1.求球的体积和表面积的关键是什么？ 2.两个球的体积之比和表面积之比分别与半径有何关系？ 3.两个铁球熔化为一个球后,哪一个量是不变的？ 探究提示： 1.关键是确定球的半径. 2.两个球的体积之比等于两个球的半径比的立方,表面积之比 等于两个球的半径比的平方. 3.体积不变，即两个小球的体积和应与大球的体积相同.
人教A版(新教材)高中数学第二册(必修2)课件：9.2.2 总体百分位数的估计
2.数据7.0，8.4，8.4，8.4，8.6，8.7，9.0，9.1的第30百分位数是________. 解析 因为8×30%＝2.4，故30%分位数是第三项数据8.4. 答案 8.4
3.一组样本数据的频率分布直方图如图所示，试估计此样本数据的第50百分位数为 ________.
解析 样本数据低于 10 的比例为(0.08＋0.02)×4＝0.40，样本数据低于 14 的比例为
规律方法 计算一组n个数据的第p百分位数的一般步骤： (1)排列：按照从小到大排列原始数据； (2)算i：计算i＝n×p%； (3)定数：若i不是整数，大于i的最小整数为j，则第p百分位数为第j项数据；若i是整 数，则第p百分位数为第i项与第(i＋1)项数据的平均数.
【训练1】 如图所示是某市3月1日至3月10日的最低气温(单位：℃)的情况绘制的折 线统计图，由图可知这10天最低气温的第80百分位数是( )
一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有__p_%____ 的数据小于或等于这个值，且至少有(100－p)%的数据大于或等于这个值.
2.计算一组n个数据的第p百分位数的步骤 第1步，按__从__小__到__大___排列原始数据. 第2步，计算i＝n×p%. 第3步，若i不是整数，而大于i的比邻整数为j，则第p百分位数为第j项数据；若i是整 数，则第p百分位数为第i项与第(i＋1)项数据的___平__均__数___.
解 (1)将所有数据从小到大排列，得 7.8，7.9，8.0，8.3，8.4，8.5，8.5，8.5，8.6，8.9，9.0，9.9， 因为共有12个数据， 所以12×25%＝3，12×50%＝6，12×95%＝11.4， 则第 25 百分位数是8.0＋2 8.3＝8.15， 第 50 百分位数是8.5＋2 8.5＝8.5， 第 95 百分位数是第 12 个数据为 9.9.
高二数学上学期人教A版(2019)选择性必修第二册4.4.1数学归纳法原理教案
第四章 数列4.4 数学归纳法 4.4.1 数学归纳法原理一、教学目标1、正确理解数学归纳法原理，培养不完全归纳法下的归纳、猜想与证明思维体系；2、通过数学归纳法原理证明简单的猜想，如等式、不等式命题等.二、教学重点、难点重点：数学归纳法原理难点：数学归纳法原理的应用.三、学法与教学用具1、学法：学生在老师的引导下，通过阅读教材，自主学习、思考、交流、讨论和概括，从而完成本节课的教学目标.2、教学用具：多媒体设备等四、教学过程（一）创设情景，揭示课题【情景一】求和3333123...?n S n =++++= 【计算】【发现】【猜想】33332(1)123...[]2n n n S n +=++++= 【思考】能否给予证明？【情景二】前面所学的等差数列与等比数列的通项公式，并没有给出严格的数学证明.1(1)n a a n d =+-，11n n a a q -=，*n N ∈【思考】又有什么证明方法？【情景三】观看关于多米诺骨牌的小视频.（二）阅读精要，研讨新知【阅读】阅读课本4446P P -，跟同桌交流一下你的发现.