2021届全国百强中学新高考原创预测试卷(一)文科数学

2021届全国百强中学新高考原创预测试卷（一）
文科数学
★祝考试顺利★
注意事项：
1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的。

1. 已知集合，{|(1)(5)0}B x x x =∈--<N ，则
A
B =（ ）
A ．{3}
B ．{2,3}
C ．{2,3,5}
D ．{1,1,5}-
1．【答案】D
【解析】{|(1)(5)0}{2,3,4}B x x x =∈--<=N ，所以{1,1,5}A
B =-，故选D ．
2.
12i
2i
+=-+（ ） A ．4
1i 5
-+
B ．4i 5
-+
C ．i -
D ．i
1．【答案】C
【解析】()()()()12i 2i 12i 5i
i 2i 2i 2i 5
+--+-===--+-+--，故选C ．
3.抛物线214
y x =
的焦点坐标为（ ） A ．(1,0) B ．(0,1) C ．1
016（，）
D ．116
（0，） B
4.若00x y >>，，则2x y +≤是22
4x y +≤的（ ）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】
首先判断当2x y +≤时，两边平方后能判断22
4x y +≤成立，反过来，判断是否成立，再
判断充分必要条件.
【详解】当2x y +≤时，且0,0x y >>
()2
22424x y x y xy ∴+≤⇒++≤， 22424x y xy ∴+≤-< ，
∴若00x y >>，， 2224x y x y +≤⇒+≤，
反过来，当x y ==
时，满足224x y +≤，当此时2x y +> ，
∴当00x y >>，，2242x y x y +≤⇒+≤/.
故选：A
5.若πsin 4α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，那么πcos 4α⎛⎫
+
⎪⎝⎭
的值为（ ）
A B ． C D ． 5．【答案】D
【解析】由题意可得πππππcos sin sin sin 42444αααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+
=-+=-=--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎝
⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故
俯视图
主视图
左视图
4 2
2 2
选D ．
6.已知椭圆22
221x y a b
+=（0a b >>）经过点2(1,)2，过顶点(,0)a ，(0,)b 的直线与圆2
2
2
3
x y +=
相切，则椭圆的方程为 （A ）22
12x y += （B ）223142x y += （C ）224133x y += （D ）228155
x y += A
7．设0.60.3a =，0.60.5b =，3
log 4
c π
π
=,则( )
A ．b a c >>
B ．a b c >>
C ．c b a >>
D ．c b a >> 【答案】A
8.我国古代木匠精于钻研，技艺精湛，常常设计出巧夺天工的建筑．在一
座宫殿中，有一件特别的“柱脚”的三视图如右图所示，则其体积为
A ．83
+4π
B ．8
3
+8π
C ．8+4π
D ．8+8π
C
9.函数ππ
()sin()(0,)22
f x A x ωϕωϕ=+>-<<的部分图象如图所示，则ϕ的值为（ ）
A ．π
6
-
B ．
π6
C ．π3
-
D ．
π3
9．【答案】D
【解析】由题可知函数()f x 的最小正周期ππ
2[()]π36
T =--=，从而2ππ||ω=， 又0ω>，解得2ω=，从而()sin(2)f x A x ϕ=+．
由π3x =
为函数()f x 的单调递减区间上的零点可知
2π
π2π3k ϕ+=+，k ∈Z ， 即π
2π3k ϕ=+，k ∈Z ，
又π||2ϕ<，所以π
3
ϕ=．
10.△ABC 的三内角A ，B ，C 所对边长分别是a ，b ，c ，设向量n ＝(3a ＋c ，sin B －sin A )，m ＝(a ＋b ，sin C )，若m ∥n ，则角B 的大小为（ ）
A ．π6
B ．5π6
C ．π3
D ．2π3
B
11.已知函数32(2),0
()11,024a x x ax a x f x x -⎧-+≤⎪
=⎨⎛⎫+>⎪ ⎪
⎝⎭
⎩若函数()f x 在R 上单调递增，则实数a 的取值范
围为（ ）
A. 30,4⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
B. 10,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦
C. [0，2）
D. 50,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦
【答案】D 【解析】 【分析】
由题得()f x 在R 上单调递增,故考虑(2)11
24a x
y -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭
