北京四中2015—2016学年度第一学期高一数学期末考试试卷

北京四中2015 —2016学年度第一学期期末试卷
高一数学
试卷满分：150分考试时间：120分钟
A卷[必修模块4] 本卷满分：100分
一项是符合要求的
1.如果COST：：：0 ,且tan^0，则，是（）
（A）第一象限的
角（B）第二象限的角（C）第三象限的角（D）第四象限的角
2.化简AB - BC
1-AD等于（）
（A）CD（B）DC（C）AD（D）CB
3.若向量a =（、：2,1）, b = （2,x）共线，则实数x的值是（）
（A）- 2（B）、2 （C）0 （D）土、2
4.函数f（X）=COSX的一个单调递增区间是（）
（A）（0 l）
2
it n
（B）（92）
（C）（-「：,0）（D）（0,二）
5. y 二sinxcosx 是（）
（A）最小正周期为2n的偶函数（B）最小正周期为2 n的奇函数
（C）最小正周期为n的偶函数（D）最小正周期为n的奇函数
6.为了得到函数y二sin（2x-）的图象，可以将函数y二sin2x的图象（）
4
（A ）向左平移…个单位长度（B）向右平移…个单位长度
4 4
2016.1
（C）向左平移…个单位长度（D）向右平移…个单位长度
88
7.若直线x = a是函数y =sin（）图象的一条对称轴，则a的值可以是（）
6
/ 、3T Ji兀
(A)(B)(C)--(D)-
3263
8.已知非零向量a , b夹角为45 ,且a = 2,a-b= 2.则|b等于( )
(A) 2^2(B) 2(C灵(D ) 42
9.函数y二2sin（2二x）的图象与直线y二x的交点个数为（）
（A）3 （B）4 （C）7 （D）8
10.关于函数f（x）=|sinx|+|cosx|，给出下列三个结论:
①函数f（X）的最小值是1 ；
②函数f（X）的最大值是2 ；
③函数f （x）在区间（0「）上单调递增•
4
其中全部正确结论的序号是（）
（A ）（②（B）②③（C）①③（D）①②③
二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上.
11. sin ——=
4
12.如图所示，D ABC中BC边的中点，设AB
则BD = ____ .（用a ，b表示）
C
13.角〉终边上一点的坐标为（1,2），则tan2> =
14.设向量a = (0,2), b = (73,1)，则a, b的夹角等于________
_ n
3
15. 已知口匸（0,兀），且cos。

= —sin —，^y。

=
8 ------------------
16. 已知函数f（x）二sin「x （其中-0）图象过（二，T）点，且在区间（0, —）上单调递增，
3
则⑷的值为
18.(本小题满分
12 分)
如图所示, B , C 两点是函数 f (x)二 As in (2x —) 点，D 点为函数
f(x)图象与x 轴的一个交点•
(I)若A =2，求f (x)在区间［0二］上的值域;
2
(n)若BD _CD ，求A 的值.
19.(本小题满分12分)
如图，在△ ABC 中,
AB = AC =1, BAC =120.
(I)求AB BC 的值;
(n)设点P 在以A 为圆心，AB 为半径的圆弧 BC 上运动,
且 AP =xAB yAC ，其中 x, y R .
求xy 的最大值.
3小题，共36分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
17. (本小题满分12分)
—
3
已知用三(一，二)，且sin 〉=—.
2 5
(I)求tan( )的值； 4
sin2 ： -cos ： (n)求
的值.
1 +C0S2G
三、解答题：本大题共 (A 0 )图象上相邻的两个最高 A
B卷［学期综合］本卷满分：50分
一、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.把答案填在题中横线上.
1 设 U= R ， A={x|x>0}， B={X |XA 1}，则 Ad 代 B = ____________ . 2.
log 2 逅= ________ ,
= _____ .
1
I —丄 x > 1, 3. 已知函数 f (x) = { x'
且 f (a) + f (2) = 0 ,则实数 a = ____ .
x
2 , x ：1.
4. 已知函数f(x)是定义在R 上的减函数，如果f (a) • f (x • 1)在x ［1,2］上恒成立，那
么实数a 的取值范围是 ______ . 5.