【数学中的问题】对于情景一，2221231223341(),9(),36(),222S S S ⨯⨯⨯====== 22454556100(),225()22S S ⨯⨯====，…通过1,2,3,4,5n =的计算结果以及变形来猜想33332(1)123...[]2n n n S n +=++++=， 即使计算n 的某一个较大的数值，没有经过严格的数学证明，结论未必是正确的.【游戏中的问题】多米诺骨牌如何启动，为什么可以连续进行到结束.【例题研讨】阅读领悟课本46P 例1（用时约为1-2分钟，教师作出准确的评析.） 例1用数学归纳法证明，如果{}n a 是 一个公差为d 的等差数列，那么1(1)n a a n d =+- ①对任何*n N ∈都成立.证明：（1）当1n =时，左边1a =,右边110a d a =+⨯=, ①式成立. （2） 假设当*()n k n N =∈时，①式成立，即1(1)k a a k d =+-，根据等差数列的定义，1n n a a d +-=，于是，11[(1)]k k a a d a k d d +=+=+-+1[(1)1]a k d =++- 即当1n k =+时，①式也成立.由（1）（2）可知，①式对任何*n N ∈都成立. 【体验】请抄写例1的证明过程，体验证明的规范格式.【小组互动】完成课本47P 练习1、2，同桌交换检查，老师答疑. 【练习答案】（三）探索与发现、思考与感悟1.用数学归纳法证明221*11...(,1)1n n a a a an N a a++-++++=∈≠-,在验证1n =时,左边所得的项为( ) A.1 B. 21a a ++ C. 1a +D. 231a a a +++解：由已知，当1n =时, 式子的左边21a a =++，故选B.2. 在用数学归纳法证明*(1)(2)()2123...(21)()nn n n n n n N ++⋅⋅⋅+=⋅⋅⋅⋅⋅-∈时,从k 到1k + ,左端需要增加的代数式是( ) A. 21k +B. 2(21)k +C.211k k ++ D.231k k ++ 解：当n k =时，等式左边为(1)(2)()k k k k ++⋅⋅⋅+当1n k =+时，等式左边为[(1)1][(1)2][(1)][(1)(1)]k k k k k k ++++⋅⋅⋅+++++ (2)(3)()(21)(22)k k k k k k =++⋅⋅⋅+++(1)(2)(3)(1(21()1))22k k k k k k k k +++⋅+⋅⋅+=++ 所以左端增加的代数式为(21)(22)2(21)1k k k k ++=++，故选B3. 已知*n N ∈,用数学归纳法证明222222(1223)(3445)...[(21)(2)2(21)](1)(43)n n n n n n n ⋅-⋅+⋅-⋅++-⋅-⋅+=-++.证明：（1）当1n =时,左边41814=-=-，右边12714=-⨯⨯=-，左边=右边，等式成立. （2）假设当*()n k n N =∈时,等式成立, 即222222(1223)(3445)...[(21)(2)2(21)](1)(43)k k k k k k k ⋅-⋅+⋅-⋅++-⋅-⋅+=-++当1n k =+时,222222(1223)(3445)...[(21)(2)2(21)]k k k k ⋅-⋅+⋅-⋅++-⋅-⋅+22[(21)(22)(22)(23)]k k k k ++⋅+-+⋅+(1)(43)k k k =-++22[(21)(22)(22)(23)]k k k k ++⋅+-+⋅+(1)(43)k k k =-++2(1)(67)k k ++--2(1)(41514)(1)(2)(47)k k k k k k =-+++=-+++(1)[(1)1][4(1)3]k k k =-+++++，即1n k =+时等式成立.由（1）（2）可知，等式对任何*n N ∈都成立.（四）归纳小结，回顾重点（五）作业布置，精炼双基1.完成课本51P 习题4.4 1、2、32.阅读课本53P 《小结》3.逐步完成54P 复习参考题4五、教学反思：（课后补充，教学相长）。
