2024-2025学年湖南省株洲二中高二(上)开学数学试卷(含答案)

2024-2025学年湖南省株洲二中高二（上）开学数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合M ={(a,b)|ab =16，a ，b ∈N ∗}，则M 中元素的个数为( )A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
2.已知直线l 1：ax +4y−2=0与直线l 2：2x−5y +b =0互相垂直，垂足为(1,c)，则a +b +c 的值为( )A. −4
B. 20
C. 0
D. 24
3.已知△ABC 内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，a =bcosC ，则△ABC 形状一定是( )A. 等腰直角三角形
B. 等边三角形
C. 等腰三角形
D. 直角三角形
4.设m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，下列说法中正确的序号为( )①若m ⊂α，n//α，则m ，n 为异面直线 ②若α//γ，β//γ，则α//β
③若m ⊥β，m ⊥γ，α⊥β，则α⊥γ ④若m ⊥α，n ⊥β，m//n ，则α⊥β ⑤若l ⊥α，n//β，α//β，则l ⊥n A. ②③⑤
B. ①②⑤
C. ④⑤
D. ①③
5.已知点P(0,−1)关于直线x−y +1=0对称的点Q 在圆C ：x 2+y 2+mx +4=0上，则m =( )A. 4
B. 9
2
C. −4
D. −9
2
6.在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间没有发生规模性感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”.根据过去10天，甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的城市是( )
A. 甲：中位数为2，众数为3
B. 乙：总体均值为3，中位数为4
C. 丙：总体均值为2，总体方差为3
D. 丁：总体均值为1，总体方差大于0
7.如图，在棱长为2的正方体ABCD−A 1B 1C 1D 1中，P 为线段B 1C 上的动点，则下列结论错误的是( )
A. 直线A 1P 与BD 所成的角不可能是π
6
B. 当B 1P =2PC 时，点D 1到平面A 1BP 的距离为23
C. 当B 1P =2PC 时，AP =2
143
D. 若B 1P =1
3
B 1
C ，则二面角B−A 1P−B 1的平面角的正弦值为
36
8.在数学史上，为了三角计算的简便并且更加追求计算的精确性，曾经出现过下列两种三角函数：定义1−cosθ为角θ的正矢，记作versinθ；定义1−sinθ为角θ的余矢，记作coversθ，则下列命题正确的是( )
A. 函数f(x)=versinx−coversx +1的对称中心为(kπ−π
4,1)k ∈Z
B. 若g(x)=versinx ⋅coversx−1，则g(x)的最大值为
2+1
C. 若ℎ(x)=versin2x−coversx +1，ℎ(α)=1且0<α<π2，则圆心角为α，半径为3的扇形的面积为4π
3D. 若versinx−1
coversx−1=
2
2
，则covers3x−1coversx−1=13二、多选题：本题共3小题，共15分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.下列四个命题中，是真命题的是( )A. ∀x ∈R 且x ≠0，x +1
x ≥2B. ∃x ∈R ，使得x 2+1≤2x
C. 若x >0，y >0，
x 2+y 2
2≥2xy x +y D. 若x ≥52，则x 2−4x +5
2x−4的最小值为1
10.设复数z 的共轭复数为−
z ，i 为虚数单位，则下列命题错误的是( )A. z 2=|z |2
B. 若z =cos2+isin2，则−z 在复平面内对应的点位于第二象限
C. z =2−i
1+2i 是纯虚数
D. 若|z−3+4i|=1，则|z|的最大值是6
11.设a 为正实数，定义在R 上的函数f(x)满足f(0)+f(a)=1，且对任意的x ，y ∈R ，都有f(x +y)=f(x)f(a−y)+f(y)f(a−x)则成立，则( )A. f(a)=12或f(a)=1 B. f(x)关于直线x =a 对称C. f(x)为奇函数
D. f(x +4a)=f(x)
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.在校园乒乓球比赛中，甲、乙进入决赛，赛制为“三局两胜”.若在每局比赛中甲获胜的概率为1
4，乙获胜的概率为3
4，则乙获得冠军的概率为______．
13.已知圆锥的母线长为2，其外接球表面积为16π
3，则圆锥的高为______．
14.规定：Max{a,b}={
a,a ≥b,
b,a <b.设函数f(x)=Max{sinωx,cosωx}(ω>0)，若函数f(x)在(π3,π2)上单调递
