青海省平安县第一高级中学2016届高三4月月考数学(文)试题 含答案

平安县第一高级中学
2016年4月月考
高三数学(文） 试题
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出
的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的。

1。

i 是虚数单位，52i
i
=- （ ）
A ．12i +
B ．12i --
C ．12i -
D ．12i -+
2。

设集合{}20A x x =+=，集合{}2
40
B x x =-=，则A
B = （ ）
A ．{}2-
B ．{}2
C ．{}2,2-
D ．∅
4。

等差数列{}n
a 中，2
343,9a
a a =+=，则16a a 的值为 （ )
A ．14
B ．18
C ．21
D ．27
5. 一个几何体的三视图是一个正方形，一个矩形，一个半圆,尺寸大小如图所示,则该几何体的表面积 是 （ ）
A ．π
B ．34π+
C ．4π+
D ．24π+
6. 设m 、n 是两条不同直线,,αβ两个不同的平面，下列命题正确的是 （ ） A ．,m
n αβ且αβ
，则m
n
B ．,m n αβ⊥⊥且αβ⊥，则m n ⊥
C ．,,m n m n αβ⊥⊂⊥则αβ⊥
D ．,,,,m n m
n ααββ⊂⊂则αβ
7。

已知M 是ABC ∆内的一点，且2
3,30AB AC BAC =∠=︒，若,,MBC MCA MAB
∆∆∆的面积分别为1,,2
x y ，则14x
y
+的最小值为 （ )
A ．20
B ．18
C ．16
D ．9
8。

函数cos y x x =+的大致图像是 ( ）
A ．
B ．
C ．
D ．
9。

。

口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，摸出红球的概率是0.42，摸出白球的概率是0.28，那么摸出黑球的概率是 （ ) A ．0.42 B ．0.28 C ．0.3 D ．0.7
10。

某程序框图如图所示，则输出的n 值是 （ ）
A ．21
B ．22
C ．23
D ．24 11。

已知二次曲线22
14x y m
+=，则当[]2,1m ∈--时,该曲线的离心率e 的取
值范围是 ( )
A ．2322⎣⎦
B ．2622⎣⎦
C ．5622⎣⎦
D ．36⎣⎦
12. 给出定义：若112
2
m x m -<≤+（其中m 为整数），则m 叫做离实数x 最
近的整数，记作{}x ，即{}x m =在此基础上给出下列关于函数(){}
f x x x =-的四个命题：①1122
f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭
；②()3.40.4f =-；③1144f f ⎛⎫⎛⎫-< ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
；④()y f x =的定
义域是R ，值域是11,22⎡⎫
-⎪⎢⎣⎭
，则其中真命题的序号是 （ ）
A ．①②
B ．①③
C ．②④
D ．③④
二、填空题（每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上） 13. 已知函数()2
1
2
log y x
ax a =-+在区间()2,+∞上是减函数，则实数a 的取值
范围是 ． 14. 过抛物线2
4y
x =的焦点作一条直线交抛物线于,A B 两点，
若线段AB 的中点M 的横坐标为2，则AB 等于 ．
15。

设0
a 为单位向量，①若a 为平面内的某个向量,则0
a a
a =；②若0
a
与a 平行，则0
a a
a =；③
若0
a 与a 平行且1a =,则0
a a =.上述命题中，假命题个数是 ． 16。

已知函数()()2
44,1
,ln 43,1
x x f x g x x x x x -≤⎧==⎨-+>⎩，则函数()()y f x g x =-的零点个
数为 ．
三、解答题 (本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17。

（本小题满分12分）
已知数列{}n
a 与{}n
b ,若1
3a
=且对任意整数n 满足12n n a a +-=，数列{}
n b 的前n 项和2n
n S
n a =+.
(1） 求数列{}{},n
n
a b 的通项公式； （2) 求数列11n n b b +⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
的前n 项和n T 。

18. (本小题满分12分）
在长方体111
1
ABCD A BC D -中，2AB BC ==,过1
A 、1
C 、B 三点的平面截去
长方体的一个角后,得如图所示的几何体11
1
ABCD AC D -，且这个几何体的
体积为10.
（1)求棱1
A A 的长;
(2） 若11
AC 的中点为1
O ，求异面直线1
BO 与1
1
A D 所成角的余弦值。

19. （本小题满分12分）
某小组共有A 、B 、C 、D 、E 五位同学，他们的身高（单位:米） 以及体重指标（单位：千克/2
米）如下表所示:
A B C D E
身高 1.69 1.73 1.75 1.79 1.82
体重指标
19.2 25.1 18.5 23.3 20.9
(1) 从该小组身高低于1.80的同学中任选2人，求选到的2人身高都在
1.78以下的概率；
（2） 从该小组同学中任选2人，求选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在[)18,5,23,9中的概率。

