几种常见的平面变换教学设计

《几种常见的平面变换》教学设计
江苏省羊尖高级中学邓国华
【设计思想】
必修课程是为了知足所有学生的一起数学需求，选修课程是为了知足学生的不同数学需求．但是，高中教育属于基础教育，高中数学课程的设置仍是成立在“构建一起基础，提供进展平台”的新课程理念的基础上的，因此，选修4-2《矩阵与变换》仍然是增进学生进展的基础性数学课程．
《矩阵与变换》具有三大特色：一、突出了矩阵的几何意义——直观性；二、从特殊到一样，从直观到抽象——符合学生的认知特点；3、用实例展现矩阵应用的普遍性——符合社会实际需要，这有利于激发学生学习数学的爱好，有利于增强学生的数学应用意识，有利于扩展学生的视野．
基于上述三大特色及课程的基础性，《矩阵与变换》的教学应注重：１．创设切近学生的生活实际的问题情境，培育和进展学生的数学应用意识，让学生在经历知识的发生、进展、形成的进程中感受数学的社会文化科学价值．２．引导和鼓舞学生采纳从特殊到一样、直观到抽象、自主探讨、动手实践、合作交流等方式学习《矩阵与变换》，让学生不断地提高数学思维能力的基础上，体验数学发觉和制造的历程，提高学生学习数学的能力，进展他们的创新意识．３．由于《矩阵与变换》是为了知足学生的不同数学需求而设置的基础性选修课程，因此其教学的重点仍是要立足于＂双基＂，教学进程应强调数学本质，注意适度形式化，教师要擅长把数学的学术形态转化为学生易于同意的教育形态，依照建构主义和最近进展区域理论，抓住知识真实的实际背景和知识的生长点，挖掘知识的本原性问题，驱动数学知识与概念的教与学．４．《矩阵与变换》的教学应具有很强的直观性，把信息技术与课程科学合理的整合是提高《矩阵与变换》的教学成效的关键，在教学进程中，咱们应鼓舞学生运用运算机对矩阵的作用进行探讨和研究，进一步地增强学生数学应用与创新的意识．【教材分析】
１．《矩阵与变换》的实际意义
矩阵是代数学的大体内容之一，变换是几何中的大体内容之一．矩阵是研究图形（向量）变换的大体工具，在军事密码学、信息平安的加密、大型工程的计算、线性方程组的求解等
问题中都有着普遍的应用，许多数学模型都能够用矩阵来表示.因此学好矩阵、把握矩阵、用好矩阵，能够使咱们的生活变得加倍美好与和谐！
2．《矩阵与变换》的要紧内容与几何意义
本章主若是通过平面图形的变换讨论二阶方阵的乘法及性质、简单的线性运算及其性质、逆矩阵与逆变换、矩阵的特点值与特点向量等概念，并以变换和映射的观点明白得解线性方程组的意义，应用实例初步展现矩阵应用的普遍性．几何意义的三个层面：（１）矩阵---几何变换的代数表示；（２）几何代数化----向量；（３）平面几何变换----二阶矩阵乘向量３．《矩阵与变换》与高等数学的联系与区别．
选修４－２《矩阵与变换》起点低，只通过特殊到一样、具体到抽象的方式讨论具体的二阶方阵、从几何上明白得矩阵的有关知识、注重矩阵的几何意义及其在生活实际中的应用、为进一步学习高等数学奠定基础．其教学定位应与大学教学相区别，在大学课程中矩阵作为代数的运算对象,要紧研究运算性质；线性方程组与线性空间的表示方式.而在中学课程标准中要紧通过几何变换对几何图形的作用体会矩阵的几何作用,从直观上熟悉矩阵的意义．４．《矩阵与变换》的特色与要紧意义
特色：
①突出了矩阵的几何意义；
②从特殊到一样，从直观到抽象；
③应用实例展现矩阵应用的普遍性．
要紧意义：
矩阵确实是一个几何变换，它把平面上的任一个点（向量）或图形，变成平面上的另一个点（向量）或图形．
中学常见的几种平面几何变换：恒等变换伸压变换反射变换切变变换旋转变换投影变换等．
５．新课程标准对《矩阵与变换》的教学建议
