【名师推荐资料】2020年秋九年级数学上册 第3章 圆的基本性质 3.8 弧长及扇形的面积 第1课时 弧长的相关计

第3章 圆的基本性质
3.8 弧长及扇形的面积 第1课时 弧长的相关计算
知识点1 利用弧长公式求弧长
1．在半径为6 cm 的圆中，120°的圆心角所对的弧长为________cm.
2．2016·台州如图3－8－1，△ABC 的外接圆O 的半径为2，∠C ＝40°，则AB ︵
的长是________．
3－8－1
图3－8－2
3．如图3－8－2，正六边形ABCDEF 内接于⊙O ，⊙O 的半径为1，则AB ︵
的长为________．
图3－8－3
4．2017·绍兴模拟如图3－8－3，在等腰三角形ABC 中，AB ＝AC ，BC ＝6，∠BAC ＝30°，以点C 为圆心，CB 长为半径画弧交AB 于点D ，则弧BD 的长为( )
A.
π
2
B ．π C.
3π2 D.25π12
5．如图3－8－4，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，⊙O 的半径为2，∠B ＝135°，求
AC ︵
的长．
图3－8－4
6．如图3－8－5，在△ABC 中，AB ＝4 cm ，∠B ＝30°，∠C ＝45°，以点A 为圆心，以
AC 长为半径作弧与AB 交于点E ，与BC 交于点F ，求CE ︵
的长．
图3－8－5
知识点2 利用弧长公式求圆心角或半径
7．如果一个扇形的弧长是4
3π，半径是6，那么此扇形的圆心角的度数为( )
A ．40°
B ．45°
C ．60°
D ．80°
8．2017·瑞安四校联考已知扇形的圆心角为120°，弧长为6π，则它的半径为________．
9．(1)直径为100 cm 的圆弧的度数为40°，求这条弧的长度；
(2)圆弧的圆心角为300°，它所对的弧长等于半径为6 cm 的圆的周长，求该弧所在圆的半径．
10．如图3－8－6，△ABC 内接于⊙O ，∠A ＝60°，BC ＝6 3，则BC ︵
的长为( ) A ．2π B ．4π C ．8π D ．12π
3－8－6
3－8－7
11．2017·温州二模如图3－8－7，半圆O 的直径AB ＝4，P ，Q 是半圆O 上的点，弦PQ 的长为2，则AP ︵与QB ︵
的长度之和为( )
A.
2π3 B.4π3 C.5π
3
D ．π
图3－8－8
12．如图3－8－8，将边长为1 cm 的等边三角形ABC 沿直线l 向右翻动(不滑动)至点B 重新落在直线l 上，点B 从开始运动到结束，所经过路径的长度为( )
A.32π cm B ．(2＋2
3π)cm C.4
3
π cm D ．3 cm 13．如图3－8－9，在△ABC 中，AB ＝AC .分别以B ，C 为圆心，BC 长为半径，在BC 下方画弧，设两弧交于点D ，与AB ，AC 的延长线分别交于点E ，F ，连结AD ，BD ，CD .若BC ＝6，∠BAC ＝50°，求ED ︵，FD ︵
的长度之和．(结果保留π)
图3－8－9
14．课本例2变式一段圆弧形的公路弯道，圆弧的半径为2 km ，弯道所对圆心角为10°，
一辆汽车从此弯道上驶过，用时20 s，弯道上有一块限速警示牌，限速为40 km/h，则这辆汽车经过弯道时有没有超速？(π取3)
15．如图3－8－10，在菱形ABCD中，AB＝2，∠C＝60°，我们把菱形ABCD的对称中心称作菱形的中心．菱形ABCD在直线l上向右做无滑动地翻滚，每绕着一个顶点旋转60°叫一次操作，则：(1)经过1次这样的操作，菱形中心O所经过的路径长为多少？
(2)经过18次这样的操作，菱形中心O所经过的路径总长为多少？
(3)经过3n(n为正整数)次这样的操作，菱形中心O所经过的路径总长为________．(结果都保留π)
图3－8－10
详解详析
1．4π 2.8
9π
3.
π
3
[解析] 连结OA ，OB . ∵六边形ABCDEF 为正六边形， ∴∠AOB ＝360°×1
6＝60°，
∴AB ︵的长为60×π180＝π3.故答案为π3
.
