甘肃省兰州市高三数学诊断考试(文)

甘肃省兰州市2009年高三数学诊断考试（文）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

满分150分。

考试用时120分钟。

参考公式：
如果事件A 、B 互斥，那么P （A+B ）=P （A ）+P （B ）
如果事件A 、B 相互独立，那么P （A ·B ）=P （A ）·P （B ） 如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概
率：k n k k n n )
p 1(p C )k (P --= 球的表面积公式：2R 4S π=，其中R 表示球的半径， 球的体积公式：3R 3
4
V π=，其中R 表示球的半径。

第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题（本大题12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知集合M={1，2，3}，N={1，2，3，4}，P={2，3，4，5}，则（M ∩N ）∪P 为 A. {1，2，3，4} B. {1，3，4，5} C. {2，3，4，5} D. {1，2，3，4，5}
2. 某中学高一年级有560人，高二年级有540人，高三年级有520人，用分层抽样的方法抽取容量为81的样本，则在高一、高二、高三三个年级依次抽取的人数分别是
A. 28、27、26
B. 28、26、24
C. 26、27、28
D. 27、26、25 3. 函数43cos x 2cos 224cos
x 2sin 22)x (f π
+π=的最大值是 A. 2 B. 1
C. 22
D. 2
4. 已知函数y=f （x ）是定义在R 上的可导函数，y=f ＇（x ）是y=f （x ）的导函数。

命题p ：0)x (f 0='；命题)x (f y :q =在0x x =处取得极值。

则p 是q 的
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分又不必要条件
5. 平面α的斜线AB 交α于点B ，过定点A 的动直线l 与AB 垂直，且交α于点C ，则动点C 的轨迹是
A. 一条直线
B. 圆
C. 椭圆
D. 双曲线的一支 6. 函数)x x (log )x (f 22-=的单调递增区间是 A. （0，1）
B. ]2
1,(-∞
C. )1,2
1[
D. ]2
1,0(
7. 下列结论正确的是 A. 当x>0且1x ≠时，2x
lg 1
x lg ≥+ B. 当x>0时，2x
1x ≥+
C. 2x ≥当时，x
1
x +
的最小值是2
D. 当2x 0≤≤时，x
1
x -
无最大值 8. 在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是棱CC 1与D 1C 1的中点，则直线EF 与A 1C 1所成角正弦值是
A. 1
B.
4
2
6+ C.
2
3 D.
2
2
9. 已知设、是非零向量，若函数b a )b x a ()b a x ()x (f ⊥-⋅+=且，则函数y=f(x)的图象是
A. 过原点的一条直线
B. 不过原点的一条直线
C. 对称轴为y 轴的抛物线
D. 对称轴不是y 轴的抛物线
10. 已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若31
S S 63=，则12
6S S 的值为
A.
9
1
B.
31 C. 81 D. 10
3
11. 已知直线012y 3x 4=--与两坐标轴分别相交于A 、B 两点，圆C 的圆心在坐标原点，
且与线段AB 有两个不同交点，则圆C 的半径的取值范围是
A. ),5
12
(
+∞ B. ]3,5
12
(
C. ]4,5
12
(
D. （3，4）
12. 从数字0，1，2，3，5，7，8，11中任取3个分别作为Ax+By+C=0中的A ，B ，C （A ，B ，C 互不相等）的值，所得直线恰好经过原点的概率为
A. 335
41 B.
8
1
C.
28
5 D.
8
3
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分。

将符合题意的答案填在题后的横线上）
13. 已知曲线1x y n -=在点（1，0）处的切线与直线01y x 2=+-平行，则实数n ＝ 。

14. 已知55443322105x a x a x a x a x a a )x 21(+++++=+，则2531242)a a a ()a a ++-+的值是 。

（用数字作答）
15. 已知点P 、Q 是⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤-+1
y 1x 0
5y x 内的点，O 为坐标原点，则tan ∠POQ 的取值范围是 。