以矩阵对平面图形作几何变换为主线贯穿于整个教学进程，使学生真正明白得矩阵对向量的作用．通过图形变换明白得并把握初等变换，注意旋转变换只讨论以坐标原点为中心的几何变换．
《矩阵与变换》的教学的重点：初等变换、矩阵的特点值和特点向量．
《矩阵与变换》的教学的难点：线性运算及性质．
①本专题只对具体的二阶方阵加以讨论，不讨论一样的高阶矩阵形式的表示、运算及性质．
②矩阵的引入要从具体的实例开始，通过具体的实例让学生熟悉到，某些几何变换能够用矩阵来表示，丰硕学生对矩阵几何意义的明白得，并引导学生用映射的观点来熟悉矩阵、求解简单的线性方程组．
③要求从图形的变换直观地明白得矩阵的乘法，并通过具体的实例让学生明白得矩阵乘法的运算律．
④要在具体的实例中明白得逆矩阵和特点值的实际意义及其不变性，结合具体实例能用线性方程组来求解简单二阶矩阵的逆矩阵和特点值．逆矩阵的唯一性定理要结合具体几何变换来明白得其合理性．
⑤在学习二阶矩阵基础知识的同时，教师能够依照教学的实际情形适时地介绍一些矩阵的拓广知识（如三阶矩阵或高阶矩阵），这些不要求学生把握，只要求学生作一些感性的熟悉，也便于学生对矩阵的有关知识有一个较为全面的了解，有利于以后的学习．
⑥这部份内容的教学应让学生熟悉到，矩阵从实际生活需要中产生，并在实际的问题中有着普遍的应用，体验数学的抽象更有助于人们对问题的试探与解决．
６．《几种常见的平面变换》的内容与教学假想
内容：
①从整个选修４－２来看，《几种常见的平面变换》是本章的重点，也是进一步研究高等数学的基础．其大体内容包括：恒等变换伸压变换反射变换切变变换旋转变换投影变换等．
②《几种常见的平面变换》有着普遍的实际应用背景，平面变换的知识生长点为矩阵对平面向量的乘法运算，这也正是本节课教学的切入点．
教学假想：
①通过合作交流、自主探讨等方式充分研究和明白得新理念与新课程标准，充分研究教材内容的特点，及时地了解并把握学生对矩阵的熟悉与学习《矩阵与变换》的认知特点，探访适合学生进展的科学的教学方式．
②创设＂动画＂这一实际的问题情境，让学生体会数学的社会文化科学价值，激发学生
学习的爱好与求知欲，进展学生数学建模与应用意识．
③通过探讨的方式，让学生经历知识的发生、进展、形成的进程，使数学知识和思想方式能够自然地从学生头脑中流淌出来．
④通过合作交流等学习方式，使学生学会运用＂从特殊到一样，从直观到抽象＂的思想方式学习《矩阵与变换》，从而真正地提高学生学习数学的能力，为学生终身学习打下坚实地基础．
【教学目标】
知识技术：①通过问题探讨的方式，使学生明白得和把握三种初等平面变换：恒等变换伸压变换反射变换。

②通过以平面变换为载体的学习进程，培育学生从特殊到一样，从直观到抽象的学习方式，提高学生学习数学的能力．
进程与方式：探讨式与教学相结合；辅助设备：多媒体
重点：把握三种平面变换；难点：明白得平面变换与实际问题之间的关系．
情感态度：通过创设问题情境，设置问题悬念，激发学生学习的爱好与求知欲；通过师生之间互动的合作交流等教与学的方式，营造和谐的课堂教与学的气氛及师生之情．【教学进程】
一、情境创设
用《鸽子》、《漂亮的动态数学图形》等动画创设实际问题情境引入课题．
动画形成方式一样有两种方式：
1．把每一张幻灯片持续播放，可是这需要制作大量的幻灯片，而且播放速度是动画传神的关键.
2．运算机动画是指用绘制程序生成的一系列景物画面，其中后一幅画面是对前一幅画面的部份修改，也确实是几何变换.
那么运算机是如何用绘制程序处置每一幅画面的呢？
猜一猜：是什么让这些图形动起来形成动画，使咱们的生活变得如此的丰硕多彩漂亮动人呢？
——矩阵对平面向量的运算每一个动画进程背后涉及了数量惊人的矩阵运算，固然运算机的速度是动画漂亮传神的关键.
