高中数学 第二章 函数 2.2.2 函数的表示法学案 北师大版必修1-北师大版高一必修1数学学案

2.2．2 函数的表示法
1．掌握函数常用的三种表示法．(重点)
2．能根据不同的需要选择恰当的方法表示函数，了解函数不同表示法的优缺点．
3．理解分段函数及其表示法，会处理某些简单的分段函数问题．(难点)
[基础·初探]
教材整理 1 函数的表示法
阅读教材P28～P29“例2”以上内容，完成下列问题．
某汽车司机看见前方约50米处有行人穿过马路，这时司机开始紧急刹车，在刹车过程中，汽车速度v是关于刹车时间t的函数，其图像可能是( )
【解析】刹车过程中，汽车速度呈下降趋势，排除选项C，D；由于是紧急刹车，则汽车速度下降非常快，则图像较陡，排除选项B，故选A.
【答案】 A
教材整理 2 分段函数
阅读教材P29“例2”～P31，完成下列问题．
在函数的定义域内，如果对于自变量x的不同取值范围有着不同的对应关系，那么这样的函数通常叫作分段函数．
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数的图像一定是连续不断的曲线．( )
(2)函数的解析式是唯一的．( )
(3)分段函数是由多个函数组成的．( )
(4)分段函数的定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的交集．( )
【答案】(1)×(2)×(3)×(4)×
[小组合作型]
函数图像的作法
作出下列函数的图像．
(1)y＝1－x(x∈Z)；
(2)y＝2x2－4x－3(0≤x＜3)．
【精彩点拨】(1)中函数的定义域为Z；(2)中函数是二次函数，且定义域为[0,3)，作图像时要注意定义域对图像的影响．
【尝试解答】(1)这个函数的图像由一些点组成，这些点都在直线y＝1－x上(∵x∈Z，∴y∈Z)，这些点都为整数点，如图①所示为函数图像的一部分；
(2)∵0≤x＜3，∴这个函数的图像是抛物线y＝2x2－4x－3介于0≤x＜3之间的一段曲线，且y＝2x2－4x－3＝2(x－1)2－5，当x＝0时，y＝－3；当x＝3时，y＝3，如图②所示．
1．图像法是表示函数的方法之一，画函数图像时，以定义域、对应法则为依据，采用列表、描点法作图．当已知解析式是一次或二次式时，可借助一次函数或二次函数的图像来作图．
2．作图像时，应标出某些关键点．例如，图像的顶点、端点、与坐标轴的交点等，要分清这些关键点是实心点，还是空心点．
[再练一题]
1．作出下列函数的图像． (1)y ＝x
2＋1，x ∈{1,2,3,4,5}；
(2)y ＝⎩⎪⎨⎪⎧
1x
，0<x <1，
1，x ≥1.
【导学号：04100018】
【解】 (1)函数y ＝x 2＋1，x ∈{1,2,3,4,5}是由⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，(2,2)，⎝ ⎛⎭⎪⎫3，52，(4,3)，⎝ ⎛⎭
⎪⎫5，72五个孤立的点构成，如图：
(2)函数的图像如图：
求函数解析式
求函数的解析式．
(1)已知f (x )是一次函数，且f (f (x ))＝9x ＋4，求f (x )的解析式；
(2)已知f (x ＋1)＝x ＋2x ，求f (x )；
(3)已知2f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫1x ＋f (x )＝x (x ≠0)，求f (x )．
【精彩点拨】 (1)可设f (x )＝kx ＋b (k ≠0)，再根据题设列方程组，求待定系数k ，b . (2)在“x ＋2x ”中凑出“x ＋1”或将“x ＋1”整体换元来求解．
(3)将f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫1x ，f (x )看成未知数，通过解方程组求f (x )．
【尝试解答】 (1)设f (x )＝kx ＋b (k ≠0)， 则f (f (x ))＝k (kx ＋b )＋b ＝k 2
x ＋kb ＋b ＝9x ＋4.
∴⎩
⎪⎨
⎪⎧
k 2
＝9，
kb ＋b ＝4，解得k ＝3，b ＝1或k ＝－3，b ＝－2.
∴f (x )＝3x ＋1或f (x )＝－3x －2. (2)法一(配凑法)：
∵f (x ＋1)＝x ＋2x ＝(x ＋1)2
－1(x ＋1≥1)， ∴f (x )＝x 2
－1(x ≥1)． 法二(换元法)：
令x ＋1＝t (t ≥1)，则x ＝(t －1)2
(t ≥1)， ∴f (t )＝(t －1)2
＋2
t －1
2
＝t 2
－1(t ≥1)．
∴f (x )＝x 2
－1(x ≥1)．
(3)∵f (x )＋2f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫1x ＝x ，令x 取1x
的值，
得f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫1x ＋2f (x )＝1x
.