在(0,)+∞上单调递增,32x ax a -+在(],0-∞上单调递增.且当0x =时,(2)11
24
a x
y -⎛⎫=+
⎪⎝⎭
的值大于等于32x ax a -+的值. 【详解】因为函数()f x 在R 上单调递增,首先
(2)11
24a x
y -⎛⎫=+
⎪
⎝⎭在(0,)+∞上单调递增,故
20a -<,则2a <①；其次32
y x ax a =-+在(],0-∞上单调递增,而
()23232y x ax x x a '=-=-,令0y '=,故0x =或23a x =
,故
203
a
≥,即0a ≥②；最后,当0x =时,54a ≤③；综合①②③,实数a 的取值范围为50,4⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
,
故选D ．
12.将函数()sin cos f x a x b x =+的图象向右平移
3
π
个单位长度得到()g x 的图象，若()g x 的对称中心为坐标原点，则关于函数()f x 有下述四个结论：
①()f x 的最小正周期为2π ②若()f x 的最大值为2，则1a = ③()f x 在[],ππ-有两个零点 ④()f x 在区间5,66ππ⎡⎤
-⎢⎥⎣
⎦上单调 其中所有正确结论的标号是（ ）
A. ①③④
B. ①②④
C. ②④
D. ①③
【答案】A
(
)(),tan b f x x a
ϕϕ=+=
将()f x 图像向右平移
3π单位长度可得(
)3g x x πϕ⎛⎫=+- ⎪⎝
⎭ 因为()g x 的对称中心为坐标原点,由正弦函数图像与性质可知()g x 过()0,0
即03πϕ⎛
⎫=
- ⎪⎝
⎭,可得
,3
k k Z
则(),tan tan ,333b f x x k k k Z a πππππ⎛⎫⎛⎫=+++==∈ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
对于①()f x 的最小正周期为221
T π
π==,所以①正确;
对于②若()f x
的最大值为2,
则2b a
=⎨=⎪⎩,解得1a =±,所以②错误
03x k π
π⎛⎫
+
+= ⎪⎝
⎭
,当[],x ππ∈-时,满足123
x k k π
ππ+
+=,12,k k Z ∈.解方程可得3
x π
=-
或23
x π
=
,所以③正确;
对于④, (),tan ,33b f x x k k Z a πππ⎛⎫
=
++=∈ ⎪⎝⎭
,则其一个单调递增区间为
,2
3
2
x k k Z π
π
π
π-
≤+
+≤
∈,解得5,66
k x k k Z ππ
ππ-
-≤≤-∈,当0k =时满足()f x 在区间5,66ππ⎡⎤
-
⎢⎥⎣
⎦上单调,所以④正确. 综上可知,正确的为①③④ 故选:A
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.设x，y满足约束条件
220
10
240
x y
x y
x y
+-≥
-
⎧
+≥
--≤
⎪
⎨
⎪
⎩
，则2
z x y
=+
的最大值是
13.【解析】由题可知，再画出约束条件所表示的可行域，如图所示，
结合图象可知当:20
l x y
+=平移到过点A时，目标函数取得最大值，
又由
10
240
x y
x y
-+=
--=
⎧
⎨
⎩
，解得()
5,6
A，此时目标函数的最大值为
max
16
z=。

14.已知双曲线
22
1(0)
4
x y
m
m
-=>3，则其渐近线方程为__________.
【答案】2
y x
=
【解析】
分析：离心率公式计算可得m，再由渐近线方程即可得到所求方程.
解析：双曲线
22
1(0)
4
x y
m
m
-=>32,4
b c m
==+
∴由题意可得
4
3
c m
e
a m
+
===
∴解得2
m=.
∴双曲线方程为
22
1
24
x y
-=.
∴渐近线方程为2
y x
=.
故答案为2
y x
=.
15.设函数32
()(1)
f x x ax a x
=++-，若()
f x为奇函数，则曲线()
y f x
=的图象在点(0,0)处的切线方程为__________．
15．【答案】y x =-
【解析】函数3
2
()(1)f x x ax a x =++-，
若()f x 为奇函数，则()()0f x f x +-=，可得0a =， 所以3
()f x x x =-，则2
()31f x x '=-，
曲线()y f x =图象在点(0,0)处的切线斜率为(0)1f '=-， 所以切线方程为0(0)y x -=--，整理得y x =-．
16.在三棱锥P ABC -中，底面ABC 是以AC 为斜边的等腰直角三角形，PA PB PC ==，当其外接球的表面积为25
2
π，且P 点到底面ABC 的距离为AC 时，则侧面PAC 的面积为__________. 【答案】4 【解析】 【分析】
设P 点在底面ABC 上的射影为D ，根据题意可知D 点为ABC 的外心，并且为斜边AC
的中点，设AB BC a ==，则PD AC ==
，设外接球的半径为R ，由题设知，
2
254
2R ππ=，则 R =()2
22
2AC R PD R ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭
，代入数据解得2a =，进而求出侧面PAC 的面积.
