内蒙古集宁一中东校区2018届高三上学期第三次月考数学

集宁一中2018---2018学年第一学期第三次月考
高三年级数学文科试题
本试卷满分为150分，考试时间为120分钟。

第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)
1.已知集合{}
2≤∈=x Z x A ，{}
0822≥--=x x x B ，则=)(B C A R ( ) A.{}2,1,0,1,2-- B.{}2,1,0,1- C.{}2 D.{}
22≤<-x x 2.复数i
i
i z 21542016+-
=（其中为虚数单位i ）对应点在 ( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
3.若函数)(x f 的导函数2
'()43f x x x =-+，则使得函数)1(-x f 单调递减的一个充分不
必要条件是x ∈ ( ) A ．[]1,0 B ．[]5,3 C ．[]3,2 D ．[]4,2 4．执行如图所示的程序框图，则输出的S 值是 ( ) A ．－1 B.23 C.3
2 D ．4
5.将函数y ＝sin(2x ＋φ)的图象沿x 轴向左平移π
8
个单位后，得到一个偶函数的
图象，则φ的一个可能取值为 ( )
第7题图 A.3π
4
B.π
4 C ．0
D ．－π
4
6.如图所示，某几何体的正视图（主视图），侧视图（左视图）和俯视图分别是等
腰梯形，等腰直角三角形和长方形，则该几何体表面积为 ( ) A ．14
B
．14+ C
．8+．16
7．如图，F 1，F 2是双曲线C 1：13
2
2
=-y x 与椭圆C 2
的公共焦点，点A 是C 1，C 2在第
一象限的公共点．若|F 1F 2|＝|F 1A |，则C 2的离心率是 ( ) A ．
31 B ．32 C ．51
D ．5
2
8.已知{}n a 为等比数列，n S 是它的前n 项和，若2312a a a ⋅=， 且4a 与27a 的等差 中项为
5
4
，则5S = ( ) A.29 B.31 C ．33 D.35
9．设抛物线y x 122
=的焦点为F ，经过点P （2，1）的直线l 与抛物线相交于,A B 两点，点
P 恰为AB 的中点，则|AF |+|BF |= ( ) A.8 B.10 C.14 D.16
10.在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别是c b a ,,，已知8b=5c ，C=2B ，则cosC=
（ ）
A ．
25
7
B ．25
7
-
C ．25
7
±
D ．
25
24 11.已知非零向量,a b 满足2a b = ，若函数12
131)(23+⋅++=x b a x a x x f
在R 上存
在极值，则a 和b 夹角的取值范围为 （
）
正视
俯视
侧视
()()2
2sin cos 2cos 2
f x x x x =++-A. 0,
6π⎡⎫⎪⎢⎣⎭ B. ,3ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦ C. 2,33ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦ D. ,3ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
12.若定义在R 上的函数()f x 满足：对于任意[]12,2015,2015x x ∈-有 2016)()()(2121-+=+x f x f x x f 且0x >时，有()2016f x >，设()f x 在 []2015,2015-上的最大值，最小值分别为,M N ，则M N +的值为 （ ） A.2015 B.2016 C.4030 D.4032
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．)
13.某班级有50名学生，现要采取系统抽样的方法在这50名学生中抽取10名学生，将这50名学生随机编号50~1号，并分组，第一组5~1号，第二组10~6号，…，第十组50~46，若在第三组中抽得号码为12的学生，则在第八组中抽得号码为
14．设y x z +-=2，实数y x ,满足2,
1,2.x x y x y k ≤⎧⎪
-≥-⎨⎪+≥⎩
若z 的最大值是0，则实数k =_______，z 的
最小值是_______．
15．已知四面体P- ABC 的外接球的球心O 在AB 上，且PO ⊥平面ABC
，2AC ，若四面体P - ABC 的体积为3
2
，则该球的体积为______．
16.已知函数12
1(0),()log (1)(10)ax x f x x x ->⎧⎪
=⎨+-<≤⎪⎩且3)]43([=-f f ，在各项为正的数列{}n a 中，
111
2,(),{}2
n n n a a f a a +==+的前n 项和为n S ，若126,n S n =则= ．
三、解答题(本大题共6小题，共70分) 17． (本题12分）已知函数
（1）求函数
()
f x 的最小正周期和单调增区间；
（2） 当3,44x ππ⎡⎤
∈⎢
⎥⎣
⎦时,求函数()f x 的最大值,最小值．
18．(本题12分）已知等差数列{}n a 满足：73=a ，2675=+a a ，{}n a 的前n 项和为n S
（1）求n a 及n S ；. （2）令1
12
-=
n n a b （*
N n ∈），求数列{}n b 的前n 项和为n T 。

