慈溪市实验中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

慈溪市实验中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学 班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 设函数()y f x =对一切实数x 都满足(3)(3)f x f x +=-，且方程()0f x =恰有6个不同的实根，则这6个实根的和为（ ）
A.18
B.12
C.9
D.0
【命题意图】本题考查抽象函数的对称性与函数和方程等基础知识，意在考查运算求解能力. 2． 已知集合A={x|x ≥0}，且A ∩B=B ，则集合B 可能是（ ）
A ．{x|x ≥0}
B ．{x|x ≤1}
C ．{﹣1，0，1}
D ．R
3． 下列结论正确的是（ ）
A ．若直线l ∥平面α，直线l ∥平面β，则α∥β．
B ．若直线l ⊥平面α，直线l ⊥平面β，则α∥β．
C ．若直线l 1，l 2与平面α所成的角相等，则l 1∥l 2
D ．若直线l 上两个不同的点A ，B 到平面α的距离相等，则l ∥α
4． 如图，某几何体的正视图（主视图），侧视图（左视图）和俯视图分别是等边三角形，等腰三角形和菱形，则该几何体体积为（ ）
A ．
B ．4
C ．
D ．2
5． 若命题p ：∀x ∈R ，2x 2﹣1＞0，则该命题的否定是（ ）
A ．∀x ∈R ，2x 2﹣1＜0
B ．∀x ∈R ，2x 2﹣1≤0
C ．∃x ∈R ，2x 2﹣1≤0
D ．∃x ∈R ，2x 2﹣1＞0
6． 已知函数f （x ）满足：x ≥4，则f （x ）=；当x ＜4时f （x ）=f （x+1），则f （2+log 23）=（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
7． 若一个底面为正三角形、侧棱与底面垂直的棱柱的三视图如下图所示，则这个棱柱的体积为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．6
8． “2
4
x π
π
-
<≤
”是“tan 1x ≤”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【命题意图】本题主要考查充分必要条件的概念与判定方法，正切函数的性质和图象，重点是单调性. 9． 已知f （x ）是定义在R 上周期为2的奇函数，当x ∈（0，1）时，f （x ）=3x ﹣1，则f （log 35）=（ ）
A ．
B ．﹣
C ．4
D ．
10．如图，在正六边形ABCDEF 中，点O 为其中心，则下列判断错误的是（ ）
A ． =
B ．∥
C ．
D ．
11．现准备将7台型号相同的健身设备全部分配给5个不同的社区，其中甲、乙两个社区每个社区至少2台，其它社区允许1台也没有，则不同的分配方案共有（ ）
A ．27种
B ．35种
C ．29种
D ．125种
12．函数2
-21y x x =-，[0,3]x ∈的值域为（ ） A. B. C. D.
二、填空题
13．在（2x+
）6
的二项式中，常数项等于 （结果用数值表示）．
14
在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为 升．
15．△ABC
外接圆半径为，内角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，若A=60°，b=2，则c 的值为 ．
16．球O 的球面上有四点S ，A ，B ，C ，其中O ，A ，B ，C 四点共面，△ABC 是边长为2的正三角形，平面SAB ⊥平面ABC ，则棱锥S ﹣ABC 的体积的最大值为 ．
17．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧x ＋y －5≤0
2x －y －1≥0x －2y ＋1≤0
，若z ＝2x ＋by （b ＞0）的最小值为3，则b ＝________．
18．三角形ABC
中，2,60AB BC C ==∠=，则三角形ABC 的面积为 .