【详解】解：设P 点在底面ABC 上的射影为D ，
PA PB PC ==，∴DA DB DC ==，
则D 点为ABC 的外心，
又底面ABC 是以AC 为斜边的等腰直角三角形，
∴D 点为斜边AC 的中点，
设AB BC a ==，则PD AC ==，
设外接球的半径为R ， 由题设知，2
25
4
2
R ππ=
，∴R =，
设球心为O ，则O 在PD 上，
∴()2
2
22AC R PD R ⎛⎫=+- ⎪
⎝⎭
， 即2
2
2
2222222a a ⎛⎫⎛
=+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭⎝⎭ 解得，2a =，
∴侧面PAC 的面积是11
2222422
AC P S D =
⋅⋅=⨯⨯=. 故答案为：4.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第17~21题为必考题，
每个试题考生都必须作答。

第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

17.（12分）已知数列{n a }中,n a ,b n a ,a a n n n n +=-+==+12111. （1）求证：数列{n b }是等比数列; （2）求数列{n a }的前n 项和n S .
17.（1）证明:因为n,a ,b n a a n n n n +=-+=+121
所以,b n a n n a n a b n n n n n 2)(2)1(12)1(11=+=++-+=++=++…………4分
又因为，a b 02111≠=+=则
.b b n
n 21
=+，……………………………………5分 所以数列{n b }是首项为2,公比为2的等比数列. …………………………6分
（2）由(Ⅰ)知,b n a n
n n 2==+所以n,a n
n -=2……………………………7分
所以23
21(22)(23)(2)n n S n =
-+-+-++-（）
2
3
2222123n n =
++++-+++
+（）（）……………………………9分
2)1(21)21(2n n n +---=………………………………………………………11分 1(1)
222
n n n ++=-
- …………………………………………………………12分 18.（12分）
第十三届全国人大第二次会议于2019年3月5日在北京开幕．为广泛了解民意，某人大代表利用网站进行民意调查．数据调查显示，民生问题是百姓最为关心的热点，参与调查者中关注此问题的约占80%．现从参与调查者中随机选出200人，并将这200人按年龄分组，第1组[1525)，，第2组[2535)，
，第3组[3545)，，第4组[4555)，，第5组[5565)，，得到的频率分布直方图如上图所示．
（1）求a ；
（2）现在要从年龄较小的第1组和第2组中用分层抽样的方法抽取5人，并再从这5人中随机抽取2人接受现场访谈，求这两人恰好属于不同组别的概率；
（3）把年龄在第1，2，3组的居民称为青少年组，年龄在第4，5组的居民称为中老年组，若选出的200人中不关注民生问题的中老年人有10人，问是否有99%的把握认为是否关注民生与年龄有关？
附：
2
()()()()
K a b c d a c b d =
++++，n =a +b +c +d ． 18．解：（1）∵ 0.010×10+0.015×10+0.030×10+a ×10+0.010×10=1，
∴ a =0.035．…………………………………………………………………………… 3分 （2）由题意可知从第1A 1，A 2，
从第2B 1，B 2，B 3．……………………5分
从这5人中随机抽取2人的所有情况有：(A 1，A 2)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，B 3)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2
)，(A 2，B 3)，(B 1，B 2)，(B 1，B 3)，(B 2，B 3)，共10种．
这两人恰好属于不同组别有(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，B 3)，(
A 2，
B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，B 3)，共6种． ∴ 所求的概率为P 8分 （3）选出的200人中，各组的人数分别为：
第1组：200×0.010×10=20人，第2组：200×0.015×10=30人，
)
第3组：200×0.035×10=70人，第4组：200×0.030×10=60人， 第5组：2000.010×10=20人，
∴ 青少年组有20+30+70=120人，中老年组有200-120=80人，
∵ 参与调查者中关注此问题的约占80%，即有200×(1-80%)=40人不关心民生问题， ∴ 选出的200人中不关注民生问题的青少年有30人． 于是得2×2列联表：
关注民生问题
不关注民生问题
合计 青少年 90 30 120 中老年 70 10 80 合计
160
40
200
10分
∴ 22
200(90107030) 4.68751604080120
K ⨯⨯-⨯==⨯⨯⨯<6.635，
∴ 没有99%的把握认为是否关注民生与年龄有关．…………………………………12分 19.（12分）如图，在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝1
2
AA 1=1， D 是棱AA 1的中点．
（1）证明：DC 1⊥平面BDC ；
（2）求点C 到平面BDC 1的距离．
19.解:（Ⅰ）证明：【法1】由题意知BC ⊥CC 1，BC ⊥AC ，CC 1∩AC ＝C ，
∴BC ⊥平面ACC 1A 1，又DC 1⊂平面ACC 1A 1，∴DC 1⊥BC ． ……3分 由题设知∠A 1DC 1＝∠ADC ＝45°，∴∠CDC 1＝90°，即DC 1⊥DC ，
又DC ∩BC ＝C ，∴DC 1⊥平面BDC . ……6分 【法2】在直三棱柱中，平面1ABC AC ACB=90A C ⊥∠平面且交于，，
则1BC A C.