增，则实数ω的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共60分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.(本小题12分)已知点A(12,
3
2
)为圆C 上的一点，圆心C 坐标为(1,0)，且过点A 的直线l 被圆C 截得的弦长为 3．
(1)求圆C 的方程；(2)求直线l 的方程．16.(本小题12分)
2024年8月12日，巴黎奥运会在法国巴黎成功举行闭幕式.组委会抽取100名观众进行了奥运会知识竞赛并记录得分(满分：100，所有人的成绩都在[40.100]内)，根据得分将他们的成绩分成[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]六组，制成如图所示的频率分布直方图．(1)求图中a 的值；
(2)估计这100人竞赛成绩的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)、众数及中位数．
17.(本小题12分)
如图，在直四棱柱ABCD−A 1B 1C 1D 1中，底面四边形ABCD 为梯形，AD//BC ，AB =AD =2，BD =2
2
,BC =4．
(1)证明：A 1B 1⊥AD 1；
(2)若直线AB 与平面B 1CD 1所成角的正弦值为
6
6
，点M 为线段BD 上一点，求点M 到平面B 1CD 1的距离．
18.(本小题12分)
已知函数f(x)=sin2xcosφ−cos2xcos(π2+φ)(0<|φ|<π2)，对∀x ∈R ，有f(x)≤|f(π
3)| (1)求φ的值及f(x)的单调递增区间：
(2)在△ABC 中，已知a =4，f(B)=1，其面积为5 3，求b ；
(3)将函数y =f(x)图象上的所有点，向右平移π
24个单位后，再将所得图象上的所有点，纵坐标不变，横坐
标变为原来的2倍，得到函数y =g(x)的图象，若∃x ∈[0,π],
2g(x)+sin2x ≤2m 2−3m ，求实数m 的取
值范围
19.(本小题12分)
已知集合A ={1,2,3,…,n}(n ∈N ，n ≥3)，W ⊆A 且W 中元素的个数为m(m ≥2).若存在u ，v ∈W(u ≠v 得u +v 为2的正整数指数幂，则称W 为A 的弱P(m)子集；若对任意的s ，t ∈W(s ≠t)，s +t 均为2的正整数指则称W 为A 的强P(m)子集．
(Ⅰ)请判断集合W 1={1,2,3}和W 2={2,3,4}是否为A 的弱P(3)子集，并说明理由；(Ⅱ)是否存在A 的强P(3)子集？若存在，请写出一个例子；若不存在，请说明理由；(Ⅲ)若n =11，且A 的任意一个元素个数为m 的子集都是A 的弱P(m)子集，求m 的最小值．
参考答案
1.C
2.A
3.D
4.A
5.B
6.C
7.D
8.D
9.BCD 10.AB 11.AD 12.27
32 13. 3 14.[34,1]∪[15
4,4]
15.解：(1)设圆C 的半径为r ，
则|AC|=r = (12−1)2+(
3
2
−0)2=1，
则圆C 的方程为(x−1)2+y 2=1；(2)因为圆C 的半径为1，
所以当直线l 与圆相交所得的弦长为
3时，圆心C 到直线l 的距离为 1−34
=12，
当直线l 的斜率不存在时，直线l ：x =12，此时圆心C 到直线l 的距离为1
2，满足题意．当直线l 的斜率存在时，设直线l ：y−
3
2
=k(x−12)，即2kx−2y + 3−k =0，
则|2k +0+ 3−k| (2k )2+(−2)2=12，
解得k =−
33
，代入①得：x +
3y−2=0，
综上，直线l 的方程为x =12或x +
3y−2=0．
16.解：(1)由题意知(0.005+a+0.020+0.030+0.025+0.005)×10=1，
即0.085+a=0.1，得a=0.015．
(2)由频率分布直方图可知这100人竞赛成绩的平均数约为
45×0.05+55×0.15+65×0.20+75×0.30+85×0.25+95×0.05=72分，
众数约为70+80
2
=75分，
前3组的频率为0.05+0.15+0.2=0.4，
前4组的频率为0.05+0.15+0.2+0.3=0.7，
所以中位数为70+0.5−0.4
0.3×10=70+10
3
=220
3
分．
17.(1)证明：因为AB=AD=2，BD=22，
所以AB2+AD2=8=BD2，所以AB⊥AD，
因为ABCD−A1B1C1D1为直四棱柱，所以A1A⊥AB，
因为A1A∩AD=A，A1A，AD⊂平面ADD1A1，
所以AB⊥平面ADD1A1，
因为A1B1//AB，所以A1B1⊥平面ADD1A1，
因为AD1⊂平面ADD1A1，所以A1B1⊥AD1；
(2)解：由(1)及题意知，AB，AD，A1A两两垂直，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则AB=AD=2，BD=22,BC=4，设A1A=ℎ(ℎ>0)，
