高中数学第二章几个重要的不等式2.2排序不等式课件北师大选修4_5

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其中j1,j2,…,jn是1,2,…,n的任一排列方式.上式当且仅当 a1=a2=…=an(或b1=b2=…=bn)时取“=”号.
名师点拨 1.排序不等式中能构造的和按数组中的某种“搭配”的
顺序被分为三种形式:顺序和、逆序和、乱序和,对这三种不同的
搭配形式只需注重是怎样的“次序”,两种较为简单的是“顺与逆”,而
故原不等式成立.
探究一
探究二
思维辨析
反思感悟 当所证不等式中涉及的变量已经给出大小关系时,可 以根据欲证不等式各部分的结构特点,构造数组,从而可以将欲证 不等式中的各部分视作是给定数组的顺序和、逆序和或乱序和,从 而借助排序不等式证得结论.
探究一
探究二
思维辨析
变式训练 1 已知 a,b,c 均为正数,求证:������2������2+���������+���2������������+2+������ ������2������2≥abc.
+
������������������,
即������2������2+���������2������������������2��� +������2������2≥a+b+c.
又因为 a,b,c 为正数,所以 abc>0,a+b+c>0.
所以������2������2+���������+���2������������+2+������ ������2������2≥abc.
利用排序不等式,有
������1 ������2
+
������������23+…+���������������������-���1

������1 ������1
+
������2 ������2
+…+������������������������--11
≥1
2
+
23+…+���������-���1.
)
(2)对于任意给定的两组数,逆序和不大于顺序和.( )
(3)设a1,a2,a3是1,2,3的任一排列方式,则a1+2a2+3a3的最大值是
14.( )
(4)若
a1,a2,a3,a4

1,2,3,4
的任一排列方式,则���1���1
+
2 ������2
+
3 ������3
+
4的
������4
最大值是 4.
()
答案:(1)× (2)√ (3)√ (4)×
探究一
探究二
思维辨析
探究一 利用排序an 是 1,2,…,n 的一个排列,求证:12 +
23+…+���������-���1

������1 ������2
+
������������23+…+���������������������-���1.
(2)定理2(排序不等式):
设有两个有序实数组a1≥a2≥…≥an及b1≥b2≥…≥bn,则(顺序 和)a1b1+a2b2+…+anbn≥(乱序和) a1������������1+a2������������2+…+an������������������ ≥(逆序 和)a1bn+a2bn-1+…+anb1.
§2.2 排序不等式
学习目标
思维脉络
1.了解排序不等式的数学思想和 背景.
2.理解逆序和、顺序和、乱序和等 基本概念. 3.了解排序不等式的结构与基本
原理.
4.掌握排序不等式的简单应用.
1.定理1
设a,b和c,d都是实数,如果a≥b,c≥d,那么ac+bd≥ad+bc,此式当且仅当
a=b(或c=d)时取“=”号.
,最小值

.
解析:c1+2c2+3c3的最大值应该是顺序和
1×25+2×30+3×45=220,最小值则为反序和
1×45+2×30+3×25=180.
答案:220 180
思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的
打“×”.
(1)对于给定的两组数,顺序和、逆序和与乱序和都是唯一的.(
2.定理2
(1)顺序和、乱序和、逆序和:
设实数a1,a2,a3,b1,b2,b3满足a1≥a2≥a3,b1≥b2≥b3,则a1b1+a2b2+a3b3≥ a1������������1+a2������������≥2+aa1b3���3������+���3 a2b2+a3b1,其中j1,j2,j3是1,2,3的任一排列方式.上式当 且仅当a1=a2=a3(或b1=b2=b3)时取“=”号. 通常称a1b1+a2b2+a3b3为顺序和, a1������������1+a2������������2+a3������������3 为乱序和, a1b3+a2b2+a3b1为逆序和(倒序和).
探究一
探究二
思维辨析
解不妨设 a≥b≥c>0,则 a+b≥a+c≥b+c,
乱序和则是不按“常规”的顺序.
2.排序不等式中取等号的条件是a1=a2=…=an或b1=b2=…=bn,对 于我们解决某些问题是非常关键的,它是命题成立的一种条件,所
以要牢记.
【做一做】 已知两组数1,2,3和25,30,45,若c1,c2,c3是25,30,45的一
个排列,则c1+2c2+3c3的最大值是
证明设
a≥b≥c,则1������

1 ������

1������,bc≤ca≤ab,
由排序不等式,得������������������
+
������������ ������
+
������������ ������

������������ ������
+
������������ ������
证明设 b1,b2,…,bn-1 是 a1,a2,…,an-1 的一个排列,且
b1<b2<…<bn-1;c1,c2,…,cn-1 是 a2,a3,…,an 的一个排列,且
c1<c2<…<cn-1,则���1���1 > ���1���2>…>���������1���-1,且
b1≥1,b2≥2,…,bn-1≥n-1,c1≤2,c2≤3,…,cn-1≤n.
探究一
探究二
思维辨析
探究二 利用排序不等式求最值
【例
2】若
a,b,c
都是正数,试求������+������ ������
+
������ ������+������
+
������+������ ������的最小值.
分析利用排序不等式求解该式的最小值关键是找出两组有序数
组,然后根据逆序和≤乱序和≤顺序和求解最小值.
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