河南省开封市2022届高三二模理科数学试题 (2)

一、单选题
二、多选题
1. 在正三棱柱
中，
，点满足
，其中，
，则下列说法正确的是（ ）
①当
时，的周长为定值；
②当时，三棱锥
的体积为定值；
③当时，有且仅有一个点，使得；
④若
，则点的轨迹所围成的面积为.
A ．①②
B ．②③
C ．②④
D ．①③
2. 已知函数
的图像为
上连续不断的曲线，且
，
在
上单调递减．若
成
立，则实数m 的取值范围为（ ）
A
．
B
．C
．
D
．
3. 过双曲线
的左焦点且斜率为的直线分别交双曲线的渐近线于
两点，
在第二象限，在第一象限，
若
，则双曲线的离心率为（ ）
A
．
B ．2
C
．D
．
4. 已知复数满足
，则
（ ）
A
．
B
．
C
．
D ．125
5. 已知为虚数单位，复数
，则下列结论正确的是
A ．
的共轭复数为
B ．
的虚部为C ．在复平面内对应的点在第二象限
D
．
6. 在三棱锥
中，
，则三棱锥
外接球的体积为（ ）
A
．
B
．
C
．
D
．
7. “
”是“
”的 （ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
8. 直线倾斜角的取值范围为（ ）
A
．
B
．
C
．D
．
9. 函数
的部分图象如图中实线所示，为函数与
轴的交点，圆与
的图象交于
两点，且
在轴上，则（
）
A
．B
．圆的半径为C
．函数
的图象关于点
成中心对称
D ．函数
在
上单调递增
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河南省开封市2022届高三二模理科数学试题 (2)
三、填空题
四、解答题
10. 已知函数
（）有两个零点，分别记为，（）；对于
，存在
使
，则（ ）
A ．在上单调递增
B ．（其中
是自然对数的底数）
C
．D
．
11. 已知函数
在
上可导且，其导函数满足：
，则下列结论正确的是（ ）
A
．函数有且仅有两个零点B
．函数有且仅有三个零点C
．当时，不等式恒成立D ．
在
上的值域为
12. 已知抛物线
与圆
的公共点为A ，B ，点P 为圆C
的劣弧
上不同于A ，B 的一个动点，过点P 作垂直于x 轴
的直线l 交抛物线E 于点N ，则下列四个命题中正确的是（ ）
A
．
B ．点P
纵坐标的取值范围是
C ．点N 到圆心C 距离的最小值为1
D ．若l
不经过原点，则
周长的取值范围是
13.
已知圆
，点
，点为动点，以线段
为直径的圆内切于圆，则动点的轨迹方程是______．
14.
设曲线
在点处的切线为，
在点
处的切线为，若存在，使得
，则实数的取值范围是______.
15.
已知
为等腰直角三角形，，圆为的外接圆，
，则
___________；若P 为
圆M
上的动点，则
的最大值为___________．
16. 已知直三棱柱
的底面是等边三角形，，为
的中点.现将
沿
进行翻折，使得点
落在平面
内的点
处，如图
.
（1）求证：；（2）求直线
与平面
所成角的正弦值.
17. 文具盒里装有7支规格一致的圆珠笔，其中4支黑笔，3支红笔.某学校甲、乙、丙三位教师共需取出3支红笔批阅试卷，每次从文具盒中随
机取出一支笔，若取出的是红笔，则不放回；若取出的是黑笔，则放回文具盒，继续抽取，直至将3支红笔全部抽出.
(1)在第2次取出黑笔的前提下，求第1次取出红笔的概率；(2)抽取3
次后，记取出红笔的数量为，求随机变量的分布列；
(3)因学校临时工作安排，甲教师不再参与阅卷，记恰好在第n 次抽取中抽出第2支红笔的概率为
，求
的通项公式.
18.
如图所示，三棱柱
中，
底面
（1）求证：平面；
（2）已知且异面直线与所成的角为，求三棱柱的体积.
19. 设函数.
（1）若存在，使得，求实数的取值范围；
（2）若是（1）中的最大值，且正数，满足，证明：.
20. 已知函数（a为非零实数）.
(1)讨论函数的单调性；
(2)若有两个极值点，，且，求证：.
21. 已知函数．
(1)时，求函数在处的切线方程；
(2)讨论函数的单调性；
(3)证明不等式恒成立．。