所以A(0,0,0)，B(2,0,0)，B1(2,0,ℎ)，C(2,4,0)，D1(0,2,ℎ)，D(0,2,0)，
所以AB=(2,0,0),CB1=(0,−4,ℎ),CD1=(−2,−2,ℎ),BC=(0,4,0),BD=(−2,2,0)，设平面B1CD1的一个法向量为n=(x,y,z)，
则由n⊥CB1，n⊥CD1，有{n⋅CB1=−4y+ℎz=0
n⋅CD1=−2x−2y+ℎz=0，
令z=4，则x=y=ℎ，可得n=(ℎ,ℎ,4)，
设直线AB 与平面B 1CD 1所成的角为θ，则sinθ=|cos <AB ,n >|=
|AB n |
|AB ||n |
|2ℎ|2× 2ℎ2+16= 6
6，解得ℎ=2，所以n =(2,2,4)，所以点B 到平面B 1CD 1的距离d =
|BC n ||n |
=
82
6
=2
6
3
，
因为BD ⋅n =−2×2+2×2+4×0=0，所以BD ⊥n ，因为BD⊄平面B 1CD 1，所以BD//平面B 1CD 1，因为M 在线段BD 上，
所以点M 到平面B 1CD 1的距离等价于点B 到平面 B 1CD 1的距离，故点M 到平面B 1CD 1的距离为2
6
3
．
18.解：(1)f(x)=sin2xcosφ−cos2xcos(π
2+φ)=sin2xcosφ+cos2xsinφ=sin (2x +φ)，
对∀x ∈R ，有f(x)≤|f(π3)|，故f(π3)=sin(2π
3+φ)=±1，所以2π3+φ=π2+kπ,k ∈Z ，解得φ=−π
6+kπ,k ∈Z ，因为0<|φ|<π2，故只有当k =0时，满足要求，故φ=−π
6，f(x)=sin (2x−π6)，令−π2+2kπ≤2x−π6≤π
2+2kπ,k ∈Z ，解得−π6+kπ≤x ≤π
3+kπ,k ∈Z ，
所以f(x)的单调递增区间为[−π6+kπ,π
3+kπ],k ∈Z ；(2)f(B)=sin (2B−π
6)=1，
因为B ∈(0,π)，所以2B−π6∈(−π6,11π6)，即2B−π6=π2，解得B =π
3，
a =4,S △ABC =12acsinB =5 3，即2c ⋅
3
2
=5 3，解得c =5，
由余弦定理得b 2=a 2+c 2−2accosB =16+25−2×4×5×1
2=21，
解得b =
21；
(3)y =f(x)图象上的所有点，向右平移π24个单位后，得到y =sin (2x−π6−π12)=sin (2x−π
4)，再将所得图象上的所有点，纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到g(x)=sin (x−π
4)，∃x ∈[0,π], 2sin (x−π
4)+sin2x ≤2m 2−3m ，
即∃x ∈[0,π]，sinx−cosx +2sinxcosx ≤2m 2−3m ，
令sin x−cos x =t ，则t = 2sin (x−π
4)∈[−1,
2]，
则2sinxcosx =1−(sinx−cosx )2=1−t 2，
故∃t ∈[−1,
2],−t 2+t +1≤2m 2−3m ，
其中−t 2+t +1=−(t−12)2+5
4，当t =−1时，−t 2+t +1取得最小值，最小值为−1，所以−1≤2m 2−3m ，解得m ≥1或m ≤1
2，所以实数m 的取值范围是(−∞,1
2]∪[1,+∞)．
19.解：(Ⅰ)W 1是A 的弱P(3)子集，W 2不是A 的弱P(3)子集．
理由如下：1+3=22，W 1中存在两个元素的和是2的正整数指数幂，所以W 1是A 的弱P(3)子集．2+3=5，3=4=7，2+4=6，W 2中任意两个元素的和都不是2的正整数指数幂，所以W 2不是A 的弱P(3)子集．
(Ⅱ)不存在A 的强P(3)子集．
理由如下：假设存在A 的强P(3)子集W ={a,b,c}，不妨设a <b <c ，a ，b ，c 为正整数，a +b =2k 1，a +c =2k 2，b +c =2k 3，则k 1<k 2<k 3，k 1，k 2，k 3为正整数，k 2≤k 3−1，则b =2k 1−a ，c =2k 2−a ，代入b +c =2k 3中，所以a =2k 1−1+2k 2−1−2k 3−1<2k 2−1+2k 2−1−2k 3−1=2k 2−2k 3−1≤0，
所以a <0，与a 为正整数矛盾，所以不存在A 的强P(3)子集．
(Ⅲ)设A 1={1,3}，A 2={5,11}，A 3={6,10}，A 4={7,9}，B 1={2}，B 2={4}，B 3={8}，
若W 不是A 的弱P(m)子集，则W 最多能包含A 1，A 2，A 3，A 4中的一个元素以及B 1，B 2，B 3中的元素，一共7个元素，
令W 0={3,11,10,9,2,4,8}，W 0中任意两个元素的和都不是2的正整数指数幂，所以W 0不是A 的弱P(7)子集，
当m ≤7时，W 0的任意一个元素个数为m 的子集都不是A 的弱P(m)子集，
当m ≥8时，A 1，A 2，A 3，A 4中至少有一个集合是W 的子集，此时W 中一定存在两数之和为2的正整数幂，
即A 的任意一个元素个数为m 的子集都是A 的弱P(m)子集，所以m 的最小值为8．。