三、解答题
19．（本小题满分12分）
如图ABC ∆中，已知点D 在BC 边上，且0AD AC ⋅=
，sin 3
BAC ∠=
，AB =
BD ． （Ⅰ）求AD 的长； （Ⅱ）求cos C ．
20．已知椭圆C
：
=1（a ＞2）上一点P 到它的两个焦点F 1（左），F 2 （右）的距离的和是6．
（1）求椭圆C 的离心率的值；
（2）若PF 2⊥x 轴，且p 在y 轴上的射影为点Q ，求点Q 的坐标．
21．已知函数f （x ）
=
•
，其中=（2cosx
， sin2x
），=（cosx ，1），x ∈R ．
（1）求函数y=f （x ）的单调递增区间；
（2）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，f （A ）=2，
a=，且sinB=2sinC ，求△ABC 的面
积．
22．已知f （x ）
=|
﹣x|﹣
|
+x|
（Ⅰ）关于x 的不等式f （x ）≥a 2
﹣3a 恒成立，求实数a 的取值范围；
（Ⅱ）若f （m ）+f （n ）=4，且m ＜n ，求m+n 的取值范围．
23．本小题满分12分 已知数列{}n a 中，123,5a a ==，其前n 项和n S 满足)3(22112≥+=+---n S S S n n n n . Ⅰ求数列{}n a 的通项公式n a ; Ⅱ 若22256
log (
)1
n n b a =-N *n ∈，设数列{}n b 的前n 的和为n S ，当n 为何值时，n S 有最大值，并求最大值.
24．已知数列{a n}的首项a1=2，且满足a n+1=2a n+3•2n+1，（n∈N*）．（1）设b n=，证明数列{b n}是等差数列；
（2）求数列{a n}的前n项和S n．
慈溪市实验中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）
一、选择题
1． 【答案】A.
【解析】(3)(3)()(6)f x f x f x f x +=-⇔=-，∴()f x 的图象关于直线3x =对称， ∴6个实根的和为3618⋅=，故选A.
2． 【答案】A
【解析】解：由A={x|x ≥0}，且A ∩B=B ，所以B ⊆A ． A 、{x|x ≥0}={x|x ≥0}=A ，故本选项正确；
B 、{x|x ≤1，x ∈R}=（﹣∞，1]⊊[0，+∞），故本选项错误；
C 、若B={﹣1，0，1}，则A ∩B={0，1}≠B ，故本选项错误；
D 、给出的集合是R ，不合题意，故本选项错误．
故选：A ．
【点评】本题考查了交集及其运算，考查了基本初等函数值域的求法，是基础题．
3． 【答案】B
【解析】解：A 选项中，两个平面可以相交，l 与交线平行即可，故不正确； B 选项中，垂直于同一平面的两个平面平行，正确；
C 选项中，直线与直线相交、平行、异面都有可能，故不正确；
D 中选项也可能相交． 故选：B ．
【点评】本题考查平面与平面，直线与直线，直线与平面的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．
4． 【答案】C
【解析】解：由已知中该几何中的三视图中有两个三角形一个菱形可得 这个几何体是一个四棱锥
由图可知，底面两条对角线的长分别为2，2，底面边长为2
故底面棱形的面积为=2
侧棱为2，则棱锥的高h=
=3
故V==2
故选C
5． 【答案】C
【解析】解：命题p ：∀x ∈R ，2x 2
﹣1＞0，
则其否命题为：∃x ∈R ，2x 2
﹣1≤0，
故选C ；
【点评】此题主要考查命题否定的定义，是一道基础题；
6． 【答案】A
【解析】解：∵3＜2+log 23＜4，所以f （2+log 23）=f （3+log 23） 且3+log 23＞4
∴f （2+log 23）=f （3+log 23）
=
故选A ．
7． 【答案】B
【解析】解：此几何体为一个三棱柱，棱柱的高是4，底面正三角形的高是，
设底面边长为a ，则，∴a=6，
故三棱柱体积．
故选B
【点评】本题考点是由三视图求几何体的面积、体积，考查对三视图的理解与应用，主要考查三视图与实物图之间的关系，用三视图中的数据还原出实物图的数据，再根据相关的公式求表面积与体积，本题求的是本棱柱的体积．三视图的投影规则是：“主视、俯视 长对正；主视、左视高平齐，左视、俯视 宽相等”．三视图是新课标的新增内容，在以后的高考中有加强的可能．