于是得关于f (x )与f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫1x
的方程组
⎩⎪⎨⎪⎧
f x ＋2f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
1x ＝x ，
f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
1x ＋2f x ＝1x
，
解得f (x )＝23x －x
3
(x ≠0)．
函数解析式的求法：
(1)待定系数法：
①设出所求函数含有待定系数的解析式．如一次函数解析式设为f (x )＝ax ＋b (a ≠0)；反比例函数解析式设为f (x )＝k x
(k ≠0)；二次函数解析式可根据条件设为a.一般式：f (x )＝ax 2
＋bx ＋c (a ≠0)．b.顶点式：f (x )＝a (x －h )2
＋k (a ≠0)．c.双根式：f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)．
②把已知条件代入解析式，列出含待定系数的方程或方程组． ③解方程或方程组，得到待定系数的值． ④将所求待定系数的值代回原式． (2)换元法：
已知f [g (x )]是关于x 的函数，即f [g (x )]＝F (x )，求F (x )的解析式，通常令g (x )＝t ，由此能解出x ＝e (t )，将x ＝e (t )代入f [g (x )]＝F (x )中，求得f (t )的解析式，再用x 替换
t ，便得F (x )的解析式．如本例(2)的法二．
(3)配凑法：
此法是把所给函数的解析式，通过配方、凑项等方法使之变形为关于“自变量”的表示式，然后以x 代替“自变量”，即得所求函数解析式．如本例(2)的法一．
(4)消元法：
已知关于f (x )与f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫1x 或f (－x )的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成
方程组，通过解方程组求出f (x )．
[再练一题]
2．求下列函数的解析式：
(1)已知f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫1＋x x ＝1＋x 2
x 2＋1x ，求f (x )； (2)已知f (x )是二次函数且f (0)＝－1，f (x ＋1)－f (x )＝2x ＋2，求f (x )； (3)已知af (x )＋f (－x )＝bx ，其中a ≠±1，求f (x )． 【解】 (1)法一：(换元法)令t ＝1＋x x ＝1x
＋1，
则t ≠1.把x ＝1t －1代入f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x x ＝1＋x 2
x 2＋1x ，得f (t )＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1t －12
⎝ ⎛⎭
⎪⎫1t －12
＋11t －1＝(t －1)2
＋1
＋(t －1)＝t 2
－t ＋1.
∴所求函数的解析式为
f (x )＝x 2－x ＋1，x ∈(－∞，1)∪(1，＋∞)．
法二：(配凑法)∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x x ＝1＋x 2
＋2x －2x x 2＋1x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x x 2－1＋x －x x ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫1＋x x 2－1＋x x ＋1，
∴f (x )＝x 2
－x ＋1. 又∵1＋x x ＝1x
＋1≠1，
∴所求函数的解析式为f (x )＝x 2
－x ＋1(x ≠1)． (2)设f (x )＝ax 2
＋bx ＋c (a ≠0)． ∵f (0)＝－1，∴c ＝－1.
∵f (x ＋1)－f (x )＝a (x ＋1)2
＋b (x ＋1)＋c －ax 2
－bx －c ＝2ax ＋a ＋b ＝2x ＋2，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
2a ＝2，a ＋b ＝2，
解得⎩⎪⎨
⎪⎧
a ＝1，
b ＝1，
∴a ＝1，b ＝1，c ＝－1， ∴f (x )＝x 2
＋x －1.
(3)在原式中以－x 替换x ，得
af (－x )＋f (x )＝－bx ，
于是得⎩
⎪⎨
⎪⎧
af
x ＋f －x ＝bx ，
af －x ＋f x ＝－bx ，
消去f (－x )，得f (x )＝
bx
a －1. 故f (x )的解析式为f (x )＝b
a －1x . [探究共研型]
分段函数
探究 1 画出函数y ，f (1)的值．
【提示】 由绝对值的概念，有y ＝⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ，x ≥0，
－x ，x ＜0.
所以，图像y ＝|x |的图像为过原点且平分第一、第二象限的两条射线，如图所示．
其中f (－3)＝3，f (3)＝3，f (－1)＝1，f (1)＝1.
探究 2 设函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
－x ， x ≤0，
x 2
， x ＞0，若f (a )＝4，则实数a 等于多少？
【提示】 当a ≤0时，f (a )＝－a . ∵f (a )＝4，∴－a ＝4，∴a ＝－4. 当a ＞0时，f (a )＝a 2
.
∵f (a )＝4，∴a 2
＝4，∴a ＝2，或a ＝－2(舍去)． 综上a ＝－4或2.