20. （本小题满分12分）
已知椭圆：()22
2210y x a b a b +=>>，离心率为2
,焦点()()1
2
0,,0,F c F c -过1
F 的
直线交椭圆于,M N 两点，且2
F MN ∆的周长为4. (1） 求椭圆方程；
（2） 与y 轴不重合的直线l 与y 轴交于点()()0,0P m m ≠，与椭圆C 交于相异两点,A B 且
AP PB λ=,若4OA OB OP λ+=，求m 的取值范围。

21. （本小题满分12分）
已知函数()()2
2x
f x e ax b x
x =+++，
曲线()y f x =经过点()0,1P ，且在点P 处的切线为:41l y x =+. (1） 求a 、b 的值;
(2） 若存在实数k ,使得[]2,1x ∈--时,()()2
21f x x k x k ≥+++恒成立，求k 的取
值范围。

请考生在22、23、24三题中任选一题作答,如果多做，则按所做的第一题记分。

22。

（本小题满分10分)选修4-1：几何证明选讲
如图，AB 是O 的直径，,C F 为O 上的点，CA 是BAF ∠的角平分线，
过点C 作CD AF ⊥交AF 的延长线于D 点，CM AB ⊥,垂足为点M .
(1） 求证：DC 是O 的切线; (2） 求证：AM
MB DF DA =.
23。

(本小题满分10分)选修4—4:坐标系与参数方程
极坐标系与直角坐标系xoy有相同长度单位，以原点O为极点,以x
轴正半轴为极轴. 已知直线l的参数方程为
1
2
2
(
3
2
x t
t
y
⎧
=+
⎪⎪
⎨
⎪=
⎪⎩
为参数），曲线C
的极坐标方程为2sin8cos
ρθθ
=。

（1) 求C的直角坐标方程;
(2) 设直线直线l与曲线C交于,A B两点，求弦长AB。

24. （本小题满分10分）选修4—5:不等式选讲
已知函数()1
f x x x a
=-+-。

（1) 若1
a=-,解不等式()3
f x≥;
（2）如果()
,2
x R f x
∀∈≥,求a的取值范围.
高三数学（文科）答案
一、选择题（每小题5分，共60分）
1—5。

DAAAB6-10.BBBCC11—12. CB
二、填空题(每小题5分，共20分)
13. 4
a≤14。

615。

316. 3
学必求其心得，业必贵于专精
三、解答题 17。

解：（1)由题意知数列{}n
a 是公差为2的等差数列，又因为1
3a
=，
所以21n
a
n =+,当1n =时，114b S ==；
当2n ≥时，()()()2
2121121121n
n n b
S S n n n n n -⎡⎤=-=++--+-+=+⎣⎦
,
对1
4b =不成立。

2n ≥时,
()()111111212322123n n b b n n n n +⎛⎫
==- ⎪++++⎝⎭， 所以1111111120257792123n
T
n n ⎛⎫=
+-+-+⋅⋅⋅+- ⎪
++⎝⎭()
1
1612010152023n n n n --=+=++ 1n =仍然适合上式.
综上，
()
1161
2010152023n n n T n n --=
+=
++.………………………………………………………………12分
18。

解：（1) 设1
A A h =，由题设111
111111110ABCD AC D ABCD A B C D B A B C V
V V ---=-=，
得111
1103ABCD A B C S
h S h ∆⨯-⨯⨯=，即11
22221032
h h ⨯⨯-⨯⨯⨯⨯=，解得3h =， 故1
A A 的长为
3。

………………………………………………………………………
…………………6分 （2
） 在长方体中1
1
A D
BC ，
1O BC ∴∠即为异面直线1BO 与11A D 所成的角(或其补
角）,…………………………………………8分
在
1
O BC ∆ 中,计算可得11
O B OC ==
1O BC ∠的余弦值为
11
12分 19. 解：（1) 从身高低于1.80的同学中任选2人，其一切可能的结果组成的基本事件有：
()()()()()(),,,,,,,,,,,A B A C A D B C B D C D 共6个。

由于每个人被选到的机会均等,因此这些基本事件的出现是等可能的. ………………………………4分
选到的2人身高都在1.78以下的事件有：()()(),,,,,A B A C B C ，共3个。

