概率论与数理统计教程第四版课后答案

贝叶斯公式
PBi
|
A

PBi PA | Bi
n

P
Bi
P

A
|
Bi

i 1 5
(五) 事件的独立性与独立试验序列
事件的独立性 PA | B PA, P Ai | AjAk PAi
m
事件 A 与事件 B 相互独立
PAB PAPB
1 , 2 ,, n ,
1
(二) 事件及事件之间的关系与运算
1.随机事件、必然事件、不可能事件
2.事件间的关系与运算
(1)包含与相等 (2)和事件: A B : “二事件 A 与 B 至少有一事件发生”
A1 A2 An : “n 个事件 A1 , A2 ,, An 中至少有一个发生”
AB A ( A B) P( AB) P( A) P( A B)
P( AB) P( A) P( A B) P( A) P(B)
若事件 A1 , A2 ,, An 互不相容，则
PA1 A2 An PA1 PA2 PAn 4
2.条件概率及乘法定理
条件概率
PA
|
B

PAB PB
,
PB
|
A

PAB PA
.
乘法定理 PAB PB PA| B PA PB | A
nm !
其中 p q 1 。
6
第一章 随机事件及其概率
一、几种概率
1、统计概率 2、古典概率 3、几何概率
P( A) M N
P（A）
随机事件A所占的几何度量 试验的总的几何度量
4、条件概率
P( A | B) P( AB) P(B)
5、贝努利概率
Pn
(m)

C
m n
pm q nm
第一章 随机事件及其概率小结
一、基本内容
(一)随机试验与样本空间 1.随机试验 具有下列特点的试验称为随机试验 ( 试验 ): （1）试验在相同的条件下可重复进行； （2）试验前知道试验的所有可能结果，并且可能的结果不止一个； （3）试验前不知道那一个结果会出现。 2.样本空间与样本点
样本空间 随机试验的所有可能的结果所组成的集合，记作Ω； 样本点 样本空间Ω中的每个元素，即试验的每一可能的结果， 记作ω。
i 1
4、逆概率公式
P ( Bi
|
A)

P( ABi ) P( A)

P(Bi )P( A | Bi )
n
P(Bi )P( A | Bi )
i 1
9
第一章
2. (1) 仅 A 发生;
ABC
(2) A、B、C都发生;
ABC
(3) A、B、C都不发生;
ABC
(4) A、B、C不都发生;
ABC
(5) A不发生，且B、C中至少有一发生; A(B C )
(m 0,1,n)
7
二、事件的关系及其概率
1. A B P( A) P(B)
2. AB V P( A B) P( A) P(B)


P( Ai ) P( Ai )（概率的完全可加性）
i 1
i 1
3. AB V A B U P( A) (B) 1
2 18! 9!9!
∴
P( A)

C
21C
9 18
C
10 20

10 19
0.526
另解
P( A) 1 P( A) 1 2C188
C
10 20
13
1.7 在桥牌比赛中，把52张牌任意地分给东、南、西、北四家， 求北家的13张牌中： （1）恰有5张黑桃、4张红心、3张方块、1张草花的概率。 （2）恰有大牌A、K、Q、J各一张，其余为小牌的概率。
4、事件A与B是相互独立 P( AB) P( A)P(B)
8
三、概率的公式
1、加法公式
P( A B) P( A) P(B) P( AB)
2、乘法公式
P(AB) P(A)P(B | A) P(B)P(A | B)
3、全概率公式
n
P( A) P(Bi )P( A | Bi )
解
（1） P( A) C92C111 C72C113 C42C116
C
3 20

51 76
0.671
（2）
P(B)

C
2 9
C111

C
2 7
C113

C 42 C116

C
3 9

C
3 7

C
3 4
Байду номын сангаас 74
C
3 20
95 0.779
或
P(B)

1

P(B )

1
C
91C 71C
10
4. 电话号码由6个数字组成，每个数字可以是0、1、2、…、9中的 任一个（但第一个数字不能为0），求电话号码是由完全不同的 数字组成的概率。
解 基本事件的总数：N 9 105
设事件A 表示电话号码是由完全不同的数字组成，
则A所包含的基本事件的数： M 9 P95
∴
P( A) M N
10
8!3! 1 0.067 10! 15
12
6. 为减少比赛场次，把20个球队任意分成两组（每组10队）进行 比赛，求最强的两队分在不同组内的概率。
解
基本事件的总数： N

C
10 20
20! 10!10!
设事件A 表示最强的两队分在不同组内，
则A所包含的基本事件的数：
M
C21C198
1
0.0625
43 16
（3）P(C )

C
1 4

C
2 3

C
1 3
43
9 0.5625
16
13. 某工厂生产的100个产品中，有5个次品，从这批产品中任取一
半来检查，设A表示发现次品不多于1个，求A的概率。
解
P( A)

C
50 95

C
1 5

C
49 95
C15000
0.1811
Ai Aj 1 i j n,
通常把 n 个互不相容事件 A1 , A2 ,, An 的和记作 n
A1 A2 An (简记为 Ai ).
2
i 1
(5 ) 逆事件 A B , AB . B A 或 A B .
(6)完备事件组
n
Ai ,