⊥平面
又11DC AC ⊆平面，所以1BC DC ⊥. ……3分 在1C DC ∆中，112,2,DC DC CC === 22211DC DC CC +=，所以DC 1⊥DC . 又DC ∩BC ＝C ，∴DC 1⊥平面BDC ， ……6分 （Ⅱ）设点C 到平面1BDC 的距离为x ，则x 即以C 为顶点、1BDC ∆为底的三棱锥的高. 由（Ⅰ）知，1BC A C ⊥平面，BC 是此三棱锥的高.1CDC ∆为直角三角形，
1111221,22CDC S DC DC ∆=⨯=⨯⨯=111
1133B CDC V -=⨯⨯=. ……9分
易知BCD ∆是直角三角形且5BD =，又22115,BC BC CC =+=
所以1BDC ∆是直角三角形，1122
BDC S ∆==
11C BDC B CDC V V --=，11,3233
x x ∴⨯=∴=
所以点C 到平面1BDC
…12分
20.（12分）已知圆()2
2
1
:116F x y +-=
，动圆M 与圆F 外切，且与直线34
y =-相切，该动圆圆心M 的轨迹为曲线C . （1）求曲线C 的方程
（2）过点F 的直线与抛物线相交于,A B 两点，抛物线在点A 的切线与1y =-交于点N ，求
ABN ∆面积的最小值.
【答案】（1）2
4x y =；（2）4.
【详解】（1）设(),M x y ，动圆半径为r ，因为动圆M 与圆()2
2
1
:116
F x y +-=
外切， 所以14
=+
MF r ， 又动圆M 与直线34
y =-
相切，所以由题意可得：3
4+=y r ，
即1=+MF y ，即()()2
2
211+-=+x y y ，整理得：2
4x y =；
所以抛物线C 的方程为2
4x y =.......................................5分 （2）设()()1122,,,A x y B x y ，依题意可知，直线l 的斜率存在， 故设直线l 的方程为：1y kx =+，
联立24,1,
x y y kx ⎧=⎨=+⎩消去y 可得，2440x kx --=.
