2021届高三数学一轮温习 一元二次不等式及其解法提分训练题(1)

一元二次不等式及其解法
一、选择题 1．不等式x －2x ＋1≤0的解集是( ) A ．(－∞，－1)∪(－1,2] B ．(－1,2]
C ．(－∞，－1)∪[2，＋∞)
D ．[－1,2] 解析 ∵x －2
x ＋1≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1x －2≤0，x ＋1≠0⇔⎩⎪⎨⎪⎧
－1≤x ≤2，x ≠－1， ∴x ∈(－1,2]．
答案 B 2. 假设集合{},{}x A x x B x x
-2=-1≤2+1≤3=≤0，那么A B ⋂=（ ） A. {}x x -1≤<0 B. {}x x 0<≤1
C. {}x x 0≤≤2
D.{}x x 0≤≤1
解析 因为集合{},{}A x x B x x =-1≤≤1=0<≤2,因此A B ⋂={}x x 0<≤1,选B. 答案 B
3．已知不等式
ax 2－bx －1≥0的解集是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，－13，那么不等式x 2－bx －a ＜0的解集是( )． A ．(2,3)
B ．(－∞，2)∪(3，＋∞) ∪⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，＋∞ 解析 由题意知－12，－13是方程ax 2－bx －1＝0的根，因此由根与系数的关系得－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝b a ，－12×⎝ ⎛⎭
⎪⎫－13＝－1a
.解得a ＝－6，b ＝5，不等式x 2－bx －a ＜0即为x 2－5x ＋6＜0，解集为(2,3)． 答案 A
4. 已知全集U 为实数集R ，集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪
x ＋1x －m >0，集合∁U A ＝{y |y ＝x 13，
x∈[－1,8]}，那么实数m的值为( )
A．2 B．－2
C ．1
D ．－1
解析 集合∁U A ＝⎩⎨⎧⎭
⎬⎫y |y ＝x 13，x ∈[－1，8]＝[－1,2]，故不等式x ＋1x －m >0， 即不等式(x ＋1)(x －m )>0的解集为(－∞，－1)∪(m ，＋∞)，因此m ＝2.
答案 A
5．在R 上概念运算⊙：a ⊙b ＝ab ＋2a ＋b ，那么知足x ⊙(x －2)＜0的实数x 的取值范围为( )．
A ．(0,2)
B ．(－2,1)
C ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)
D ．(－1,2)
解析 依照给出的概念得x ⊙(x －2)＝x (x －2)＋2x ＋(x －2)＝x 2＋x －2＝(x ＋2)(x －1)，又x ⊙(x －2)＜0，那么(x ＋2)(x －1)＜0，故那个不等式的解集是
(－2,1)．
答案 B
6．关于实数x ，规定[x ]表示不大于x 的最大整数，那么不等式4[x ]2－36[x ]＋45＜0成立的x 的取值范围是( )．
B ．[2,8]
C ．[2,8)
D ．[2,7] 解析
由4[x ]2－36[x ]＋45＜0，得32＜[x ]＜152
，又[x ]表示不大于x 的最大整数，因此2≤x ＜8.
答案 C 7．设函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
－2，x ＞0，x 2＋bx ＋c ，x ≤0，若f (－4)＝f (0)，f (－2)＝0，那么关于x 的不等式f (x )≤1的解集为( )．
A ．(－∞，－3]∪[－1，＋∞)
B ．[－3，－1]
C ．[－3，－1]∪(0，＋∞)
D ．[－3，＋∞)
解析 当x ≤0时，f (x )＝x 2＋bx ＋c 且f (－4)＝f (0)，故其对称轴为x ＝－b 2
＝－2，∴b ＝4.又f (－2)＝4－8＋c ＝0，∴c ＝4，当x ≤0时，令x 2＋4x ＋4≤1有－3≤x ≤－1；当x ＞0时，f (x )＝－2≤1显然成立，故不等式的解集为
[－3，－1]∪(0，＋∞)．
答案 C
二、填空题
8．不等式|x ＋1|－|x －3|≥0的解集是________．
解析 原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧ x ＜－1，－x －1－3－x ≥0或⎩⎪⎨⎪⎧ －1≤x ≤3，x ＋1－3－x ≥0或⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＞3，x ＋1－x －3≥0，解得1≤x ≤3或x ＞3，故原不等式的解集为{x |x ≥1}． 答案 {x |x ≥1} 9．已知函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
x 2＋1，x ≥0，1，x ＜0，那么知足不等式f (1－x 2)＞f (2x )的x 的取值范围是________．
解析 由函数f (x )的图象可知(如以下图)，知足f (1－x 2)＞f (2x )分两种情形： ①⎩⎪⎨⎪⎧ 1－x 2≥0，x ≥0，
1－x 2＞2x ⇒0≤x ＜2－1.