19．(本题12分）如图在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，60BAD ∠=，
2,AB PA PA ==⊥底面ABCD ，E 是PC 的中点，F 是AB 中点。

（1）求证：BE ∥平面PDF ； （2）求证：平面PDF ⊥平面PAB ； （3）求BE 与平面PAC 所成的角。

20．（本题12分）已知A 为椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 上的一个动点，弦AB 、AC 分别过焦点F 1、
F 2，当AC 垂直于x 轴时，恰好有13||||21：：
=AF AF . （1）求椭圆离心率；
（2）设C F AF B F AF 222111,λλ==,试判断21λλ+是否为定值？若是定值，求出该定
值并证明；若不是定值，请说明理由.
12
11)(2
+++
=x a nx a x f ;
],1
[)(21上的最值在区间求时当e e x f ，a -=
21．(本题12分) 已知函数
（1）
（2） 讨论函数f(x)的单调性；
（3） 当-1<a<0时，有()()1ln 2
a
f x a >+-恒成立，求a 的取值范围。

请考生在第22,23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分。

22.（本题10分）圆C 的极坐标方程为)4
3
cos(22πθρ+
=，极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x 轴的非负半轴重合，且长度单位相同，直线l 的参数方程为
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧=--=t y t x 22221（t 为参数）。

（1）求C 的直角坐标方程及圆心的极坐标 （2）l 与C 交于A ，B 两点，求AB
23.（本题10分）已知函数a x x f -=)(，不等式4)2(≤x f 的解集为{}
40≤≤x x 。

（1）求a 的值
（2）若不等式2)()(<++m x f x f 的解集是空集，求实数m 的取值范围。

集宁一中2018---2018学年第一学期第三次月考
高三年级数学文科答案
一、 选择题
1---5．BDCDB 6-10. CBBAA 11-12. BD
二、填空题
13. 37 14. 4, --4 15. 16. 6
三、解答题
17. 1）(
)sin2cos22
4
f x x x x π
⎛⎫=+=+
⎪
⎝⎭. ∴()
f x的最小正周期为π.
（2）.
337
,,2
44444 x
x
πππππ
⎡⎤
∈∴≤+≤
⎢⎥
⎣⎦
,1sin2
4
x
π
⎛⎫
∴-≤+≤
⎪
⎝⎭
∴()1
f x
≤≤.∴当
3
,
44
x
ππ
⎡⎤
∈⎢⎥
⎣⎦
时,函数()
f x的最大值为1,最小值.
18. （Ⅰ）设等差数列{}n a的公差为d，因为37
a=，
57
26
a a
+=，所以有
1
1
27
21026
a d
a d
+=
⎧
⎨
+=
⎩
，解得
1
3,2
a d
==，
所以321)=2n+1
n
a n
=+-
（；
n
S=
n(n-1)
3n+2
2
⨯=2n+2n。

（Ⅱ）由（Ⅰ）知2n+1
n
a=，所以b n=
2
1
1
n
a-
=
2
1
=
2n+1)1
-
（
11
4n(n+1)
⋅=
111
(-)
4n n+1
⋅，
所以
n
T =
111111
(1-+++-)
4223n n+1
⋅-=
11
(1-)=
4n+1
⋅
n
4(n+1)
，
即数列{}n b的前n项和n T=
n
4(n+1)。

