福建专版春八年级数学下册第十八章平行四边形.特殊的平行四边形..矩形知能演练提升新版新人教版.docx

18.2特殊的平行四边形
18.2.1矩形
知能演练提升
能力提升
1.下列命题错误的是()
A.对角线相等且互相平分的四边形是矩形
B.矩形的每条对角线分矩形所得的三角形都全等
C.对角线相等且有一个角是直角的四边形是矩形
D.四个角都相等的四边形是矩形
2.如图所示,A,B,C分别表示三个村庄,AB=1 000 m,BC=600 m,AC=800 m,在新农村建设中,为了丰富群众生活,拟建一个文化活动中心,要求这三个村庄到活动中心的距离相等,则活动中心P的位置应在()
A.AB中点
B.BC中点
C.AC中点
D.∠C的平分线与AB的交点
3.如图,∠AOB=90°,∠AOB内的任意一点P到这个角两边的距离之和为6,则图中四边形的周长为.
4.如图,将矩形纸片ABCD的四个角向内折起,恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH,若EH=3 cm,EF=4 cm,则边AD的长是 cm.
5.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D,E,F分别是AB,BC,CA的中点,若CD=5 cm,则EF=cm.
(第4题图)
(第5题图)
6.如图,在平行四边形ABCD中,E为BC的中点,连接AE并延长交DC的延长线于点F.
(1)求证:AB=CF;
(2)当BC与AF满足什么数量关系时,四边形ABFC是矩形,并说明理由.
创新应用
★7.如图,在△ABC中,点O是AC边上(端点除外)的一个动点,过点O作直线MN∥BC.设MN交∠BCA的平分线于点E,交∠BCA的外角平分线于点F,连接AE,AF.那么当点O运动到何处时,四边形AECF是矩形?并证明你的结论.
参考答案
能力提升
1.C
2.A 由勾股定理的逆定理可知,这是一个直角三角形,到三个顶点距离相等的点是斜边的中点.
3.12 由有三个角是直角的四边形是矩形,得该四边形是矩形.所以该四边形的周长为2×6=12.
4.5 折叠前后的三角形是全等图形,
所以四边形EFGH 是矩形,AD=HF ,HF=√EE 2+EE 2=√3+4=5(cm). 5.5 因为△ABC 是直角三角形,CD 是斜边的中线, 所以CD=1
2AB.AB=2CD=10cm . 又因为EF 是△ABC 的中位线, 所以EF=1
2AB=1
2×10=5(cm).
6.(1)证明∵四边形ABCD 是平行四边形, ∴AB ∥CD ,AB=CD.
∴∠BAE=∠CFE ,∠ABE=∠FCE. ∵E 为BC 的中点,∴EB=EC. ∴△ABE ≌△FCE.∴AB=CF.
(2)解当BC=AF 时,四边形ABFC 是矩形. 理由如下:∵AB ∥CF ,AB=CF , ∴四边形ABFC 是平行四边形. ∵BC=AF ,∴四边形ABFC 是矩形. 创新应用 7.
解当点O 运动到AC 的中点(或OA=OC )时,四边形AECF 是矩形. 证明过程如下:
∵CE 平分∠BCA ,∴∠1=∠2. 又MN ∥BC ,∴∠1=∠3. ∴∠3=∠2,∴EO=CO. 同理,FO=CO.∴EO=FO.
又OA=OC ,∴四边形AECF 是平行四边形. ∵∠1=∠2,∠4=∠5, ∴∠1+∠5=∠2+∠4.
∵∠1+∠5+∠2+∠4=180°,
∴∠2+∠4=90°.
∴四边形AECF是矩形.。