通过实验数据可知，某液体的蒸发速度
y (单位：升/
小时)与液体所处环境的温度 x (单
位：C )近似地满足函数关系
( e 为自然对数的底数，k,b 为常数).若该液体在 0 C 的蒸发速度是0.1升/小时，在30 C 的蒸发速度为0.8升/小时，则该液体在 20 C 的 蒸发速
度为 ____________ 升/小时.
、解答题：本大题共 3小题，共30分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
6. (本小题满分10分)
(I)判断函数f(x)的奇偶性，并证明你的结论; (n)求满足不等式f (2x )的实数x 的取值范围.
7.
(本小题满分10分)
已知函数 f(x)=
6x x 2 1
设a为实数，函数f (x) =x2 _2ax .
(I)当a =1时，求f(x)在区间［0,2］上的值域；
(n)设函数g(x)= f(x)，t(a)为g(x)在区间［0,2］上的最大值，求t(a)的最小值•
& (本小题满分10分)
设函数f(x)定义域为［0,1］，若f(x)在［0, x*］上单调递增，在［x*,1］上单调递减，则称x*为函数f (x)的峰点，f (x)为含峰函数.(特别地，若f (x)在［0,1］上单调递增或递减，则峰点为1或0)
对于不易直接求出峰点x*的含峰函数，可通过做试验的方法给出x*的近似值•试验原
理为：“对任意的& , x^ (0,1),旨：亿，若f(xj — f(X2)，则(0, X2)为含峰区间，此时称疋为近似峰点；若f(xj ：：：f(X2)，则(X1,1)为含峰区间，此时称X2为近似峰点”.
我们把近似峰点与X*之间可能出现的最大距离称为试验的“预计误差”，记为d，其值为d = max{max{ - xj, maX［ x? - x「1 - x?}}(其中max{x, y}表示x, y 中较大的
数).
1 1
(I)若X1 , X2 .求此试验的预计误差d .
4 2
(n)如何选取X1、X2，才能使这个试验方案的预计误差达到最小？并证明你的结论(只证明x1的取值即可).
(川)选取X1, X2, (0,1) , X1 :: X2，可以确定含峰区间为(0,冷)或(X1,1).在所得的含峰区间内选取X3，由X3与X1或X3与X2类似地可以进一步得到一个新的预计误差 d •.分别求
1 2
出当X1 和x, 时预计误差d •的最小值.(本问只写结果，不必证明)
4 5
北京市西城区2015 —2016学年度第一学期期末试卷
咼一数学参考答案及评分标准2016.1 A卷［必修模块4］满分100分
、选择题: 本大题共10小题，每小题4
分:
，共40分.
1. C;
2. B ；
3. B ;
4. C;
5
-D
；
6. D ；
、填空题: 本大题共6小题，每小题
4
分，
共24分.
11.- 2 ；12.知）；
兀
5兀
14.15；
38、解答
题:
本大题共3小题，共36分.
17.（本小题满分12分）.A ; 8. A ; 9.C; 10. D.
4
-
3
-
3
-
2
3
S
解: (I)
所以
3 因为卅三（一，二），且sin J
2 5
--1 -sin2匚--4.
5 cos
：
所以tan：- sin : cos ：
所以—「
7.
(n)由(I)知，sin2 = 2sin ： cos：24
25’
232
1 cos2： =2cos :
25
所以sin2
一
cos 1 cos2：
18.（本小题满分12 分）24 4—--------- r—25 5 32 25
(I)由题意f(x) =2sin(2x ),
1
因为0 —X ，所以0 - 2x - i.所以
2
4 •
2x ——3 3 3
所以3乞sin(2x ) ^1.
2 3
所以函数-< f (x)乞2 ,
f (x)的值域为[-，3,2].
JI13
二
(n)由已知B(—,A) , C( ,A), D(—,0),
12 12 3
所以DB =(-二A) , DC
4 €，A).
4
11分
因为BD _ CD，所以DB -DC，DB DC 一3
二16
A^0，解得A 二—.
4
12分
19.(本小题满分12分)
解：(I)ABBC.A B (A^-AB)
二AB AC 2 1 --1
2
(n)建立如图所示的平面直角坐标系，则B(1W，C(E¥).