人教A版高二数学必修二第一章1.3.2 球的体积和表面积【教案】
《1.3.2球的体积和表面积》教学设计教材：人民教育出版社A 版普通高中课程标准实验教科书《数学必修2》一、 教学目标知识目标：1、掌握球的体积公式343V R π=、表面积公式24S R π=. 2、会用球的表面积公式、体积公式解决相关问题，培养学生应用数学的能力． 3、能解决与球的截面有关的计算问题及球的“内接”与“外切”的几何体问题． 能力目标：通过类比、归纳、猜想等合情推理培养学生勇于探索的精神. 提高学生分析、综合、抽象概括等逻辑推理能力情感目标：通过寻求如何研究球的内切与外接的方法，培养学生将数学知识和生活实际相联系的意识，对学生进行“事物具有多面性”的辩证唯物主义思想教育. 二、 教学重点、难点重点：球的体积和表面积的计算公式的应用.难点：解决与球相关的“内接”与“外切”的几何体问题 三、教学方法采用试验探索，启发式的教学方法.教辅手段：圆柱、圆锥、半球容积比实物模型；一盆水；多媒体. 四、教学过程2 球的表面积：（以后讲）11221(3)i i V h S h S h S ≈⋅∆+⋅∆++⋅∆+L L又∵i h R ≈，且S =12i S S S ∆+∆+++∆LL∴可得13V R S ≈⋅， 又∵343V R π=，∴13R S ⋅343R π=，∴24S R π=即为球的表面积公式 小结：球的体积公式343V R π=、表面积公式24S R π=都是以R 为 自变量的函数。
教师讲解，学生感悟分割、近似、极限等思想渗透微积分思想.应 用练习1：如果球的体积是36πcm 3,那么它的半径是 .3练习2： 若两个球的体积之比为8：27，那么两个球的表面积之比为（ C ）（A ）8：27 （B ）2：3 （C ）4：9 （D ）2：9例1 如图，圆柱的底面直径与高都等于球的直径,，求证： （1）球的体积等于圆柱体积的23（2）球的表面积等于圆柱的侧面积. 证明：（1）设球的半径为R ，则圆柱的底面半径为R ，高为2R.则有V 球=334R π，V 圆柱=πR 2·2R=2πR 3，所以V 球=圆柱V 32.教师引导学生共同完成让学生巩固加深所学内容并灵举例（2）因为S球=4πR2，S圆柱侧=2πR·2R=4πR2，所以S球=S圆柱侧.变式1：把上一题的圆柱改为正方体，且正方体的棱长为a, 球的半径为多少？变式2：若把球吹大到内切于正方体的棱，且正方体的棱长为a,此时球的半径又为多少？变式3：若球接着吹大到刚好包围整个正方体即球各个顶点都在球面上，且正方体的棱长为a,此时球的半径又为多少？活运用.应用举例例2、如果一个几何体的正视图与侧视图都是全等的长方形，边长分别是4 cm与2 cm，如图所示，俯视图是一个边长为4 cm的正方形.(1)求该几何体的全面积.(2)求该几何体的外接球的体积.解【审题指导】根据本题所给条件中的三视图，判断该几何体的形状与几何体中相关的数量关系，根据这些求该几何体的全面积及其外接球的体积.【规范解答】(1)由题意可知，该几何体是长方体，图1 图2图3RA 'C 'CAOA 'B 'C 'D 'D C BAO准备 课堂小结 1．