9 P95 9 105
189 1250
0.1512
11
5. 把10本书任意地放在书架上, 求其中指定的3本放在一起的概率。
解
基本事件的总数：
N

P10 10
设事件A 表示指定的3本放在一起，
则A所包含的基本事件的数： M P33 P88
∴
P(A)
M N

P33 P88 P10
解 设事件A表示总数不超过一角， A1=“取出2个五分和3个其它的硬币” A2=“取出1个五分、 3个二分和1个一分的硬币” A3=“取出1个五分、 2个二分和2个一分的硬币”
显然 A1 , A2 , A3 互不相容， 则 A A1 A2 A3
∴ P( A) P( A1 ) P( A2 ) P( A3 )
(3)积事件: A B 或 AB : “二事件 A 与 B 都发生”
n 个事件的积
A1 A2 An
或
n
A1 A2 An . (简记为 Ai )
i 1
(4)互不相容(互斥)事件: AB : 事件 A 与 B 不能同时发生
若 n 个事件A1 , A2 ,, An 中任意两个事件不可能同时发生，即
n
n
Ai Ai ,
i 1
i 1
n
n
Ai Ai .
i 1
i 1
3
(三) 概率的定义
概率的定义 事件 A 发生的可能性大小
概率的统计定义
概率的古典定义： PA M .
N
几何概率的定义:
P（ A）
随机事件 A 所占的几何度量 试验的总的几何度量
概率的公理化定义
(四) 概率的有关定理及公式
(6) A、B、C中至少有一个发生； A B C
(7) A、B、C中恰有一个发生； ABC ABC ABC
(8) A、B、C中至少有两个发生； ABC ABC ABC ABC 或 AB BC AC
(9) A、B、C中最多有一个发生。 或 AB BC AC
ABC ABC ABC ABC 或 AB BC AC
C 13 52 14
8. 3个球随机的投入4个盒子中，求下列事件的概率： （1）A是任意3个盒子中各有1个球； （2）B是任意1个盒子中有3个球； （3）C是任意1个盒子中有2个球，其它任意1个盒子中有1个球。
解
（1）P( A)
C
3 4

3!
43

3
0.375
8
（2）P(B)
C
1 4

PA1 A2 An PA1 PA2 | A1PA3 | A1A2 PAn | A1A2 An1
3.全概率公式与贝叶斯公式
全概率公式
P

A

n

P
Bi
P

A
|
Bi

i 1
n
其中 Bi A, i 1
Bi Bj
1 i j n,
解 设A表示恰有5张黑桃、4张红心、3张方块、1张草花的事件
P( A)
C
5 13

C
4 13

C
3 13

C
1 13

C
13 39

C
13 26
0.0054
C 13 52

C
13 39

C
13 26
设B表示恰有大牌A、K、Q、J各一张，其余为小牌的事件
P(B)

(C
1 4
)4
C
9 36
0.038
若 n 个事件 A1,A2,…,An 是相互独立的，则
PA1 A2 An PA1 PA2 PAn
如果在独立试验序列中事件 A 的概率为 p (0< p <1)，则在 n
次试验中事件 A 恰好发生 m 次的概率
Pn
m

C
m n
pmqnm
m!
n!
pmqnm ,
P(C)
C
2 4

6
5

1 2
64
5 0.0694
72
（4）D——恰有三个骰子的点数相同。
P(D)
C
3 4
65
64
5 0.0926
54
（5）E——四个骰子的点数都相同。
P(E) 6
64
1 0.0046
216
16
14. 袋中有2个五分、3个二分和5个一分的硬币，任取其中5个， 求总数不超过一角的概率。
1 4
C
3 20
19
1.17. 设P (A) > 0， P (B) > 0 ，将下列四个数： P (A) 、P (AB) 、P (A∪B) 、P (A) + P (B)
用“≤”连接它们，并指出在什么情况下等号成立。
解 PA B P( A) P(B) P( AB) PA B P( A) P(B)
1.加法定理 PA B PA PB PAB
n
P( A1 A2 An ) P( Ai )
P( Ai Aj )
i 1
1i jn

P( Ai Aj Ak ) (1)n1 P( A1 A2 An )
1i jk n
∴ P( A) P(B1 ) P(B2 ) P(B3 )

C
5 8

C
21C
4 5

C
21C
31C
3 5
0.5
C150
C150
C150
18
16. 20件产品中，一等品9件，二等品7件，三等品4件，从中任取 3件，求下列事件的概率：
（1）A是任取的3件产品中恰有2件等级相同的产品； （2）B是任取的3件产品至少有2件等级相同的产品。
15
1.9 同时掷4个均匀的骰子，求下列事件的概率： （1）A——四个骰子的点数各不相同。
P( A) A64 5 0.2778
64 18
（2）B——恰有两个骰子的点数相同。
P(
B)

C
2 4

C
1 6

A52
64
5 9
0.5556
（3）C——四个骰子的点数两两相同，但两对的点数不同。

C
22C
3 8

C
21C
33C
1 5

C
21C
2 3
C
2 5
0.5
C150
C150
C150
P( A) 1 P( A) 1 0.5 0.5
17
14. 袋中有2个五分、3个二分和5个一分的硬币，任取其中5个， 求总数不超过一角的概率。
另解
设B1=“取出的5个硬币中不含五分硬币” B2=“取出1个五分、 4个一分的硬币” B3=“取出1个五分、 1个二分和3个一分的硬币”
i 1
互不相容的完备事件组： 若 A1 , A2 ,, An 满足
n
Ai ,
i 1
且
Ai Aj (1 i j n).
3.事件运算的性质
(1). A A, A A , A A ;
(2). AB C AB AC,
(3). A B A B, AB A B.