则12124,4x x k x x +==-..........................................6分
所以12AB x =-=
()
241k ==+....................................................................7分
由24
x y =，得2x y '
=，
所以过A 点的切线方程为()1112x y y x x -=-， 又2
114
x y =，............8分
所以切线方程可化为21124
x x y x =⋅-.令1y =-，可得2
11111
14222
x y x k x x --=
=⋅=, 所以点()2,1N k -,.................................................9分 所以点N 到直线l
的距离d ==， ......................10分
所以
1
42
∆=
⋅=≥ABN S AB d ，当0k =时，等号成立 .......11分
所以ABN ∆面积的最小值为4.......................................12分 21．（12分)已知函数()(1)2ln f x a x x =-+(a ∈R )在定义域上满足()f x ≤0恒成立．
（1）求实数a 的值； （2）令()()f x ax
g x x x a
+=⋅
-在()a +∞，上的最小值为m ，求证：11()10f m -<<-．
21．解：（1）()f x 的定义域为(0)+∞，，且22()ax
f x a x x
-'=
-=
， …………………1分 当a ≤0时，()f x '>0，故()f x 在(0)+∞，上单调递增，
由于(1)=0f ，所以当1x >时，()(1)0f x f >=，不合题意．………………………2分
当0a >时，2
()
()a x a f x x
--'=
， ∴ 当20x a <<
时，()0f x '>；当2
x a
>时，()0f x '<， 所以()f x 在2
(0)a ，上单调递增，()f x 在2()a +∞，上单调递减，
即max 2
()()f x f a
=22ln22ln a a =-+-．
所以要使()f x ≤0在(0)+∞，时恒成立，则只需max ()f x ≤0，
亦即22ln22ln a a -+-≤0．…………………………………………………………3分 令()22ln 22ln a a a ϕ=-+-，则22
()1a a a a
ϕ-'=-
=
， ∴ 当02a <<时，()0a ϕ'<；当2a >时，()0a ϕ'>， 即()a ϕ在(02)，上单调递减，在(2)+∞，上单调递增．
又(2)0ϕ=，所以满足条件的a 只有2，即2a =．…………………………………5分
（2）由（1）知a =2，()222ln f x x x =-+， ∴ ()()f x ax g x x x a +=⋅-22ln (2)2
x x x
x x +=>-，
于是2
2(2ln 4)
()(2)
x x g x x --'=
-．…………………………………………………………6分 令()2ln 4s x x x =--，则22
()1x s x x x
-'=-
=
， 由于2x >，所以()0s x '>，即()s x 在(2)+∞，上单调递增； 又(8)0s <，(9)0s >，
∴ 0(89)x ∃∈，，使得0()0s x =，即002ln 4x x =-， 且当02x x <<时，()0s x <；当0x x >时，()0s x >， 即()g x 在0(2)x ，上单调递减；在0()x +∞，上单调递增． ∴ min
0()()g x g x =000022ln 2
x x x x +=
-2
00
0022x x x x -==-．……………………………10 分 即0m x =，
∴ 0()()f m f x =000222ln 2(1110)x x x =-+=--∈--，，
即11()10f m -<<-．…………………………………………………………………12分（二）选考题：共10分。

请考生在第22、23题中任选一题作答。

如果多做，则按所做的第一题计分。

22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
已知曲线C 的参数方程为2cos sin x y α
α=⎧⎨=⎩
（α为参数），以平面直角坐标系的原点O 为极点，
x 的正半轴为极轴建立极坐标系．
（1）求曲线C 的极坐标方程；
（2）P ，Q 是曲线C 上两点，若OP OQ ⊥，求
222
2
OP OQ OP OQ
⋅+的值．
【详解】（1）由2cos sin x y αα
=⎧⎨=⎩（α为参数），得曲线的普通方程为2
214x
y +=,
将cos x ρθ=，sin y ρθ=代入，得2
2
2
2
4sin cos 4ρθρθ+=,
即2
243sin 1
ρθ=
+,
所以曲线C 的极坐标方程为2
2
43sin 1
ρθ=
+.
（2）由（1）知221
31sin 44
θρ=+, 设点P 的极坐标为()1,ρθ，
因为OP OQ ⊥，则点Q 的极坐标为2π,2ρθ⎛
⎫±
⎪⎝
⎭
, 所以2222
2222
1211
1111OP OQ OP OQ OP OQ ρρ⋅==
+++ 221
14313131
5sin cos 4444
42
θθ=
=
=++++．
23.[选修4-5：不等式选讲]（10分） 已知正实数a ，b 满足3a b +=． （1
（2）若不等式14
21x m x a b
+--≤+对任意x ∈R 恒成立，求m 的取值范围． 【详解】（1
）因为
2
()(
)2121a b =++++
()()()()()212121214116a b a b a b ≤+++++++=++=，当且仅当3
2
a b ==时取等号．
4．
（2）因为(
)14114141553333b a a b a b a b a b ⎛⎛⎫⎛
⎫+=++=++≥+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝， 当且仅当43
b a
a b a b ⎧=
⎪⎨⎪+=⎩，即1a =，2b =取等号，
所以
14
a b
+的最小值为3, 又|21||21||21|x m x x m x m +--≤+-+=+, 所以21|21|x m x m +--≤+,
所以不等式14
21x m x a b
+--≤
+对任意x ∈R 恒成立，只需|21|3m +≤, 所以3213m -≤+≤,解得21m -≤≤, 即实数m 的取值范围是[]2,1-.。