设计用意：建构主义以为：创设真实的切近学生生活实际的问题情境，有利于激发学生
的学习爱好和求知欲望．通过运算机动画与幻灯片切换形成的动画对照，让学生弄清楚动画形成的方式，初步了解运算机通过矩阵对平面向量的运算来改变平面图形，形成动画的进程，明白进一步学习《矩阵与变换》的意义，从而解决什么缘故而学的问题，促使学生产生学习的动机，变被动学习为自己需要学习．
二、活动探讨 １．温习回忆
①矩阵乘法概念(代数形式)：
⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯+⨯⨯+⨯=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x y a x a y a x a y x a a a a 0220210120110022211211 其中：
一样地：把平面向量（点）的坐标表示为列矩阵⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡y x 的形式
②矩阵的几何作用：
矩阵把平面上的任一个点(向量)变成平面上的另一个点（向量）——是一个几何变换 类比一下，你会想到什么？
矩阵把平面上的任一个平面图形变成平面上的另一个平面图形——平面图形几何变换 设计用意：温故而知新，矩阵对平面向量的乘法运算和其对平面图形所产生的作用，是本节课的新知识的生长点，让学生在问题情境的阻碍和温习的进程中发觉新知识，从而使课堂教学成为学生再制造的进程，为学生进一步的探讨活动点燃思维的火花．
２．探讨合作
问题：你能运用矩阵对下面的图形作一些特殊的平面图形变换吗？
[][]2112111121111211
b a b a b b a a ⨯+⨯=⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡0
22021012011y a x a y y a x a x ⨯+⨯=⨯+⨯=
1，2）
2，2）
设计用意：新课程提倡自主探讨、动手实践、合作交流等学习数学的方式．那个地址的探讨活动是本节课的核心部份，教学的重点．依照学生的认知特点，设计一个探讨式的开放性问题情境，能够使学生经历两个进程：（１）自主探讨、动手实践、合作交流的学习进程；（２）经历知识的发生、进展、形成的进程．这两个进程有利于学生弄清知识的前因后果，从而真正地使学生学会学习、擅长学习、乐于学习数学．
三、意义建构 恒等变换
对平面上任图形施以矩阵
对应的变换，都把自己变成自己.咱们把这种特殊
的矩阵称为恒等变换矩阵或单位矩阵,对应的变换叫做恒等变换(identity transformation).
二阶单位矩阵一样记为：E 伸压变换
假设矩阵M 将平面图形作沿y 和x 轴方向伸长或紧缩的变换,那么称矩阵M 为沿y 和x 轴的垂直伸压变换矩阵,对应的变换称为垂直伸压变换(expansion or compression),简称伸压变换.
问题：你能够列举一些如此的矩阵M 吗?
设计用意：学生主动地进行数学意义建构是学习数学的关键，因此在前面探讨活动的前提下，完全能够让学生依照从特殊到一样，从具体到抽象的方式自主地去发觉问题、分析问题并对问题进行归纳和提炼，从而使学生的学习能力取得更高层次的提高——“自觉分析”．
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡1001
四、数学应用
例题1: 求
经矩阵M=变换T 作用以后
的图形的极点坐标.
例题2:曲线C:在矩阵A=对应的(伸压)变换下变成(椭圆),求此曲线的方程. 例题3:平面图形经以下矩阵别离作何变换?
问题：你发觉什么规律了吗?
设计用意：从不同的层面和角度进行数学应用，能够使学生进一步的明白得知识和灵活
的运用数学思想方式，培育学生数学思维的深刻性．再次设置悬念，激发学生的探讨活动，把学生的学习活动引向学习知识的另一个进展进程．从而使学生的思维从凝聚走向发散，培育学生思维的灵活性．
五、巩固反馈 恒等变换
伸压变换
)
2,0(),0,1(),0,2(,C B A ABC -∆⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢
⎣⎡210021
22=+y x ⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡2001⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡2005
.0,5.0001
,1003
,0000⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-1001⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡10011/2 0 0 1
1 0 0 1/2
反射变换
假设矩阵M 将一个平面图形变成关于定直线或定点对称的平面图形的变换,称为反射变换,矩阵M
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-1001
问题：关于原点或直线y ＝x 对称呢？
设计用意：在巩固练习的进程中，促使学生对所学知识和方式进行反思，在反思中进行数学的再制造．改变一种教学方式，让学生经历对矩阵的代数形式的分析，依照数的转变规律进行合情推理归纳出反射变换的概念的进程，能够培育学生学习数学的发散性思维．
六、归纳提升
几种常见的平面几何变换：•恒等变换•伸压变换•反射变换•旋转变换•投影变换•切变变换
学法提示：多探讨、多阅读、多交流、多试探、多创新！相关链接：矩阵是研究图形（向量）变换的大体工具，在军事密码学、信息平安的加密、大型工程的计算、线性方程组的求解等问题中都有着普遍的应用，许多数学模型都能够用矩阵来表示.因此学好矩阵、把握矩阵、用好矩阵，能够使咱们的生活变得加倍美好与和谐！
设计用意：简单的归纳提炼，能够起到画龙点睛的成效，帮忙学生完善认知结构与知识体系，提高学生学习数学的效率，从而达到深切浅出、触类旁通的教学目的．
【课后反思】
面对新的教学内容，教师和学生一样，咱们都是一个初学者，但教师与学生不同，教师
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-1001
需要作出更多的研究和学习；需要充分地明白得新课程理念与新课程标准；需要在教学实施前充分地研究教材内容的特点，抓住数学的本质规律和学生的认知特点，着重研究科学的教学方式，惟有如此教师才能适应新课程的教学．那么如何才能上好新课程的课，提高课堂教学效率呢？
（责编：姚敬东）。