因此选到的2人身高都在1.78以下的概率为
131
62
P =
=。

…………………………………………………6分 （2） 从该小组同学中任选2人，其一切可能的结果组成的基本事件有：()()(),,,,,A B A C A D
()()()()()()(),,,,,,,,,,,,,A E B C B D B E C D C E D E ，共10 个. 由于每个人被选到的机
会均等,
因此这些基本事件的出现是等可能
的。

……………………………………………………………………10分
选到的2人身高都在1.70以上且体重指标都在[]18,5,23,9的事件有:()()(),,,,,C D C E D E ，共3个.
因此选到的2人身高都在1.70以上且体重指标都在[]18,5,23,9中的概率为
23
10
P =。

………………12分
20. 解：（1）
设()22
22:10y x C a b a b +=>>，设2220,c c a b >=-,由条件知44,2
c a a ==，
1,2
a b c ∴===
，故C 的方程为：
2221y x +=。

……………………………………………………4分
(2) 设:l y kx m =+与椭圆C 的交点为()()1
1
2
2
,,,A x y B x y ,将y kx m =+代入
2221y x +=，
得()()2
22222210,4220k
x kmx m k m +++-=∴∆=-+>①。

212122221
,22
km m x x x x k k --+==++………………………………………………………
………………………6分
,4,3AP PB OA OB OP AP PB λλ=+=∴=,
2
122122
2,3x x x x x x ∴+=-=-,……………………………………………………………………………8分 消去2
x 得
()
2
22
121222
21340,34022km m x x x x k k ⎛⎫--⎛⎫
++=∴+= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭。

……………………………………9分 即2
2
224220k m
m k +--=，当21
4
m =
时，22224220k m m k +--<，
…………………………10分
2
2
22
122,441
m m k m -∴≠=-由①得2222k m >-，解得111,,122m ⎛
⎫⎛⎫∈-⋃ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭。

…………………………12分
21. 解：(1)()()22x
f x e ax a b x '=++++ ，
依题意，()()04
01
f f '=⎧⎪⎨=⎪⎩,即241a b b ++=⎧⎨=⎩，解得11a b =⎧⎨
=⎩。

（2） 由()()2
21x x
k x k ≥+++,得()()121x e x k x +≥+,
[]2,1x ∈--时，210x +<
()()221f x x k x k ∴≥+++即()()121x
e x k x +≥+恒成立，当且仅当()121x e x k x +≥+。

设()()1,21x e x g x x +=+[]()()()
22232,1,21x e x x x g x x +'∈--=+。

由()0g x '=得0x =（舍去）,32
x =， 当()32,,02x g x ⎛⎫'∈-> ⎪⎝⎭；当()3,1,02x g x ⎛⎫'∈--< ⎪⎝⎭
， ()()121x e x g x x +∴=+在区间[]2,1--上的最大值为123124
g e ⎛⎫-= ⎪⎝⎭. ∴常数k 的取值范围为321,4e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭。

请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做,则按所做的第一题记分.
22。

（本小题满分10分)选修4—1：几何证明选讲
解：（1) 连结,,OC OAC OCA ∴∠=∠又CA 是BAF ∠的角平分线，
OAC FAC ∴∠=∠, ,FAC ACO OC AD ∴∠=∠∴，………………………………………………………………………3分
CD AF ⊥，
CD OC ∴⊥,即DC 是O 的切
线。

…………………………………………………………………5分
(2） 连结BC ，在Rt ACB ∆中，
2,CM AB CM AM MB ⊥∴=。

又DC 是O 的切线，2DC DF DA ∴=.
易知,AMC ADC DC CM ∆≅∆∴=，
AM MB DF DA ∴=.……………………………………………………………………………………10分
23. (本小题满分10分）选修4-4:坐标系与参数方程 解：（1)由2sin 8cos ,ρθθ=得22sin 8cos ,ρθρθ=即曲线C 的直角坐标方程为28y x =.…………5分
（2)将直线l 的方程代入28y
x =，并整理得，2316640t t --=，12121664,33t t t t +==-。

所以
12AB t t =-()21212324.3
t t t t =+-=………………………………………………………………10分
24. (本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
解:(1） 当1a =-时，()11f x x x =-++.
由()3f x ≥得113x x -++≥。

当1x ≤-时，不等式可化为113x x -++≥，即 ，其解集为3,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦
. 当11x -<<时,不等式化为113x x -++≥，不可能成立,其解集为∅.
当1x ≥时,不等式化为113x x -++≥，即23x ≥，其解集为3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭。

综上所述，()3f x ≥的解集为33,,22⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭。

(2）()11f x x x a a =-+-≥- ，∴要(),2x R f x ∀∈≥成立。

则12,1a a -≥∴≤-或3a ≥，
即a的取值范围是(][)
-∞-⋃+∞。

,13,。