通过做实验的方法，获得了球的体积公式和表面积公式. 2．掌握球的体积公式343V R π=、表面积公式24S R π= 3．熟练掌握球的内切、外接问题解决此类问题的实质就是根据几何体的相关数据求球的直径或半径，关键是根据“切点”和“接点”，作出轴截面图，把空间问题转化为平面问题来计算.学生小结,教师完善.学生小结,可以逐步提高学生自我获取知识的能力.教师完善，使知识更系统化.作业1、课本P29B12、《世纪金榜》 P16例23、《世纪金榜》P17 基础自主演练64、半球内有一个内接正方体，正方体的一个面在半球的底面圆内，若正方体的边长为 6，求半球的表面积和体积。
(2019新教材)人教A版高中数学必修第二册：空间点、直线、平面之间的位置关系
■名师点拨 (1)异面直线的定义表明异面直线不具备确定平面的条件．异面直线 既不相交，也不平行． (2)不能把异面直线误认为分别在不同平面 内的两条直线，如图中，虽然有 a⊂α，b⊂β， 即 a，b 分别在两个不同的平面内，但是因 为 a∩b＝O，所以 a 与 b 不是异面直线．
2．空间中直线与平面的位置关系
2．[变条件]在本例中，若将条件改为平面 α 内有无数条直线与 平面 β 平行，那么平面 α 与平面 β 的关系是什么？ 解：如图，α 内都有无数条直线与平面 β 平行．
由图知，平面 α 与平面 β 可能平行或相交．
3．[变条件]在本例中，若将条件改为平面 α 内的任意一条直线 与平面 β 平行，那么平面 α 与平面 β 的关系是什么？ 解：因为平面 α 内的任意一条直线与平面 β 平行，所以只有这 两个平面平行才能做到，所以平面 α 与平面 β 平行．
平行．( × ) (10)若两个平面都平行于同一条直线，则这两个平面平行．( × )
异面直线是指( ) A．空间中两条不相交的直线 B．分别位于两个不同平面内的两条直线 C．平面内的一条直线与平面外的一条直线 D．不同在任何一个平面内的两条直线
解析：选 D.对于 A，空间两条不相交的直线有两 种可能，一是平行(共面)，另一个是异面，所以 A 应排除．对于 B，分别位于两个平面内的直线， 既可能平行也可能相交也可能异面，如图，就是 相交的情况，所以 B 应排除．对于 C，如图中的 a，b 可看作是平 面 α 内的一条直线 a 与平面 α 外的一条直线 b，显然它们是相交直 线，所以 C 应排除．只有 D 符合定义．
位置关系
直线 a 在 平面 α 内
直线 a 在平面 α 外
直线 a 与平
直线 a 与
人教A版高中数学必修二 《频率与概率》概率PPT课件
内容标准
学科素养
1.结合实例，会用频率估计概率． 2.理解频率与概率的区别与联系． 3.能用概率的意义解释生活中的事例.
数学抽象 数学运算
课前 • 自主探究 课堂 • 互动探究 课后 • 素养培优 课时 • 跟踪训练
[教材提炼] 知识点 频率的稳定性 预习教材，思考问题 我们知道，事件的概率越大，意味着事件发生的可能性越大，在重复试验中，相应 的频率一般也越大；事件的概率越小，则事件发生的可能性越小，在重复试验中， 相应的频率一般也越小．在初中，我们利用频率与概率的这种关系，通过大量重复 试验，用频率去估计概率．那么，在重复试验中，频率的大小是否就决定了概率的 大小呢？频率与概率之间到底是一种怎样的关系呢？
3．在一篇英文短文中，共使用了 6 000 个英文字母(含重复使用)，其中字母“e”共使 用了 900 次，则字母“e”在这篇短文中的使用的频率为________． 解析：频率＝6900000＝0.15.
