(新人教)高三数学第一轮复习教案2.3.3函数奇偶性(1)

一．课题：函数奇偶性（1）
二．教学目标：1. 使学生理解奇函数、偶函数的概念；使学生掌握判断函数奇偶性的方法；
2. 培养学生判断、推理的能力、加强化归转化能力的训练。

三．教学重点：函数奇偶性的概念
四．教学过程：
（一）复习：（提问）
1．增函数、减函数的定义，并复述证明函数单调性的步骤；
2．练习：函数228y x x =--+的单调递增区间是 .
3．轴对称与中心对称图形。

（二）新课讲解：
请同学们观察图形，说出函数2
x y =和3y x =的图象各有怎样的对称性？
1．奇偶性的定义：
（1）偶函数的定义：一般地，如果对于函数()f x 的定义域内任意一个x ，都有()()f x f x -=，
那么函数()f x 就叫做偶函数。

例如：函数2()1f x x =+, 4()2f x x =-等都是偶函数。

（2）奇函数的定义：一般地，如果对于函数()f x 的定义域内任意一个x ，都有
()()f x f x -=-，那么函数()f x 就叫做奇函数。

例如：函数x x f =)(，x
x f 1)(=
都是奇函数。

（3）奇偶性的定义：如果函数()f x 是奇函数或偶函数，那么我们就说函数()f x 具有奇偶性。

说明：从函数奇偶性的定义可以看出，具有奇偶性的函数：
（1）其定义域关于原点对称；
（2） ()()f x f x -=或()()f x f x -=-必有一成立。

因此，判断某一函数的奇偶性时，首先看其定义域是否关于原点对称，若对称，再计
算()f x -，看是等于()f x 还是等于()f x -，然后下结论；若定义域关于原点不对称，
3x y =
2x y =
则函数没有奇偶性。

（3）无奇偶性的函数是非奇非偶函数。

（4）函数0)(=x f 既是奇函数也是偶函数，因为其定义域关于原点对称且既满足)()(x f x f -=也满足)()(x f x f --=。

（5）一般的，奇函数的图象关于原点对称，反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数。

偶函数的图象关于y 轴对称，反过来，如果一个函数的图形关于y 轴对称，那么这个函数是偶函数。

（6）奇函数若在0x =时有定义，则(0)0f =．
2．例题分析：
例1．判断下列函数的奇偶性：
（1）3
()f x x x =+（奇函数） （2）()f x =（既是奇函数又是偶函数）
（3）()31f x x =+（非奇非偶函数） （4）64()8f x x x =++ [2,2)x ∈-（非奇非偶函数）
（5）()0f x =（既是奇函数又是偶函数） （6）42()23f x x x =+（偶函数）
例2．判断下列函数的奇偶性：
（1）()||f x x =（既是奇函数又是偶函数） （2）()f x =（奇函数） 说明：在判断()f x -与()f x 的关系时，可以从()f x -开始化简；也可以去考虑()()
f x f x +-或()()f x f x --；当()f x 不等于0时也可以考虑()()
f x f x -与1或1-的关系。

例3．已知函数53()8f x x ax bx =++-若(2)10f -=，求(2)f 的值。

解：构造函数()()8g x f x =+，则53()g x x ax bx =++一定是奇函数 又∵(2)10f -=，∴ (2)18g -=
因此(2)18g =- 所以(2)818f +=-，即(2)26f =-．
说明：函数的奇偶性不但可以求函数值，也可以利用奇偶性的图象性质作函数图象。

见（课本第63页的例6）
五．小结：1．函数奇偶性的定义；
2．判断函数奇偶性的方法；
3．特别要注意判断函数奇偶性时，一定要首先看其定义域是否关于原点对称，否则将会导致结论错误或做无用功。

六．作业：1．习题2.3 第7题 2．课本106P 第10题
补充： 3．已知22
()(1)(1)2f x m x m x n =-+-++，当,m n 为何值时，()f x 为奇函数。