宁夏银川一中2018届高三第一次模拟考试数学(文)试题

绝密★启用前
2018年普通高等学校招生全国统一考试
文 科 数 学
(银川一中第一次模拟考试)
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第22～23题为选考题，其它题为必考题。

考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：
1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。

2．选择题答案使用2B 铅笔填涂,如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．考生必须按照题号在答题卡各题号相对应的答题区域内(黑色线框)作答,写在草稿纸上、超出答题区域或非题号对应的答题区域的答案一律无效。

4．保持卡面清洁，不折叠，不破损。

5．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。

第I 卷
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题
目要求的．
1．已知集合{}{}
2
1,1,3,1,2A B a a =-=-，且B A ⊆，则实数a 的不同取值个数为
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
2．已知z 是纯虚数,2
1i
z +-是实数,那么z 等于 A ．-2i
B ．2i
C ．-i
D ．i
3．已知函数⎩⎨⎧≤>=)
0(3)0(log )(2x x x x f x ，则1
[()]4f f 的值是
A ．9
B ．－9
C ．
9
1
D ．－
9
1 4．已知x 、y 满足约束条件100,0x y x y x +-≤⎧⎪
-≤⎨⎪≥⎩
则 z = x + 2y 的最大值为
A ．-2
B ．-1
C ．1
D ．2
5．已知直线0=++c by ax 与圆1:22=+y x O 相交于,A B 两点，且,3=AB 则OB OA ⋅的值是
A ．1
2- B ．12 C ．34
-
D ．0
6．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是
某几何体的三视图，则该几何体的表面积为 A ．96 B ．80＋42π
C ．96＋4(2－1)π
D ．96＋4(22－1)π
7．已知角φ的终边经过点P(－4，3)，函数()sin()f x x ωφ=+(ω>0)的图像的相邻两条对称轴之间的距离等于
2π，则()4
f π
的值为 A ．35 B ．45 C ．－35 D ．－4
5
8．已知程序框图如图所示，则该程序框图的功能是 A ．求数列}1{n
的前10项和)(*N n ∈ B ．求数列}21
{
n 的前10项和)(*N n ∈ C ．求数列}1{n
的前11项和)(*N n ∈ D ．求数列}21
{
n
的前11项和)(*N n ∈ 9．某单位安排甲、乙、丙三人在某月1日至12日值班，每人4天．
甲说：我在1日和3日都有值班； 乙说：我在8日和9日都有值班；
丙说：我们三人各自值班的日期之和相等．据此可判断丙必定值班的日期是 A ．2日和5日 B ．5日和6日 C ．6日和11日 D ．2日和11日 10．设函数,11
)1ln()(2
x
x x f +-
+=则使得)12()(->x f x f 成立的x 的范围是 A ．)1,31( B ．),1()31,(+∞-∞ C ．)31,31(- D ．),3
1()31,(+∞--∞
11．设F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)的左、右两个焦点，若双曲线右支上存在一点P ，使(OP
→
＋OF 2→)·
F 2P →
＝0(O 为坐标原点)，且|PF 1|＝3|PF 2|，则双曲线的离心率为
y
x
O -1
6
54321-1
-21
A ．2＋12
B ．2＋1
C ．3＋1
2 D ．3＋1 12．若函数f (x )＝x 3－3x 在(a,6－a 2)上有最小值，则实数a 的取值范围是
A ．(－5，1)
B ．[－5，1)
C ．[－2,1)
D ．(－5，－2]
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第23题为选考题，考生根据要求做答． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分. 13．曲线x
x y 1
2+
=在点（1，2）处的切线方程为______________． 14．已知P 是△ABC 所在平面内一点且PB →＋PC →＋2PA →
＝0，现将一粒黄豆随机撒在△ABC 内，则黄
豆落在△PBC 内的概率是 .
15．对于数列{a n }，定义数列{a n ＋1－a n }为数列{a n }的“差数列”，若a 1＝1，{a n }的“差数列”的通项公
式为a n ＋1－a n ＝2n ，则数列{a n }的前n 项和S n ＝________.
16．已知抛物线C ：y 2= 2px (p > 0)的焦点为F ，过点F 倾斜角为60°的直线l 与抛物线C 在第一、
四象限分别交于A 、B 两点，则
|
||
|BF AF 的值等于__________. 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）
已知函数R x x A x f ∈+=),sin(
)(ϕω(其中 )2
2
,0,0π
ϕπ
ω<
<-
>>A ),其部分图像如图所示.