答案：0.15
4．某人进行打靶练习，共射击 10 次，其中有 2 次击中 10 环，有 3 次击中 9 环，有 4 次击中 8 环，有 1 次未中靶． (1)求此人中靶的概率； (2)若此人射击 1 次，则中靶的概率约为多大？击中 10 环的概率约为多大？
解析：(1)甲、乙二人抽到的牌的所有情况(红桃 2、红桃 3、红桃 4 分别用 2,3,4 表示， 方片 4 用 4′表示)为 (2,3)，(2,4)，(2,4′)，(3,2)，(3,4)，(3,4′)，(4,2)，(4,3)，(4,4′)，(4′，2)，(4′， 3)，(4′，4)，共 12 种． (2)甲抽到红桃 3，乙抽到的牌的牌面数字只能是 2,4,4，因此乙抽到的牌面数字大于 3 的概率为23. (3)甲抽到的牌的牌面数字比乙大有 5 种情况：(3,2)，(4,2)，(4,3)，(4′，2)，(4′， 3)，数字相等有 2 种情况：(4,4′)，(4′，4)． 故甲胜的概率 P1＝152，乙胜的概率 P2＝152.所以此游戏公平．
人教版A版高中数学必修二全册课件【完整版】
人教版A版高中数学必修二全册课件【完整版】一、直线与方程1. 直线的斜率定义：直线斜率是指直线上任意两点之间的纵坐标之差与横坐标之差的比值。
计算公式：k = (y2 y1) / (x2 x1)性质：斜率k与直线倾斜角度的关系为k = tan(θ)，其中θ为直线与x轴正方向的夹角。
2. 直线的截距定义：直线截距是指直线与y轴的交点的纵坐标。
计算公式：b = y kx，其中k为直线斜率，x为直线与x轴的交点的横坐标，y为直线与y轴的交点的纵坐标。
3. 直线方程点斜式：y y1 = k(x x1)，其中k为直线斜率，(x1, y1)为直线上的一点。
斜截式：y = kx + b，其中k为直线斜率，b为直线截距。
一般式：Ax + By + C = 0，其中A、B、C为常数，且A、B 不同时为0。
4. 两条直线的位置关系平行：两条直线的斜率相等。
垂直：两条直线的斜率互为负倒数。
相交：两条直线的斜率不相等。
二、圆与方程1. 圆的定义定义：圆是平面上所有与一个固定点（圆心）距离相等的点的集合。
2. 圆的标准方程方程：(x a)² + (y b)² = r²，其中(a, b)为圆心坐标，r 为半径。
3. 圆的一般方程方程：x² + y² + Dx + Ey + F = 0，其中D、E、F为常数。
4. 圆与直线的位置关系相离：直线与圆没有交点。
相切：直线与圆有且仅有一个交点。
相交：直线与圆有两个交点。
三、椭圆与方程1. 椭圆的定义定义：椭圆是平面上所有与两个固定点（焦点）距离之和等于常数的点的集合。
2. 椭圆的标准方程方程：(x h)²/a² + (y k)²/b² = 1，其中(h, k)为椭圆中心坐标，a为椭圆长轴的一半，b为椭圆短轴的一半。
3. 椭圆的一般方程方程：Ax² + By² + Cx + Dy + E = 0，其中A、B、C、D、E 为常数，且A、B不同时为0。
新人教A版高中数学必修二课件：6.2平面向量的运算—加法 减法——课件
人民教育出版社A版必修 一
二.向量的减法运算
2.向量的减法：求两个向量差的运算. a b 叫做 a, b 的差.
a b a b
a b 表示为由向量
33.向量减法的几何意义:
.已知a, b,根据减法的定义，如何
作出a b呢？ b 的终点指向向量a 的终点的向量
B
a
b
ab
→ →
BC，BD.
解：
CD AE c
BC AC AB b a
BD BC CD b a c
步骤：
1)找到未知向量所在的平行四边形或三角形；
2)按照平行四边形法则或三角形法则进行分解；
3)用已知表示未知.
人民教育出版社A版必修 一
例3 一艘船以12 km/h的速度航行，方向垂直于河岸，已知水流速度为5 km/h，
律
二、思想方法
类比、数形结合 、分类讨论
b
a
b
口诀：首同尾连，指向被减
C
O
A
a b
D
人民教育出版社A版必修 一
例 1.化简下列各式：
→ → →
(1) AB－AD－DC;
DB DC CB
→ →
→
→
(2)(AB＋MB)＋(－OB－MO).
或 AB ( AD DC ) AB AC CB
AB MB OB MO AB MB MO OB AB OB OB AB
人民教育出版社A版必修 一
应用向量解决实际问题的基本步骤
(1)表示：用向量表示有关量，将所要解答的问题转化为向量问题．
人教高中数学A版必修二第七章复数的乘、除运算
必修第二册·人教数学A版
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1.两个复数代数表达式乘法的一般方法 首先按多项式的乘法展开；再将 i2 换成－1；然后再进行复数的加、减运算，化简为 复数的代数形式． 2．常用公式 (1)(a＋bi)2＝a2＋2abi－b2(a，b∈R)； (2)(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2(a，b∈R)； (3)(1±i)2＝±2i.
