沪教版七年级数学下册解题技巧专题：平行线中作辅助线的方法

解题技巧专题：平行线中作辅助线的方法
——形成思维定式，快速解题
◆类型一含一个拐点的平行线问题【方法22】
1．如图，AB∥EF，CD⊥EF，∠BAC＝50°，则∠ACD的度数为()
A．120°B．130°
C．140°D．150°
第1题图第2题图
2．如图，直线a∥b，∠1＝75°，∠2＝35°，则∠3的度数是()
A．75°B．55°
C．40°D．35°
3．如图，直线a∥b，∠1＝110°，∠2＝55°，则∠3的度数为________．
第3题图
4．课堂上李老师给出下面问题：
已知：如图，AB∥CD，EF⊥AB于点O，FG交CD于点P，当∠1＝30°时，求∠EFG 的度数．甲、乙、丙三位同学用不同的方法添加辅助线解决问题．
甲同学辅助线的作法和分析思路如下：
辅助线：如图甲，过点F作MN∥CD.
分析思路：
①欲求∠EFG的度数，由图可知只需转化为求∠2和∠3的度数；
②由辅助线作图可知∠2＝∠1，又由已知∠1的度数可得∠2的度数；
③由AB∥CD，MN∥CD推出AB∥MN，由此可推出∠3＝∠4；
④由已知EF⊥AB可得∠4＝90°，所以可得∠3的度数；
⑤从而可求∠EFG的度数.
(1)请你根据乙同学所画的图形，描述辅助线的作法，并写出相应的分析思路；
(2)请你根据丙同学所画的图形，求∠EFG的度数．
◆类型二含多个拐点的平行线问题【方法22】
5．如图，直线l1∥l2，∠3＝125°，∠4＝85°，则∠1＋∠2的度数为()
A．30°B．35°C．36°D．40°
第5题图第6题图
6．如图，直线l1∥l2，α＝β，∠1＝40°，则∠2＝________．
7．如图，已知a∥b，ABCDE是夹在直线a，b之间的一条折线，试研究∠1，∠2，∠3，∠4，∠5的大小之间有怎样的等量关系，请说明理由．
参考答案与解析
1．C解析：如图，过点C向左作CG∥AB.因为AB∥CG，所以∠ACG＝∠CAB＝50°.因为AB∥EF，所以CG∥EF.因为CD⊥EF，所以∠CDF＝90°，所以∠GCD＝∠CDF＝90°.所以∠ACD＝∠ACG＋∠GCD＝140°.
2．C解析：如图，过点A向右作AB∥a.因为∠2＝35°，所以∠4＝∠2＝35°.因为a∥b，所以AB∥b，所以∠1＝∠3＋∠4＝75°，所以∠3＝75°－35°＝40°.
3．55°解析：如图，过点A向右作AB∥b，所以∠1＋∠4＝180°.因为∠1＝110°，所以∠4＝70°.因为a∥b，所以AB∥a，所以∠5＋∠3＋∠4＝180°.因为∠2＝∠5，所以∠2＋∠3＋∠4＝180°.因为∠2＝55°，所以∠3＝55°.
4．解：(1)辅助线：如图乙，过点P作PN∥EF交AB于点N.
分析思路：①欲求∠EFG的度数，由辅助线作图可知∠EFG＝∠NPG，因此，只需转化为求∠NPG的度数；②欲求∠NPG的度数，由图可知只需转化为求∠1和∠2的度数；③已知∠1的度数，所以只需求出∠2的度数；④由已知EF⊥AB，可得∠4＝90°；⑤由PN∥EF 可推出∠3＝∠4，再由AB∥CD可推出∠2＝∠3，由此可推∠2＝∠4，所以可得∠2的度数；
⑥从而可以求出∠EFG的度数．
(2)如图丙，过点O作ON∥FG，交CD于点N.因为ON∥FG，∠1＝30°，所以∠4＝∠1＝30°.因为AB∥CD，所以∠2＝∠4＝30°.又因为EF⊥AB，所以∠3＝90°，所以∠EON＝∠3＋∠2＝90°＋30°＝120°.因为ON∥FG，所以∠EFG＝∠EON＝120°.
5．A
6．140°解析：如图，延长AE交l2于点B.因为l1∥l2，所以∠3＝∠1＝40°.因为α＝β，所以AB∥CD，所以∠2＋∠3＝180°，所以∠2＝180°－∠3＝180°－40°＝140°.
7. 解：∠2＋∠4＝∠1＋∠3＋∠5.理由如下：如图，作BF∥a，CG∥a，DH∥a.因为a∥b，所以a∥BF∥CG∥DH∥b，所以∠1＝∠ABF，∠FBC＝∠BCG，∠GCD＝∠CDH，∠HDE ＝∠5，所以∠2＋∠4＝∠1＋∠3＋∠5.
（赠品，不喜欢可以删除）
数学这个家伙即是科学界的“段子手”，又是“心灵导师”一枚。

它要是给你讲起道理来，那可满满的都是人生啊。

1.人生的痛苦在于追求错误的东西。

所谓追求错误的东西，就是你在无限趋近于它的时候，便无限远离了原点，却永远无法和它产生交点。

2.人和人就像数轴上的有理数点，彼此可以靠得很近很近，但你们之间始终存在无理的隔阂。

3.人是不孤独的，正如数轴上有无限多个有理点，在你的任意一个小邻域内都可以找到你的伙伴。

但人又是寂寞的，正如把整个数轴的无理点标记上以后，就一个人都见不到了。

4.零点存在定理告诉我们，哪怕你和他站在对立面，只要你们的心还是连续的，你们就能找到你们的平衡点。

5.有限覆盖定理告诉我们，一件事情如果是可以实现的，那么你只要投入有限的时间和精力就一定可以实现。

至于那些在你能力范围之外的事情，就随他去吧。

6.幸福是可积的，有限的间断点并不影响它的积累。

所以，乐观地面对人生吧！。