探究 3 国内跨省市之间邮寄信函，每封信函的质量和对应的邮资如下表． 信函质量
(m )/g 0＜m ≤20
20＜m ≤40
40＜m ≤60
60＜m ≤80
80＜m ≤100
邮资(M )/
元
1.20
2.40
3.60
4.80
6.00
画出图像，并写出函数的解析式．
【提示】 邮资是信函质量的函数，函数图像如图．
函数的解析式为
M ＝⎩⎪⎨⎪⎧
1.20，0＜m ≤20，
2.40，20＜m ≤40，
3.60，40＜m ≤60，
4.80，60＜m ≤80，6.00，80＜m ≤100.
如图2­2­2所示，从边长为2a 的正方形铁片的四个角各裁一个边长为x 的正
方形，然后折成一个无盖的长方体盒子，要求长方体的高度x 与底面正方形边长的比不超过正常数t .试把铁盒的容积V 表示为x 的函数，并求出其定义域．
图2­2­2
【精彩点拨】 可由题意将长方体底面正方形的边长和高度表示出来，但要注意定义域
x 不但受解析式的影响，还受t 的限制．
【尝试解答】 依题意知，长方体铁盒高为x ，底面正方形的边长为(2a －2x )，则V ＝(2a －2x )2
·x ＝4x (a －x )2
.
∵⎩⎪⎨⎪
⎧
0＜x ＜a ，x
2a －2x
≤t ，∴⎩
⎪⎨⎪
⎧
0＜x ＜a ，0＜x ≤2at 1＋2t ，
∵a －2at 1＋2t ＝a
1＋2t ＞0，
∴0＜x ≤2at
1＋2t
.
∴铁盒容积V ＝4x (a －x )2
，
定义域为⎩⎨⎧
x ⎪⎪⎪⎭
⎬⎫
0＜x ≤2at 1＋2t .
此类问题要根据题目的特点选择表示方法，一般情况下用解析法表示.用解析法表示时，首先找出自变量x 和函数y ，然后利用题干条件用x 表示y ，最后写出定义域.注意：求实际问题中函数的定义域时，除考虑函数解析式有意义外，还要考虑使实际问题有意义.
[再练一题]
3．某质点在30 s 内运动速度v 是时间t 的函数，它的图像如图2­2­3，用解析法表示出这个函数，并求出9 s 时质点的速度．
图2­2­3
【解】 速度是时间的函数，解析式为 v (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧
10＋t ， t ∈[0，5，3t ， t ∈[5，10，30， t ∈[10，20，
－3t ＋90， t ∈[20，30].
由上式可得，t ＝9 s 时，
质点的速度v (9)＝3×9＝27(cm/s).
1. 如图，函数y ＝|x ＋1|的图像是( )
【解析】 y ＝|x ＋1|＝⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＋1，x ≥－1，－x －1，x ＜－1.
【答案】 A
2. 设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧
x 2
＋1，x ≤12
x
，x ＞1，则f [f (3)]等于( )
A.15 B ．3 C.23 D.13
9 【解析】 ∵f (3)＝23，
∴f [f (3)]＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫232
＋1＝139.
【答案】 D
3. 已知函数f (x )由下表给出：
x 1 2 3 4 f (x )
－3
－2
－1
则f (3)＝________.
【解析】 由数表可知f (3)＝－1. 【答案】 －1
3. 已知f (x 2
－1)＝x 4
－x 2
＋1，则f (x )＝________.
【解析】 因为f (x 2
－1)＝x 4
－x 2
＋1＝(x 2
－1)2
＋(x 2
－1)＋1，所以f (x )＝x 2
＋x ＋1(x ≥－1)．
【答案】 x 2
＋x ＋1(x ≥－1)
4. 如图2­2­4，函数f (x )的图像是曲线OAB ，其中点O ，A ，B 的坐标分别为(0,0)，(1,2)，(3,1)，那么f ⎣⎢
⎡⎦
⎥
⎤1f 3的值等于________. 【导学号：04100019】
图2­2­4
【解析】 由函数f (x )图像，知f (1)＝2，f (3)＝1， ∴f ⎣⎢
⎡⎦
⎥
⎤1f 3＝f (1)＝2.
【答案】 2
5. 已知函数y ＝|x －1|＋|x ＋2|. (1)作出函数的图像； (2)写出函数的定义域和值域．
【解】 (1)首先考虑去掉解析式中的绝对值符号，第一个绝对值的分段点x ＝1，第二个绝对值的分段点x ＝－2，这样数轴被分为三部分：(－∞，－2]，(－2,1]，(1，＋∞)．
所以已知函数可写成分段函数形式：
y ＝|x －1|＋|x ＋2|＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2x －1x ≤－2，3－2＜x ≤1，
2x ＋1x ＞1.
在相应的x 取值范围内，分别作出相应函数的图像，如图所示，即为所求函数的图像．
(2)根据函数的图像可知：函数的定义域为R ，值域为[3，＋∞)．。