秋高中数学第二章平面向量2.5平面向量应用举例2.5.1平面几何中的向量方法2.5.2向量在物理中

2018年秋高中数学第二章平面向量2.5 平面向量应用举例2.5.1 平面几何中的向量方法2.5.2 向量在物理中的应用举例学案新人教A版必修4
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2。

5 平面向量应用举例
2。

5.1 平面几何中的向量方法
2.5。

2 向量在物理中的应用举例
学习目标：1.掌握用向量方法解决简单的几何问题、力学问题等一些实际问题．(重点）2。

体会向量是一种处理几何问题、物理问题的重要工具．（重点)3。

培养运用向量知识解决实际问题和物理问题的能力．(难点）
［自主预习·探新知]
1．用向量方法解决平面几何问题的“三步曲"：
（1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；
（2）通过向量运算,研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；
(3)把运算结果“翻译”成几何关系．
2．向量在物理中的应用：
（1）物理问题中常见的向量有力，速度,加速度，位移等．
（2)向量的加减法运算体现在力,速度，加速度，位移的合成与分解．
（3)动量m v是向量的数乘运算．
(4)功是力F与所产生的位移s的数量积．
[基础自测]
1．思考辨析
（1）若△ABC是直角三角形，则有错误!·错误!＝0。

（)
（2）若错误!∥错误!，则直线AB与CD平行．（）
(3)用力F推动一物体水平运动s m,则力F对物体所做的功为｜F｜|s|。

( )
［解析]（1）错误．因为△ABC为直角三角形，∠B并不一定是直角，有可能是∠A或∠C为直角．
(2）错误．向量错误!∥错误!时,直线AB∥CD或AB与CD重合．
（3)错误．力F对物体所做的功为F·s。

［答案］(1）×（2）×(3)×
2．已知一个物体在大小为6 N的力F的作用下产生的位移s的大小为100 m，且F与s 的夹角为60°，则力F所做的功W＝________J。

300[W＝F·s＝6×100×cos 60°＝300(J)．］
3．设M是线段BC的中点，点A在直线BC外，|错误!|＝16，|错误!＋错误!｜＝｜错误!－错误! |，则|错误!｜＝________.
2［∵｜错误!＋错误!|＝|错误!－错误!|，
∴错误!·错误!＝0，错误!⊥错误!,
∴△ABC是直角三角形,BC为斜边，
∴|错误!｜＝错误!｜错误!|＝错误!×4＝2.］
［合作探究·攻重难]
向量在平面几何中的应用
（1)错误!错误!错误!错误!错误!错误!＝错误!，则△ABC 的形状是( ）
A．三边均不相等的三角形B．直角三角形
C．等腰三角形D．等边三角形
（2)已知四边形ABCD是边长为6的正方形,E为AB的中点，点F在BC上，且BF∶FC＝2∶1，AF与EC相交于点P，求四边形APCD的面积．
［思路探究］（1）先由平行四边形法则分析错误!＋错误!的几何意义,由数量积为0推出垂直关系,再由错误!·错误!＝错误!求∠BAC,最后判断△ABC的形状．
(2)先建系设点P坐标，再根据A,P,F和C，P，E分别共线求点P坐标，最后求四边形APCD 的面积．
（1）C[(1）由错误!·错误!＝0,得∠A的平分线垂直于BC,所以AB＝AC,设错误!,错误!的夹角为θ，
而错误!·错误!＝cos θ＝错误!，
又θ∈［0，π］，所以∠BAC＝π－错误!＝错误!π，故△ABC为等腰三角形．
（2)以A为坐标原点，AB为x轴AD为y轴建立直角坐标系，如图所示，∴A(0，0),B(6，0）,C（6，6)，D（0，6)，
F(6,4),E(3,0）,
设P（x，y)，错误!＝（x，y），
错误!＝(6，4)，错误!＝(x－3,y），错误!＝(3,6）．
由点A，P,F和点C,P，E分别共线,
得{ 4x －6y ＝0，，6x －3－3y ＝0，∴错误!
∴S 四边形APCD ＝S 正方形ABCD －S △AEP －S △CEB
＝36－错误!×3×3－错误!×3×6＝错误!。