设P(cosysin 刃，—[0,一]
3 ，
由AP = xAB yAC，
得(cos^si n r) = x(1,0) y( — f,-
所以co—fsn"
所以x = cos 3 sin -
3 壬sin，
3
5分
xy 二痘sin—
如
3 2 sin2 3 sin 2 — ^cos2-
3 3 3 3
= Z(^sin2 一3 2 1 . 1 cos2C -
2 3 10分
B 卷
［学期综合］满分50分
、填空题：本大题共
5小
题, 每小题4分，共20分.
1. { X | 0 £ X 兰1}；
2.
1
—,6 ;
3. —1;
4. {a
2
ac2}；
5. 0.4
注：2题每空2分.
、解答题：本大题共
3小
题,
共30分.
6.(本小题满分10分)
6x
_6x
解：(I)因为 f (x)=—，所以 f (-X )二二
f (x) .
.................. 4 分
X +1 x +1
所以f (x)为奇函数• .......... 6分
整理得22x
：5 ,
............... 9分
1
所以 2x ：：log 25，即 x log 25.
.................... 10 分
2
7.(本小题满分10分)
解：(I)当a=1时，f(x)=x 2-2x .二次函数图象的对称轴为 x = 1，开口向上
所以在区间［0,2］上，当x=1时，f(x)的最小值为-1. .................... 1分
当x=0或x=2时，f (x)的最大值为0. ................ 2分
所以f (x)在区间［0,2］上的值域为［-1,0］.
.................... 3分
(n)注意到f (x) = x 2 - 2ax 的零点是0和2a ，且抛物线开口向上.
当 a^O 时，在区间［0,2］上 g(x)=|f (x)| =x 2—2ax ,
g(x)的最大值 t(a) =g(2) =4-4a.
.................. 4分
当0 va <1时，需比较g(2)与g(a)的大小，
g(a) _g(2) =a 2 _(4 _4a) =a 2 +4a _4 , 所以，当 0 <a <:2运—2 时，g(a) —g(2) c0 ;
2
- 1 si n(2 —) 3 6 3
因为-[0 三],2 一 [--,].
3 6 6 6
所以，当2---
6
nr qr
2，即'乜时，xy 的最大值为1.
11分
12分
(n)由不等式
f(2x ) 2
6 2x 22x 1
2x .
当 2j2-2<a<1 时，g(a) — g(2) >0.
所以，当 0 ::: a ■■ 2 2- 2 时，g(x)的最大值 t(a) = g (2) = 4 _ 4a • ....... 5 分 当 2^2-2<a<1 时，g(x)的最大值 t(a) = g(a) = a 2. ................... 6 分 当 1 <^<2时，g(x)的最大值 t(a) =| g(a)| =a 2. ................... 7 分
当 a>2 时，g(x)的最大值 t(a) = g(2)| =4a —4 .
................... 8 分
4a 「4, a 2. 所以，当a =2、_2-2时，t(a)的最小值为12-8、、2.
8. (本小题满分10分) 1
1 解：(I)由已知 x^ = — , x
2 =—.
4 2 所以 d =max{max{ x 2 _捲}, max{ x 2 —x/ _x 2}} 1 1 1 1 1 1 1 max{max{4,-},max{ -,-}} nmaxq,?}匕 1 、 1 x-i
, x 2 ，此时试验的预计误差为 一 3 3 3
以下证明，这是使试验预计误差达到最小的试验设计 证明：分两种情形讨论 x 1点的位置.
所以, g(x)的最大值
t(a)= 4-4a, a ：：2 .2—2, a 2,
2、、2—2 乞 a ^2, 10分
(n)取
注：用通俗语言叙述证明过程也给分 1
①当X 1 ：：：-时，如图所示，
3 1 2
'饨 ，那么 3 3
2
-<x 2 <1 ,那么 3
1 _ 当 x 1 , d _ 人-.
3 一
1 ,
时，d . 3 - 2
X 2 = — 时， 3
X 2 时， 3
1
2 1 1 和％ 时预计误差d 的最小值分别为
和- 4 5 4 5 如果 如果 综上，当酱 (同理可得当 (川)当x 1 = d _1「x 2 1 ； 3 d 丄 x 2 _ x -. 3 1 3 . 1
3 .
d 1)
3
试验的预计误差最小
10分。