16. 设)]x (f [f )x (f ,x 12
)x (f n 11n 1=+=+，且2)0(f 1)0(f a n n
n +-=. 则2009a ＝ .
三、解答题（本大题共6个小题，共70分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. （10分）已知函数)0(2
1
x 2cos )x 2cos x 2sin
3()x (f >ω-ωω+ω=的最小正周期为2π.
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，且满足C cos b B cos )c a 2(=-，求f(B)的值。

18. （12分）某商场准备在五一劳动节期间举行促销活动。

根据市场调查，该商场决定从2种服装商品、3种家电商品、5种日用商品中，选出3种商品进行促销活动。

（Ⅰ）试求选出的3种商品中至少有一种是日用商品的概率；
（Ⅱ）商场对选出的A 商品采用的促销方案是有奖销售，即在该商品现价的基础上将价格提高120元，同时允许顾客有3次抽奖的机会，若中奖，则每次中奖都可获得60元奖金。

假设顾客每次抽奖时获奖与否是等可能的。

试求某位顾客所中奖金数不低于商场提价数的概率。

19. （12分）如图，在三棱锥P －ABC 中，PA ⊥平面ABC ，∠BAC ＝2
π
，PA ＝2，AB=AC=4，点D 、E 、F 分别为BC 、AB 、AC 的中点。

（Ⅰ）求证：EF ⊥平面PAD ；
（Ⅱ）求点A 到平面PEF 的距离； （Ⅲ）求二面角E －PF －A 的正切值. 20. （12分）已知数列{a n }是首项为3、公差为2的等差数列，其前n 项和为S n 。

数列{b n }为等比数列，且0b ,1b n 1>=，数列{b n }是公比为64的等比数列。

（Ⅰ）求{a n }，{b n }的通项公式；
（Ⅱ）求证：
.4
3S 1S 1S 1n 21<+++ 21. （12分）已知函数2mx x )x (f 23-+=，且函数x 6)x (f )x (g +'=的图象关于y 轴对称
（Ⅰ）求实数m 的值；
（Ⅱ）求函数)x (f y =的单调区间；
（Ⅲ）若直线y=n 与函数y=f(x)的图象有3个不同的交点，求实数n 的取值范围。

22. （12分）在平面直角坐标系xOy 中，动点P 到定点（0，3）距离与到定直线：3
3
4y =
的距离之比为.2
3
设动点P 的轨迹为C 。

（Ⅰ）写出C 的方程；
（Ⅱ）设直线y=kx+1与C 交于A 、B 两点，当5
2
8||=时，求实数k 的值；
（Ⅲ）若点A 在第一象限，证明：当k>0时，恒有.|OB ||AB |>
试题答案
一、选择题（本大题12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. D
2. A
3. C
4. B
5. A
6. D
7. B
8. C
9. A 10. D 11. B 12. B 5. 简析：经过一点和已知直线垂直的平面有且只有一个，两平面相交，交线为直线。

故选A 。

10. 简析：设m S 3=，则m 3S 6=，而91269363S S ,S S ,S S ,S ---成等差数列，所以
m 4S S ,m 3S S ,m 2S S 9126936=-=-=-，故m 10S 12=。

故选D 。

11. 简析：易知A （3，0），B （0，－4），当圆C 与直线012y 3x 4=--相切时，5
12
R =
；当圆C 过点A （3，0）时，恰有两个交点，此时R ＝3；当圆C 过点B （0，－4）时，圆C 与线段AB 只有一个交点。

所以R>3时圆C 与线段AB 只有一个交点或没有交点。

故选B 。

12. 简析：81
67867A A 3827=⨯⨯⨯=，故选B 。

二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分。

将符合题意的答案填在题后的横线上）
13. 2； 14. －243； 15. ]815,0[； 16. 2010)2
1
(. 14. 25312420)a a a ()a a a (++-++
)a a a a a a ()a a a a a a (543210543210-+-+-⋅+++++=
用赋值法解得
2433)a a a ()a a a (55312420-=-=++-++。

故填－243。

15. 答案：]815,0[。

做出⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤-+1
y 1x 0
5y x 表示的区域：
则当点P 、Q 在⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤-+1
y 1x 0
5y x 表示的区域内重合时，∠POQ 最小为0，所以tan ∠POQ ＝0；
当点P 在B （C ）、Q 在C （B ）时∠POQ 最大，此时∠POQ 为直线OB 与OC 的夹角，解得tan
∠POQ ＝815。