②⎩⎪⎨⎪⎧
1－x 2＞0，x ＜0⇒－1＜x ＜0. 综上可知：－1＜x ＜
2－1. 答案 (－1，2－1) 10．假设关于x 的不等式x 2＋1
2x －(12)n ≥0对任意n ∈N *在x ∈(－∞，λ]上恒成立，那么实常数λ的取值范围是________．
解析 由题意得x 2＋12x ≥(12)n max ＝12
， ∴x ≥12
或x ≤－1. 又x ∈(－∞，λ]，∴λ∈(－∞，－1]．
答案 (－∞，－1]
11．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1x －2x >2，－x 2－x ＋4x ≤2，那么不等式f (x )≤2的解集是________．
解析 依题意得⎩⎪⎨⎪⎧ 1x －2≤2，x >2，或⎩⎪⎨⎪⎧ －x 2－x ＋4≤2，x ≤2.解得x ∈(－∞，－2]∪[1,2]∪
⎣⎢⎡⎭
⎪⎫52，＋∞. 答案 (－∞，－2]∪[1,2]∪⎣⎢⎡⎭
⎪⎫52，＋∞ 12．假设不等式2x －1＞m (x 2－1)对知足－2≤m ≤2的所有m 都成立，那么x 的取值范围为________．
解析 (等价转化法)将原不等式化为：m (x 2－1)－(2x －1)＜0.令f (m )＝m (x 2－1)－(2x －1)，
那么原问题转化为当－2≤m ≤2时，f (m )＜0恒成立，只需⎩⎪⎨⎪⎧ f －2＜0，f 2＜0即可，即
⎩⎪⎨⎪⎧ －2x 2－1－2x －1＜0，2x 2－1－2x －1＜0，解得－1＋72＜x ＜1＋32. 答案 ⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫－1＋72，1＋32 【点评】 此题用改变主元的方法，将m 视为主变元，即“反客为主”法，把较复杂问题转化为较简单问题、较常见问题来解决.
三、解答题
13．已知f (x )＝2x 2－4x －7，求不等式
f x －x 2＋2x －1≥－1的解集． 解析 原不等式可化为2x 2－4x －7－x 2＋2x －1
≥－1， 等价于2x 2－4x －7x 2－2x ＋1
≤1， 即2x 2－4x －7x 2－2x ＋1
－1≤0， 即x 2－2x －8
x 2－2x ＋1≤0.
由于x 2－2x ＋1＝(x －1)2≥0.
因此原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－2x －8≤0，x 2－2x ＋1≠0.即⎩⎪⎨⎪⎧
－2≤x ≤4，x ≠1.
因此原不等式的解集为{x |－2≤x <1或1<x ≤4}．
14．已知函数f (x )＝mx 2－mx －1.
(1)假设关于x ∈R ，f (x )＜0恒成立，求实数m 的取值范围；
(2)假设关于x ∈[1,3]，f (x )＜5－m 恒成立，求实数m 的取值范围．
思路分析 第(2)问将不等式f (x )＜5－m ，x ∈[1,3]恒成立转化为m ＜g (x )，
x ∈[1,3]上恒成立，再求g (x )的最小值即可．
解析 (1)由题意可得m ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧
m ＜0，Δ＝m 2＋4m ＜0
⇔m ＝0或－4＜m ＜0 ⇔－4＜m ≤0.
故m 的取值范围为(－4,0]．
(2)∵f (x )＜－m ＋5⇔m (x 2－x ＋1)＜6，
∵x 2－x ＋1＞0，
∴m ＜6x 2－x ＋1
关于x ∈[1,3]恒成立， 记g (x )＝6x 2－x ＋1，x ∈[1,3]，
记h (x )＝x 2－x ＋1，h (x )在x ∈[1,3]上为增函数．
则g (x )在[1,3]上为减函数，
∴[g (x )]min ＝g (3)＝67，∴m ＜67. 因此m 的取值范围为⎝
⎛⎭⎪⎫－∞，67. 【点评】此题表现了转化与化归思想，解这种问题一样将参数分离出来，转化为求构造函数的最值问题，通过求最值解得参数的取值范围.
15．一个服装厂生产风衣，月销售量x (件)与售价p (元/件)之间的关系为
p ＝160－2x ，生产x 件的本钱R ＝500＋30x (元)．
(1)该厂月产量多大时，月利润很多于1 300元？
(2)当月产量为多少时，可取得最大利润，最大利润是多少？
解析 (1)由题意知，月利润y ＝px －R ，
即y ＝(160－2x )x －(500＋30x )
＝－2x 2＋130x －500，
由月利润很多于1 300(元)，得－2x 2＋130x －500≥1 300，
即x 2－65x ＋900≤0，解得20≤x ≤45.
故该厂月产量20～45件时，月利润很多于1 300元．
(2)由(1)得，y ＝－2x 2＋130x －500＝－2
⎝ ⎛⎭
⎪⎫x －6522＋3 2252， 由题意知，x 为正整数．
故当x＝32或33时，y最大为1 612.
因此当月产量为32或33件时，可获最大利润，最大利润为1 612元．
16．解关于x 的不等式ax 2－2≥2x －ax (a ∈R )． 解析 原不等式可化为
ax 2＋(a －2)x －2≥0⇒(ax －2)(x ＋1)≥0.
(1)当a ＝0时，原不等式化为x ＋1≤0⇒x ≤－1；
(2)当a ＞0时，
原不等式化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2a (x ＋1)≥0⇒x ≥2a 或x ≤－1； (3)当a ＜0时，原不等式化为⎝ ⎛⎭
⎪⎫x －2a (x ＋1)≤0. ①当2a ＞－1，即a ＜－2时，原不等式等价于－1≤x ≤2a ； ②当2a
＝－1，即a ＝－2时，原不等式等价于x ＝－1； ③当2a ＜－1，即－2＜a ＜0时，原不等式等价于2a
≤x ≤－1. 综上所述：当a ＜－2时，原不等式的解集为⎣
⎢⎡⎦⎥⎤－1，2a ； 当a ＝－2时，原不等式的解集为{－1}；
当－2＜a ＜0时，原不等式的解集为⎣⎢⎡⎦
⎥⎤2a ，－1； 当a ＝0时，原不等式的解集为(－∞，－1]；
当a ＞0时，原不等式的解集为(－∞，－1]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫2a ，＋∞.。