2023年考研数学一试卷

2023年考研数学一试卷
一、设函数f(x)在闭区间[0,1]上连续，在开区间(0,1)内可导，且f(0)=0，f(1)=1。

若存在ξ∈(0,1)，使得f'(ξ)=2，则以下哪个结论必然成立？
A. f(x)在(0,1)内至少有一个极大值
B. f(x)在(0,1)内至少有一个极小值
C. f(x)在(0,1)内是单调递增的
D. f(x)在(0,1)内可能既有极大值又有极小值（答案：D）
二、设矩阵A为n阶方阵，且A的秩r(A)=n-1，则以下哪个结论是正确的？
A. A的任意n-1阶子矩阵的秩都为n-1
B. A的任意n-1阶子矩阵都可逆
C. A存在n-1个线性无关的特征向量
D. A的伴随矩阵A的秩r(A)=1（答案：D）
三、设随机变量X服从二项分布B(n,p)，且E(X)=3，D(X)=2，则以下哪个选项是正确的？
A. n=6, p=1/2
B. n=9, p=1/3
C. n=3, p=2/3
D. n=4, p=3/4（答案：A）
四、设向量a, b, c不共面，且满足a×b=c，|a|=|b|=|c|=1，则以下哪个选项是正确的？
A. a·b=0
B. a·c=0
C. b·c=0
D. a·b+b·c+c·a=3（答案：B）
五、设函数f(x)=x3-3x2+2，则以下哪个选项是正确的？
A. f(x)在R上是单调递增的
B. f(x)在R上是单调递减的
C. f(x)在R上有极大值和极小值
D. f(x)在R上无极值（答案：C）
六、设矩阵A, B, C满足AB=C，且A为m×n矩阵，B为n×s矩阵，C为m×s矩阵。

若r(A)=m，r(C)=s，则以下哪个结论是正确的？
A. r(B)=n
B. r(B)≥s
C. r(B)≤s
D. r(B)与s的大小关系无法确定（答案：B）
七、设随机变量X, Y相互独立，且X~N(0,1)，Y~N(1,1)，则以下哪个选项是正确的？
A. P(X+Y<0)=P(X+Y>2)
B. P(X+Y<0)>P(X+Y>2)
C. P(X+Y<0)<P(X+Y>2)
D. P(X+Y<0)与P(X+Y>2)的大小关系无法确定（答案：B）
八、设函数f(x)=ex-x-1，则以下哪个选项是正确的？
A. f(x)在R上有且仅有一个零点
B. f(x)在R上有两个零点
C. f(x)在R上有无穷多个零点
D. f(x)在R上无零点（答案：A）
九、设向量a, b, c满足a+b+c=0，且a, b, c的模长相等，则以下哪个选项是正确的？
A. a, b, c两两垂直
B. a, b, c共面
C. a, b, c中任意两个向量的夹角都为120°
D. a, b, c中任意两个向量的夹角都为60°（答案：C）
十、设函数f(x)=ln(x+1)-x，则以下哪个选项是正确的？
A. f(x)在(-1,+∞)上是单调递增的
B. f(x)在(-1,+∞)上是单调递减的
C. f(x)在(-1,+∞)上有极大值
D. f(x)在(-1,+∞)上有极小值（答案：B）。