所以，tan ∠POQ 的取值范围是]8
15
,0[。

16. 简析：
43333222211121
1612)0(f 1)0(f a ,212
3
21
322)0(f 1)0(f a ,21412)0(f 1)0(f a ==+-=-=+-=+-===+-=
∴a n 是一个首项为41，公比21q -=的等比数列，∴.)2
1
(a 20102009=
三、解答题（本大题共6个小题，共70分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. （Ⅰ）)6
x sin(21x 2cos x 2cos x 2sin
3)x (f 2π+ω=-ω+ωω= 4分 ∵π=ωπ=22T ∴ω＝1 ∴)6x sin()x (f π+=
6分
（Ⅱ）∵C cos b B cos )c a 2(=-
∴C cos B sin B cos C sin B cos A sin 2=-
A sin )C
B sin(B cos A sin 2=+= ∴2
1B cos =
∴3
B π=
8分
∵12
sin
)63sin()6B sin()B (f =π=π+π=π+= ∴f(B)=1 10分
18. 解：（Ⅰ）从2种服装商品、3种家电商品、5种日用商品中，选出3种商品，一共
有310C 种不同的选法. 选出的3种商品中，没有日用商品的选法有35C 种，所以选出的3种
商品中至少有一种日用商品的概率为
1211
1211C C 1P 310
35=-=-=
6分
（Ⅱ）要使所中奖金数不低于商场提价数，则该顾客应中奖两次或三次，分别得奖金
120元和180元。

8分
顾客每次抽奖时获奖与否是等可能的，其概率都是
2
1
， 9分
所以中奖两次的概率是：8
3)21()21(C P 22
31=
=， 中奖三次的概率是8
1
)21(P 32=
=，
10分
故中奖两次或三次的概率：.2
1
8183P P P 21=+=+= 即所中奖金数不低于商场提价数的概率等于.2
1
12分
说明：其他解法请酌情给分。

19. 解法一：
（Ⅰ）∵PA ⊥平面ABC ，∴PA ⊥EF ，AD 为PD 在平面ABC 内的射影。

又∵点E 、F 分别为AB 、AC 的中点，∴EF ∥BC. 在△ABC 中，由于AB=AC ，故AD ⊥BC ，所以EF ⊥AD. ∵PA ⊥EF ，EF ⊥AD ∴EF ⊥平面PAD 4分
（Ⅱ）设EF 与AD 相交于点G ，连接PG.
∵EF ⊥平面PAD
∴平面PEF ⊥平面PAD ，交线为PG ， 过A 做AO ⊥平面PEF ，则O 在PG 上，
所以线段AO 的长为点A 到平面PEF 的距离 在Rt △PAG 中，3
3
2AO ,2AG ,2PA =∴== 即点A 到平面PEF 的距离为
3
3
2 8分 说明：该问还可以用等体积转化法求解，请根据解答给分。