(1)求函数)(x f 的解析式;
(2)已知横坐标分别为－1、1、5的三点M 、 N 、P 都在函数f (x )的图像上，求sin ∠MNP 的值. 18．（本小题满分12分）
如图，四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形， ∠DAB =60°，AB =2AD ，M 为AB 的中点，△PAD 为等边三 角形，且平面PAD ⊥平ABCD .
(1)证明：PM ⊥BC ；
(2)若PD =1，求点D 到平面PAB 的距离. 19．（本小题满分12分）
为了解某市民众对某项公共政策的态度，在该市随机抽取了50名市民进行调查，做出了他们的月收入（单位：百元，范围：[15,75]）的频率分布直方图，同时得到他们月收入情况以及对该项政
策赞成的人数统计表：
(1)求月收入在[35,45)内的频率，并补全这个频率分布直方图，并在图中标出相应纵坐标； (2)根据频率分布直方图估计这50人的平均月收入；
(3)若从月收入（单位：百元）在[65,75]的被调查者中随机选取2人，求2人都不赞成的概率． 20．(本小题满分12分)
已知椭圆22221(0x y a b a b +=>>）的离心率3
2
e =，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为
4.
(1)求椭圆的方程.
(2)设直线l 与椭圆相交于不同的两点,A B ，已知点A 的坐标为（,0a -），点0(0,)Q y 在线段AB 的垂直平分线上，且4=⋅QB QA ，求0y 的值. 21．(本小题满分12分)
已知函数)('),,()(23x f R b a bx x ax x f ∈+-=为其导函数，且3=x 时)(x f 有极小值9-. (1)求)(x f 的单调递减区间；
(2)若不等式k x x x k x f (46)1ln ()('--->为正整数)对任意正实数x 恒成立，求k 的最大值.(解答过程可参考使用以下数据：ln 7≈1.95，ln 8≈2.08)
请考生在第22-23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22．(本小题满分10分) 选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝2＋2cos α，
y ＝2sin α(α为参数)，曲线C 2的参数方程为⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝2cos β，
y ＝2＋2sin β(β为参数)，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. (1)求曲线C 1和曲线C 2的极坐标方程；
(2)已知射线l 1：θ＝α(0<α<π2)，将射线l 1顺时针旋转π6得到射线l 2：θ＝α－π
6，且射线l 1与曲线C 1交于O ，P 两点，射线l 2与曲线C 2交于O ，Q 两点，求|OP |·|OQ |的最大值． 23．（本小题满分10分）选修4—5；不等式选讲． 设不等式0|2||1|2<+--<-x x 的解集为M ，且M b a ∈, （1）证明：
4
1
6131<+b a ； （2）比较|41|ab -与||2b a -的大小，并说明理由.
银川一中2018届高三第一次模拟文科数学试题参考答案及评分标准
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分． 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案
B
A
C
D
A
C
D
B
C
A
D
C
二．填空题：13. x-y+1=0-1； 14. 1
2; 15. 221--+n n ; 16. 3 三．解答题：
17、解:(1)由图可知,1A =, 1分 最小正周期428,T =⨯= 所以2π
π
8,.4
T ωω
===
2分 又π(1)sin(
)14f ϕ=+=,且ππ22ϕ-<<，所以ππ3π444ϕ-<+<,πππ,.424ϕϕ+== 4分 所以π
()sin
(1)4
f x x =+ 5分 (2) 解法一: 因为ππ(1)sin (11)0,(1)sin (11)1,44f f -=-+==+= π
(5)sin (51)14f =+=-,
所以(1,0),(1,1),(5,1)M N P --, 8分 5,37,20MN MP PN ===, 10分
从而520373
cos 52520
MNP +-∠=
=-⨯, 11分
由[]0,πMNP ∠∈,得2
4
sin 1cos 5
MNP MNP ∠=-∠= 12分 解法二: 因为ππ
(1)sin
(11)0,(1)sin (11)1,44
f f -=-+==+= π
(5)sin (51)14f =+=-, 所以(1,0),(1,1),(5,1)M N P --, 8分
(2,1),(4,2)NM NP =--=-,6NM NP ⋅=-,5,2025NM NP ===, 10分
则3
cos 5525
NM NP MNP NM NP
⋅∠=
=
=-⨯⋅ 11分
由[]0,πMNP ∠∈,得2
4
sin 1cos 5
MNP MNP ∠=-∠=
(12分)
19.解：(1)1-0.01×10×3-0.02×10×2=0.3………………………2分
………………………4分
（2）200.1300.2400.3500.2600.1700.143⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（百元） …5分
即这50人的平均月收入估计为4300元。