8． 【答案】A
【解析】因为tan y x =在,22ππ⎛⎫
-
⎪⎝⎭
上单调递增，且24x ππ-<≤，所以tan tan 4x π≤，即tan 1x ≤.反之，当
tan 1x ≤时，24k x k πππ-<≤+π（k Z ∈），不能保证24x ππ-<≤，所以“24
x ππ
-<≤”是“tan 1x ≤”
的充分不必要条件，故选A. 9． 【答案】B
【解析】解：∵f（x）是定义在R上周期为2的奇函数，
∴f（log35）=f（log35﹣2）=f（log3），
∵x∈（0，1）时，f（x）=3x﹣1
∴f（log3）═﹣
故选：B
10．【答案】D
【解析】解：由图可知，，但不共线，故，
故选D．
【点评】本题考查平行向量与共线向量、相等向量的意义，属基础题．
11．【答案】B
【解析】
排列、组合及简单计数问题．
【专题】计算题．
【分析】根据题意，可将7台型号相同的健身设备看成是相同的元素，首先分给甲、乙两个社区各台设备，再将余下的三台设备任意分给五个社区，分三种情况讨论分配方案，①当三台设备都给一个社区，②当三台设备分为1和2两份分给2个社区，③当三台设备按1、1、1分成三份时分给三个社区，分别求出其分配方案数目，将其相加即可得答案．
【解答】解：根据题意，7台型号相同的健身设备是相同的元素，
首先要满足甲、乙两个社区至少2台，可以先分给甲、乙两个社区各2台设备，
余下的三台设备任意分给五个社区，
分三种情况讨论：
①当三台设备都给一个社区时，有5种结果，
②当三台设备分为1和2两份分给2个社区时，有2×C52=20种结果，
③当三台设备按1、1、1分成三份时分给三个社区时，有C53=10种结果，
∴不同的分配方案有5+20+10=35种结果；
故选B．
【点评】本题考查分类计数原理，注意分类时做到不重不漏，其次注意型号相同的健身设备是相同的元素．
12．【答案】A
【解析】
试题分析：函数()2
2
2112y x x x =--=--在区间[]0,1上递减，在区间[]1,3上递增，所以当x=1时，
()()min 12f x f ==-，当x=3时，()()max 32f x f ==，所以值域为[]2,2-。

故选A 。

考点：二次函数的图象及性质。

二、填空题
13．【答案】 240
【解析】解：由（2x+
）6
，得
=
．
由6﹣3r=0，得r=2． ∴常数项等于
．
故答案为：240．
14．【答案】 8 升．
【解析】解：由表格信息，得到该车加了48升的汽油，跑了600千米，所以该车每100千米平均耗油量48÷6=8． 故答案是：8．
15．【答案】 ．
【解析】解：∵△ABC 外接圆半径为，内角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，若A=60°，b=2，
∴由正弦定理可得：
，解得：a=3，
∴利用余弦定理：a 2=b 2+c 2﹣2bccosA ，可得：9=4+c 2﹣2c ，即c 2
﹣2c ﹣5=0，
∴解得：c=1+，或1﹣（舍去）．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，在解三角形中的综合应用，考查了转化思想和计算能力，属于
基础题．
16．【答案】
．
【解析】解：由题意画出几何体的图形如图
由于面SAB ⊥面ABC ，所以点S 在平面ABC 上的射影H 落在AB 上，根据球体的对称性可知，当S 在“最高点”，也就是说H 为AB 中点时，SH 最大，棱锥S ﹣ABC 的体积最大．
∵△ABC 是边长为2的正三角形，所以球的半径r=OC=CH=．
在RT △SHO 中，OH=
OC=
OS
∴∠HSO=30°，求得SH=OScos30°=1，
∴体积V=Sh=×
×22
×1=
．
故答案是
．
【点评】本题考查锥体体积计算，根据几何体的结构特征确定出S 位置是关键．考查空间想象能力、计算能力．
17．【答案】 【解析】
约束条件表示的区域如图， 当直线l ：z ＝2x ＋by （b ＞0）经过直线2x －y －1＝0与x －2y ＋1＝0的交点A （1，1）时，z min ＝2＋b ，∴2＋b
＝3，∴b ＝1. 答案：1
18．【答案】【解析】
试题分析：因为ABC ∆中，2,60AB BC C ===︒2
sin A
=