］
母题探究：1.将本例1（1）的条件改为(错误!－错误!)·（错误!＋错误!－2错误!）＝0,试判断△ABC 的形状．
［解] ∵（错误!－错误!)·(错误!＋错误!－2错误!)＝0,
∴(错误!－错误!）·（错误!－错误!＋错误!－错误!）＝0,
∴错误!·(错误!＋错误!）＝0，
∴（AB →－错误!）·(错误!＋错误!)＝0，
∴错误!－错误!＝0，即｜错误!|2－|错误!|2＝0，
所以｜错误!｜＝|错误!|,
∴△ABC 是等腰三角形．
2．将本例1（2）的条件“BF ∶FC ＝2∶1”改为“BF ∶FC ＝1∶1"，求证：AF ⊥DE 。

[证明] 建立如图所示的平面直角坐标系，
则A (0,0)，B (6,0)，C (6，6)，D (0,6)，则中点E （3,0）,F
（6，3），
∴错误!＝（6，3），错误!＝（3，－6),
∴错误!·错误!＝6×3＋3×（－6)＝0，
∴错误!⊥错误!,∴AF ⊥DE 。

[规律方法］ 1向量法证明平面几何中AB ⊥CD 的方法: 法一：①选择一组向量作基底;②用基底表示错误!和错误!；③证明错误!·错误!的值为0；④给出几何结论AB ⊥CD 。

法二:先求错误!，错误!的坐标，错误!＝
x 1,y 1，错误!＝x 2，y 2,再计算错误!·错误!的
值为0，从而得到几何结论AB ⊥CD 。

2用向量法证明平面几何中AB ∥CD 的方法： 法一:①选择一组向量作基底;②用基底表示错误!和错误!)；③寻找实数λ，使错误!＝λ错误!,即错误!∥错误!;④给出几何结论AB ∥CD 。

法二:先求错误!，错误!的坐标,错误!＝x 1，y 1,错误!＝x 2，y 2。

利用向量共线的坐标
关系x 1y 2－x 2y 1＝0得到错误!∥错误!,再给出几何结论AB ∥CD 。

,以上两种方法，都是建立在A ，
B，C,D中任意三点都不共线的基础上,才有错误!∥错误!得到AB∥CD.
向量在解析几何中的应用
已知点A（1，0)，直线l：y＝2x－6,点R是直线l上的一点，若错误!＝2错误!，求点P的轨迹方程。

【导学号：84352265】[思路探究］错误!→错误!
→错误!→错误!
[解］设P(x，y），R（x0，y0），
则错误!＝（1，0）－(x0，y0）＝（1－x0，－y0）,
错误!＝(x，y)－（1,0)＝(x－1，y)．
由错误!＝2错误!，得错误!
又∵点R在直线l：y＝2x－6上，∴y0＝2x0－6,
∴错误!
由①得x0＝3－2x,代入②得6－2（3－2x）＝2y，整理得y＝2x,即为点P的轨迹方程．［规律方法]用向量方法解决解析几何问题的步骤：一是把解析几何问题中的相关量用向量表示;二是转化为向量模型，通过向量运算解决问题；三是将结果还原为解析几何问题.
［跟踪训练]
1．已知△ABC的三个顶点A(0，－4),B（4,0），C（－6,2），点D,E，F分别为边BC，CA，AB的中点．
(1）求直线DE的方程;
（2）求AB边上的高线CH所在直线的方程．
［解］(1）设M（x，y）是直线DE上任意一点，
则错误!∥错误!，
因为点D，E分别为边BC,CA的中点，
所以点D，E的坐标分别为D(－1，1)，E(－3，－1），
错误!＝(x＋1，y－1），错误!＝（－2，－2)，
所以(－2)(x＋1)－（－2)(y－1）＝0，
即x－y＋2＝0为直线DE的方程．
（2)设点N(x，y)是CH所在直线上任意一点，则错误!⊥错误!，所以错误!·错误!＝0,
又错误!＝（x＋6，y－2），错误!＝(4,4),
所以4(x＋6）＋4(y－2）＝0，
即x＋y＋4＝0为所求直线CH的方程．
平面向量在物理中的应用
［探究问题］
1．向量的数量积与功有什么联系？
提示：物理上力作功的实质是力在物体前进方向上的分力与物体位移距离的乘积,它的实质是向量的数量积．
2．用向量方法解决物理问题的一般步骤是什么?
提示：用向量方法解决物理学中的相关问题，一般来说分为四个步骤：
①问题转化，即把物理问题转化为数学问题；②建立模型，即建立以向量为载体的数学模型;③求解参数，即求向量的模、夹角、数量积等；④回答问题，即把所得的数学结论回归到物理问题中．
(1)一物体在力F1＝（3，－4），F2＝(2,－5)，F3＝（3,1)的共同作用下从点A（1，1）移动到点B（0，5）．在这个过程中三个力的合力所做的功等于________．（2）设作用于同一点的三个力F1，F2,F3处于平衡状态,若|F1｜＝1，｜F2|＝2，且F1与F2
的夹角为2
3
π，如图2。