………………………………6分 （3）[65，75]的人数为5人，其中2人赞成，3人不赞成。

……………7分 记赞成的人为b a ,，不赞成的人为z y x ,, ……………8分
任取2人的情况分别是：,,,,,,,,,,yz xz xy bz by bx az ay ax ab 共10种情况。

…9分 其中2人都不赞成的是：,,,yz xz xy 共3种情况。

…………11分
∴ 2人都不赞成的概率是：3
10
p =
…………12分 20.解：（1）由3
e 2
c a =
=
，得2234a c =， (1分) 再由222c a b =-，得2a b =， (2分) 由题意可知，
1
224,22
a b ab ⨯⨯==即. (3分) 解方程组22
a b ab =⎧⎨=⎩，得 a=2,b=1，所以椭圆的方程为2
214x y +=. 4分
(2)由（1）可知A （-2,0）.设B 点的坐标为（x 1,,y 1）,直线l 的斜率为k ， 则直线l 的方程为y=k(x+2), 5分
于是A,B 两点的坐标满足方程组2
2(2)14
y k x x y =+⎧⎪
⎨+=⎪⎩，
，
由方程组消去y 整理，得2
2
2
2
(14)16(164)0k x k x k +++-=, 6分
由212
164
2,14k x k
--=+得21122284,,1414k k x y k k -==++从而. 设线段AB 的中点为M ，则M 的坐标为222
82(,)1414k k
k k
-++. 8分 以下分两种情况：
（1）当k=0时，点B 的坐标为（2,0）.线段AB 的垂直平分线为y 轴，于是
9分
（2）当k 0≠时，线段AB 的垂直平分线方程为
令x=0，解得 10分
由
210102222
2(28)6462(()14141414k k k k
QA QB x y y y k k k k →
→
--=---++++++）= 4222
4(16151)
4(14)
k k k +-=+=.
整理得201421472,=75
k k y ==±±故所以，201421472,=75k k y ==±±故所以. 11分 综上00214
=22=5
y y ±±或. 12分 21.
22．(1)曲线C 1的直角坐标方程为(x －2)2＋y 2＝4 1分
所以C 1的极坐标方程为ρ＝4cos θ 2分 曲线C 2的直角坐标方程为x 2＋(y －2)2＝4， 3分 所以C 2的极坐标方程为ρ＝4sin θ. 4分 (2)设点P 的极坐标为(ρ1，α)， 5分 即ρ1＝4cos α，点Q 的极坐标为(ρ2，(α－π6))，即ρ2＝4sin(α－π
6)， 6分
则|OP|·|OQ|＝ρ1ρ2＝4cosα·4sin(α－π
6)＝16cosα·(
3
2sinα－
1
2cosα)
＝8sin(2α－
π
6)－4. ∵α∈(0，
π
2)，8分
∴2α－π
6∈(－
π
6，
5π
6)．当2α－
π
6＝
π
2，即α＝
π
3时，|OP|·|OQ|取最大值4. 10分
23．
2。