，1sin 2A =，又
BC AB <，即A C <，所以30C =︒，∴90B =︒，AB BC ⊥，1
2
ABC
S AB BC ∆=⨯⨯=．
考点：正弦定理，三角形的面积．
【名师点睛】本题主要考查正弦定理的应用，三角形的面积公式．在解三角形有关问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据，一般来说，当条件中同时出现ab 及2b 、2
a 时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦，再结合和、差、倍角的正弦公式进行解答．解三角形时．三角形面积公式往往根据不同情况选用不同形式1sin 2a
b C ，12ah ，1()2a b
c r ++，4abc R
等等． 三、解答题
19．【答案】
【解析】（Ⅰ）因为AD AC ⊥，所以sin sin cos 2BAC BAD BAD π⎛⎫∠=+∠=∠
⎪⎝⎭,
所以cos BAD ∠=．…… 3分 在ABD ∆中，由余弦定理可知，2222cos BD AB AD AB AD BAD =+-⋅⋅∠
即28150AD AD -+=,解之得5AD =或3AD =,
由于AB AD >,所以3AD =．…… 6分
（Ⅱ）在ABD ∆中，由cos 3
BAD ∠=可知1sin 3BAD ∠= …… 7分 由正弦定理可知，sin sin BD AB BAD ADB
=∠∠,
所以sin sin AB BAD ADB BD ∠∠==…… 9分
因为2ADB DAC C C π∠=∠+∠=+∠，即cos C = 12分 20．【答案】
【解析】解：（1）根据椭圆的定义得2a=6，a=3；
∴c=
；
∴； 即椭圆的离心率是；
（2）；
∴x=带入椭圆方程
得，y=；
所以Q （0，
）．
21．【答案】
【解析】解：（1）f（x）=•=2cos2
x+sin2x=sin2x+cos2x+1=2sin（2x+）+1，
令﹣+2kπ≤2x+≤+2kπ，
解得﹣+kπ≤x≤+kπ，
函数y=f（x）的单调递增区间是[﹣+kπ，+kπ]，
（Ⅱ）∵f（A）=2
∴2sin（2A+）+1=2，即sin（2A+）=…．
又∵0＜A＜π，∴A=．…
∵a=，
由余弦定理得a2=b2+c2﹣2bccosA=（b+c）2﹣3bc=7 ①…
∵sinB=2sinC∴b=2c ②…
由①②得c2=．…
∴S△ABC=．…
22．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）关于x的不等式f（x）≥a2﹣3a恒成立，即|﹣x|﹣|+x|≥a2﹣3a恒成立．
由于f（x）=|﹣x|﹣|+x|=，故f（x）的最小值为﹣2，
∴﹣2≥a2﹣3a，求得1≤a≤2．
（Ⅱ）由于f（x）的最大值为2，∴f（m）≤2，f（n）≤2，
若f（m）+f（n）=4，∴m＜n≤﹣，∴m+n＜﹣5．
【点评】本题主要考查分段函数的应用，求函数的最值，函数的恒成立问题，属于中档题．
23．【答案】
【解析】Ⅰ由题意知()3
21
2
1
1
≥
+
-
=
--
-
-
-
n
S
S
S
S n
n
n
n
n
, 即()3
21
1
≥
+
=-
-
n
a
a n
n
n
2
2
3
1
1
)
(
......
)
(
)
(a
a
a
a
a
a
a
a
n
n
n
n
n
+
-
+
+
-
+
-
=
-
-
()3122122...2252...22221221≥+=++++++=++++=----n n n n n n 检验知n =1, 2时，结论也成立，故a n =2n +1．
Ⅱ 由8
82222222562log ()log log 28212
n n n n b n a -====-- N *n ∈ 法一: 当13n ≤≤时，820n b n =->；当4n =时，820n b n =-=；
当5n ≥时，820n b n =-<
故43==n n 或时，n S 达最大值，
1243==S S . 法二：可利用等差数列的求和公式求解
24．【答案】
【解析】解：（1）∵=， ∴数列{b n }是以
为首项，3为公差的等差数列． （2）由（1）可知
， ∴①
②
①﹣②得：
， ∴． 【点评】本题主要考查数列通项公式和前n 项和的求解，利用定义法和错位相减法是解决本题的关键．。