4．B [解析] ∵AB ＝AC ，BC ＝6，∠BAC ＝30°， ∴∠ABC ＝∠ACB ＝75°. ∵BC ＝DC ，
∴∠BDC ＝75°，∠BCD ＝30°， ∴弧BD 的长为30π×6
180＝π.
故选B.
5．解：如图，连结OA ，OC . ∵∠B ＝135°，
∴∠D ＝180°－135°＝45°，
∴∠AOC ＝90°，则AC ︵的长为90π×2
180＝π.
6．解：如图，过点A 作AD ⊥BC 于点D ，
∵∠B ＝30°，AB ＝4 cm ， ∴AD ＝2 cm. ∵∠C ＝45°， ∴∠DAC ＝45°， ∴AD ＝CD ＝2 cm ， ∴AC ＝2 2 cm.
∵∠B ＝30°，∠C ＝45°， ∴∠A ＝105°，
∴CE ︵的长为105×π×2 2180＝7 26.
7．A [解析] ∵弧长l ＝
n πr
180
，
∴n ＝180l
πr ＝180×43π
6π＝40，
∴此扇形的圆心角的度数为40°. 8．9
9．解：(1)l ＝40π×50180＝100π9(cm)．
(2)∵n ＝300，l ＝2×6π＝12π，l ＝n πR
180
，
∴R ＝180l n π＝180×12π
300π＝7.2(cm)．
10．B [解析] 连结OB ，OC ， ∵∠A ＝60°，∴∠BOC ＝120°.
∵BC ＝6 3，∴R ＝OB ＝6，则BC ︵＝n πR 180＝120π×6
180＝4π.故选B.
11．B [解析] 如图，连结OP ，OQ ，
则OP ＝OQ ＝2， ∵OP ＝OQ ＝PQ ＝2， ∴△OPQ 为等边三角形， ∴∠POQ ＝60°， ∴∠AOP ＋∠BOQ ＝120°，
则AP ︵与QB ︵的长度之和为120×π×2180＝4π
3.
故选B.
12．C [解析] ∵△ABC 是等边三角形， ∴∠ACB ＝60°，∴∠ACA 1＝120°. ∵点B 两次翻动划过的弧长相等， ∴点B 经过的路径长为2×
120π×1180＝4
3
π(cm)． 13．解：∵AB ＝AC ，∠BAC ＝50°，∴∠ABC ＝∠ACB ＝65°. ∵BD ＝CD ＝BC ，∴△BDC 为等边三角形， ∴∠DBC ＝∠DCB ＝60°， ∴∠DBE ＝∠DCF ＝55°. ∵BC ＝6，∴BD ＝CD ＝6，
∴ED ︵的长度＝FD ︵的长度＝55π×6180＝11π
6.
∴ED ︵，FD ︵的长度之和为11π6＋11π6＝11π
3
.
14．解：∵l ＝
n πr 180
＝
10π×2180
＝π
9
(km)，
∴汽车的速度为π9÷20
3600≈60(km/h)．
∵60 km/h ＞40 km/h ， ∴这辆汽车经过弯道时超速．
15．解： (1)如图，连结AC ，BD ，则AC ，BD 相交于点O .在菱形ABCD 中，AB ＝2，∠BCD ＝60°，
∴AB ＝AD ，∠BAD ＝∠BCD ＝60°，AC ⊥BD ，BO ＝DO ， ∴△ABD 是等边三角形，BO ＝DO ＝1， ∴AO ＝AD 2
－DO 2
＝ 3.
∴经过1次这样的操作，菱形中心O 所经过的路径长为60π×3180＝3
3π.
(2)由(1)可得：第一次旋转点O 所经过的路径长为
3
3
π， 第二次旋转点O 所经过的路径长为
3
3
π， 第三次旋转点O 所经过的路径长为60π×1180＝π
3.
∵18÷3＝6，
故经过18次这样的操作，菱形中心O 所经过的路径总长为6×(33π＋33π＋π
3
)＝(4 3＋2)π.
(3)经过3n (n 为正整数)次这样的操作，菱形中心O 所经过的路径总长为n ×(2 3
3π＋
π3)＝2 3＋13
n π.。