2a
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必修第二册·人教数学A版
[自主检测]
1．若复数 z＝i(3－2i)(i 是虚数单位)，则 z ＝( )
A．2－3i
B．2＋3i
C．3＋2i
D．3－2i
解析：∵z＝i(3－2i)＝3i－2i2＝2＋3i， ∴ z ＝2－3i.
答案：A
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2．复数1－3＋3ii(i 为虚数单位)等于( A．1 C．i
5．计算： (1)(1－i)(－1＋i)＋(－1＋i)； (2)(1＋i)(12－ 23i)(12＋ 23i)．
解析：(1)原式＝－1＋i＋i－i2－1＋i＝－1＋3i. (2)原式＝(1＋i)(14＋34)＝1＋i.
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探究一 复数代数表示式的乘法运算
[提示] z ＝a－bi，z z ＝a2＋b2 是一个实数．
(2)将式子ac＋＋dbii(a，b，c，d∈R，且 c＋di≠0)的分子与分母都乘以 c－di，根据复数 的乘法化简后的结果是什么？ [提示] ac＋＋dbii＝ac＋＋dbiicc－－ddii＝acc2＋ ＋bdd2 ＋bcc2－ ＋add2 i.
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人教a版选择性必修二数学教材
人教a版选择性必修二数学教材
人教版高中必修二数学教材：
（一）公式、函数及其图象
1. 定义：
a) 公式：公式是用文字、符号和数字表达的精确计算及运算的规则，具有普遍适用性。
公式有直线公式、抛物线公式、双曲线公式、圆公式等几类。
b) 函数：函数是一种数学模型，它是指在一组规定的变量中，一个变量和另一个变量之间存在着对应关系，常见的函数有线性函数、二次函数、立体函数等。
c) 图象：图象是通过几何公式的描述绘制出的几何形状，它能与实际物体的形状紧密相关，常见的几何图象有直线、抛物线、双曲线和圆等。
2. 应用：
a) 公式的应用：可以用公式计算求俩点间的距离，得出直线的坡度，求出各种几何图形的形状及面积等。
b) 函数的应用：可以用函数模型来推出某一物理或经济问题，帮助研究它们的可能变化趋势，预测出未来的变化情况。
另外，函数也可以用来评价一些事物的性质大小，判断它们的相关性等。
c) 图象的应用：几何图形的可视化用途很多，可以使得数学知识及理
论更容易被人们理解，以便应用到现实生活中，从而实现知识在现实
中的落地。
（二）实际函数
1. 定义：实际函数是指一种描述实际问题中量的变化趋势的数学模型，主要用来分析不同物体或事物之间的关系，及多个物体或事物同时变
化的规律。
2. 应用：实际函数应用非常广泛，可以用来表示物质的变化，反应某
一现象与另外一个因素的关系，统计不同系数直接的影响趋势，预测
某一现象发展的规律及结果等。
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人教版高中数学教材（必修二）第一章空间几何体
空间几何体的结构
空间几何体的三视图和直观图
阅读与思考画法几何与蒙日
空间几何体的表面积与体积
探究与发现祖暅原理与柱体、椎体、球体的体积
实习作业
小结
复习参考题
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第二章点、直线、平面之间的位置关系
空间点、直线、平面之间的位置关系
直线、平面平行的判定及其性质
直线、平面垂直的判定及其性质
阅读与思考欧几里得《原本》与公理化方法
小结
复习参考题
第三章直线与方程
直线的倾斜角与斜率
探究与发现魔术师的地毯
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直线的方程
直线的交点坐标与距离公式
阅读与思考笛卡儿与解析几何
小结
复习参考题
第四章圆与方程
圆的方程
阅读与思考坐标法与机器证明
直线、圆的位置关系
空间直角坐标系
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信息技术应用用《几何画板》探究点的轨迹：圆
小结
复习参考题。