5­1所示．
图2。

5。

1
①求F3的大小．
②求F2与F3的夹角.
【导学号：84352266】[思路探究](1）错误!
→错误!
(2）①错误!
→错误!
②错误!→错误!→错误!
(1)－40[因为F1＝（3，－4），F2＝(2，－5)，F3＝（3，1)，所以合力F＝F1＋F2＋F3＝（8，－8),错误!＝(－1，4)，
则F·错误!＝－1×8－8×4＝－40，
即三个力的合力所做的功为－40。

］
(2)①由题意|F3|＝|F1＋F2|，
因为｜F1｜＝1，|F2|＝2，且F1与F2的夹角为错误!π，所以｜F3｜＝|F1＋F2｜＝错误!＝错误!.
②设F2与F3的夹角为θ,
因为F3＝－（F1＋F2），
所以F3·F2＝－F1·F2－F2·F2，
所以错误!·2·cos θ
＝－1×2×错误!－4，
所以cos θ＝－错误!，
所以θ＝错误!π。

[规律方法]向量在物理中的应用:
1求力向量，速度向量常用的方法:一般是向量几何化，借助于向量求和的平行四边形法则求解.
2用向量方法解决物理问题的步骤：
①把物理问题中的相关量用向量表示;
②转化为向量问题的模型，通过向量运算使问题解决；
③结果还原为物理问题。

［跟踪训练］
2．在静水中划船速度的大小是每分钟40 m，水流速度的大小是每分钟20 m,如果一小船从岸边O处出发,沿着垂直于水流的航线到达对岸，则小船的行进方向应指向哪里？
［解］如图所示，设向量错误!的长度和方向表示水流速度的大小和方向，向量错误!的长度和方向表示船在静水中速度的大小和方向，以错误!，错误!为邻边作平行四边形OACB，连接OC。

依题意OC⊥OA，BC＝OA＝20，OB＝40，
∴∠BOC＝30°.
故船应向上游(左）与河岸夹角为60°的方向行进．
[当堂达标·固双基］
1．过点M(2,3），且垂直于向量u＝（2,1)的直线方程为( )
A．2x＋y－7＝0 B．2x＋y＋7＝0
C．x－2y＋4＝0 D．x－2y－4＝0
A[设P（x，y）是所求直线上任一点，则错误!⊥u.又错误!＝（x－2，y－3），所以2(x －2)＋(y－3）＝0，即2x＋y－7＝0.］
2．已知点A（2,3)，B（－2，6），C（6,6）,D(10,3),则以ABCD为顶点的四边形是( )
【导学号：84352267】A．梯形
B．邻边不相等的平行四边形
C．菱形
D．两组对边均不平行的四边形
B［因为错误!＝（8，0)，错误!＝(8,0)，所以错误!＝错误!,因为错误!＝(4,－3），所以|错误! |＝5，而|错误!|＝8,故为邻边不相等的平行四边形．]
3．已知作用在点A的三个力f1＝（3，4)，f2＝(2，－5），f3＝（3,1)，且A（1，1)，则合力f＝f1＋f2＋f3的终点坐标为( )
A．（9，1）B．(1，9)
C．（9,0) D．(0，9）
A［f＝f1＋f2＋f3＝(3,4）＋（2，－5）＋(3，1)＝（8，0）,
设终点为B(x，y),则(x－1，y－1)＝（8,0)，
所以错误!所以错误!所以终点坐标为(9,1）．]
4．坐标平面内一只小蚂蚁以速度v＝(1,2)从点A(4,6)处移动到点B（7,12）处,其所用时间长短为________．
3［设所用时间长短为t，则
错误!＝t v,即（3，6）＝t（1，2)，
所以t＝3。

］
5．已知△ABC是直角三角形，CA＝CB，D是CB的中点，E是AB上的一点，且AE＝2EB。

求证:AD⊥CE。

【导学号:84352268】
［证明]以C为原点，CA所在直线为x轴，CB所在直线为y轴，建立平面直角坐标系（略）．设AC＝a，则A（a,0），B（0,a)，
D错误!，C(0，0），E错误!.
因为错误!＝错误!，错误!＝错误!，
所以错误!·错误!＝－a·错误!a＋错误!·错误!a＝0，
所以错误!⊥错误!，即AD⊥CE.。