19. 证明：（1）取PD中点为M，连ME，MF ∵ E是PC的中点
∴ ME是△PCD的中位线
∴ ME//
2
1
CD ∵ F是AB中点且由于ABCD是菱形，AB//CD
∴ ME//FB ∴四边形MEBF是平行四边形
∴ BE∥MF
∵ BE⊄平面PDF ,MF⊂平面PDF ∴ BE∥平面PDF
（2）∵ PA⊥平面ABCD DF⊂平面ABCD ∴ DF⊥PA
∵底面ABCD是菱形，∠BAD=600∴△DAB为正△∵ F是AB中点∴ DF⊥AB
∵ PA 、AB 是平面PAB 内的两条相交直线 ∴ DF ⊥平面PAB ∵ DF ⊂平面PDF ∴ 平面PDF ⊥平面PAB
（3）连BD 交AC 与O 、连EO ∵ 底面ABCD 是菱形 ∴ BO ⊥AC ∵ PA ⊥平面ABCD BO ⊂平面ABCD ∴ BO ⊥PA
∵ PA 、AC 是平面PAC 内的两条相交直线 ∴ BO ⊥平面PAC ∴ EO 是BE 在平面PAC 内的射影
∴ ∠BEO 是BE 与平面PAC 所成的角
∵ O 是AC 、BD 的中点 ∴ BO=1，EO 是△PAC 的中位线 ∴ EO=2
1
PA=1 ∴ 在直角△BEO 中，tan ∠BEO=
EO
BO =1 ∴ ∠BEO=450
∴ 直线BE 与平面PAC 所成的角为450
20.
解：（Ⅰ）当AC 垂直于x 轴时，a b AF 2
2||=，
13||||21：：=AF AF ，∴a
b AF 2
13||= ∴a a b 242=，
∴222b a =，∴22c b =，故2
2=e . （Ⅱ）由（Ⅰ）得椭圆的方程为2
2
2
22b y x =+，焦点坐标为)0,(),0,(21b F b F -. ① 当弦AC 、AB 的斜率都存在时，设),(),,(),,(221100y x C y x B y x A ，则AC 所在的直线方
程为)(00
b x b
x y y --=
， 代入椭圆方程得0)(2)23(2
02
002
02
=--+-y b y b x by y bx b .
∴0
22
22023bx b y b y y --=，
C F AF 222λ=，b
x b y y 0
20223-=-=
λ. 同理b
x b 0
123+=
λ，∴621=+λλ
②当AC 垂直于x 轴时，则b
b
b 23,112+=
=λλ，这时621=+λλ； 当AB 垂直于x 轴时，则5,121==λλ，这时621=+λλ.
综上可知21λλ+是定值 6.
21.解：（Ⅰ）当2
1
-=a 时，14ln 21)(2++-=x x x f ，∴x x x x x f 21221)(2-=
+-='． ∵)(x f 的定义域为),0(+∞，∴由0)(='x f 得1=x ． ∴)(x f 在区间],1
[e e 上的最值只可能在)(),1(),1(e f e
f f 取到，
而421)(,4123)1(,45)1(22e e f e e f f +=+==，4
5)1()(,421)()(min 2
max ==+==f x f e e f x f ． （Ⅱ）2(1)()(0,)a x a
f x x x
++'=∈+∞，．
①当01≤+a ，即1-≤a 时，)(,0)(x f x f ∴<'在),0(+∞单调递减； ②当0≥a 时，)(,0)(x f x f ∴>'在),0(+∞单调递增； ③当01<<-a 时，由0)(>'x f 得1,12
+->∴+->
a a x a a
x 或1
+--<a a
x （舍去） ∴)(x f 在),1(
+∞+-a a 单调递增，在)1
,0(+-a a
上单调递减； 综上，当0≥a 时，)(x f 在),0(+∞单调递增； 当01<<-a 时，)(x f 在),1(
+∞+-a a 单调递增，在)1
,0(+-a a
上单调递减． 当1-≤a 时，)(x f 在),0(+∞单调递减；
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当01<<-a 时，min ()f x f =
即原不等式等价于1ln()2
a
f a >+-
即111ln()212
a a a
a a a +-⋅+>+-+整理得ln(1)1a +>- ∴11a e >
-， ------13分 又∵01<<-a ，所以a 的取值范围为11,0e ⎛⎫- ⎪⎝⎭
22.（1）)4
3
cos(22πθρ+
=⇒=ρ)sin 22cos 22(22θθ--θθsin 2cos 2--= ⇒θρθρρsin 2cos 22--=，即y x y x 2222--=+，∴2)1()1(22=+++y x
圆心)1,1(--的极坐标为)4
5,
2(π
(2)直线l 的直角坐标方程为01=++y x ，圆心C 到直线l 的距离2
2=
d ∴62
1
22=-
=AB 23. （1）4)2(≤x f ⇔42≤-a x ⇔424≤-≤-a x ⇔⎩⎨
⎧≤--≥-4
24
2a x a x
⇔
24
24+≤
≤-a x a ，根据题意：⎩
⎨⎧=+=-8404a a 。

∴4=a （2）2)()(<++m x f x f 的解集为空集，∴244<-++-m x x 的解集为空集， ∴244≥-++-m x x 在R 上恒成立，
又m m x x m x x =-+--≥-++-)4()4(44 ∴2≥m ，∴2≥m 或2-≤m。