（Ⅲ）∵PA ⊥平面ABC ，∠BAC ＝2
π
∴BA ⊥平面PAC 。

过A 做AH ⊥PF ，垂足为H ，连接EH ， 则EH ⊥PF
所以∠EHA 为二面角E ―PF ―A 的一个平面角。

10分
在Rt △EAH 中，EA=2，22
2
EHA tan ,2AH ==∠∴= 即二面角E －PF －A 的正切值为.2 ∴二面角E －PF －A 的大小2tan art
12分
解法二：
∵PA ⊥平面ABC ，∠BAC ＝
2
π
， ∴AB 、AC 、AP 两两垂直，建立如图所示空间直角坐标系，则A （0，0，0），E （2，0，0），D （2，2，0），F （0，2，0），P （0，0，2） 2分
（Ⅰ）∵且)0,2,2(EF ),0,2,2(AD ),2,0,0(AP -===，
0200202=⨯+⨯+⨯-=⋅，
00022)2(2AD EF =⨯+⨯+-⨯=⋅
∴PA ⊥EF ，EF ⊥AD
∴EF ⊥平面PAD
4分
（Ⅱ）)2,0,2(-=，设)z ,y ,x (=为平面PEF 的一个法向量，则
⎩
⎨
⎧=+-=⋅=-=⋅0y 2x 2n EF 0
z 2x 2n PE 令x=1，则y=1，z=1，所以)1,1,1(= 6分
故点A 到平面PEF 的距离d 为：
3
3
2111|
121010||
n |d 2
22=
++⨯+⨯+⨯=
=
所以点A 到平面PEF 的距离为
3
3
2
8分
（Ⅲ）依题意AE ＝（2，0，0）为平面PAF 的一个法向量，设二面角E －PF －A 的大小
为θ（由图知θ为锐角）则，3
3
3
22cos =
=
=
θ， 10分
所以3
6sin =
θ， ∴2tan =θ
即二面角E －PF －A 的正切值为.2 12分
20. 解：（Ⅰ）依题意有：1n 22)1n (3d )1n (a a 1n +=⨯-+=-+=
1分
设{b n }的公比为q ，则1n n q b -=， ∵数列}b {n a 是公比为64的等比数列 ∴
64q b b b b 23
5
a a 1
2===
解得q=8 ∴1n n 8b -= 6分
（Ⅱ）)2n (n )1n 2(53S n +=++++=
8分
∴
)
2n (n 1531421311S 1S 1S 1n 21+++⨯+⨯+⨯=+++ 9分 )2n 1n 151314121311(21+-++-+-+-= 11分 4
3)2n 11n 1211(21<+-+-+= 12分
21. 解：（Ⅰ）由mx 2x 3)x (f ,2mx x )x (f 223+='-+=得
则x )6m 2(x 3x 6mx 2x 3x 6)x (f )x (g 22++=++=+'=，由于函数 x 6)x (f )x (g +'=的图象关于y 轴对称 所以2m+6=0，所以m ＝－3
（Ⅱ）由（Ⅰ）得2x 3x )x (f 23--=
所以x 6x 3)x (f 2-='，令0)x (f >'解得)0,(x -∞∈或),2(x +∞∈；令0)x (f <'，解得)2,0(x ∈
所以函数),2(),0,()x (f +∞-∞在上单调递增，在（0，2）上单调递减。

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，函数y=f(x)在x=0时有极大值，在x=2时有极小值，所以使直线y=n 与函数y=f(x)的图象有3个不同交点，则须有
)0(f n )2(f << 即2n 6-<<- 22. 解：（Ⅰ）设P （x,y ），则依题意有：
2
3|3
3
4y |)3y ()0x (2
2=
-
-+-，化简得14y x 22
=+ 故曲线C 的方程为.14
y x 2
2
=+ 4分 注：若直接用334c a ,3c 2==，得出14
y x 22
=+，给2分。

（Ⅱ）设)y ,x (B ),y ,x (A 2211，其坐标满足
⎪⎩⎪⎨⎧+==+.
1kx y ,14y x 22 消去y 并整理得03kx 2x )4k (22=-++
※ 故.4
k 3
x x ,4k k 2x x 2212
21+-=+-=+
5分
2122212212)x x )(k 1()y y ()x x (||-+=-+-=，
而2
22222212
122
12)4k (48
k 164k 12)4k k 2(x x 4)x x ()x x (++=
+++-=-+=- ∴2
2
22
)4k (48k 16)k 1(25264++⨯+=⨯ 化简整理得 053k 36k 1724=-+ 7分 解得：1k 2= 经检验k=±1时方程 ※的△>0 ∴k=±1 9分
（Ⅲ）)y x ()y x (||||2222212122+-+=- 22212221)1kx ()1kx (x x +-++-=
]k 2)k 1)(x x )[(x x (22121+++-= .4
k )x x (k 622l +-=
因为A 在第一象限，故0x 1>。

由4
k 3
x x 2
21+-=
知0x 2<，又k>0，故0|OB ||OA |22>-，
即在题设条件下，恒有.||||>
12分。