人教a版数学高一必修4(45分钟课时作业与单元测试卷)：第16课时_三角函数模型的简单应用

第16课时 三角函数模型的简单应用
课时目标
1.能运用三角函数模型解决一些具有周期性变化规律的问题． 2
识记强化
(1)根据图象建立解析式； (2)根据解析式画图象；
(3)将实际问题转化为与三角函数有关的简单函数模型；
(4)利用收集到的相关数据作散点图进行函数拟合，从而得到三角函数模型．
课时作业
一、选择题
1．某人的血压满足函数式f (t )＝24sin(160πt )＋110，其中f (t )为血压，t 为时间，则此人每分钟心跳的次数为( )
A ．60
B ．70
C ．80
D ．90 答案：C
解析：由于ω＝160π，故函数的周期T ＝2π160π＝180，所以f ＝1
T
＝80，即每分钟心跳的次数为80.故选C.
2．单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置的距离S cm 和时间t s 的函数关系为S ＝8sin ⎝
⎛⎭⎫2πt ＋π
3，那么单摆来回摆动一次所需的时间为( )
A ．2πs
B ．πs
C ．0.5 s
D ．1 s 答案：D
解析：因为ω＝2π，所以T ＝2π
ω
＝1.
3．水平地面上发射的炮弹，初速度大小为v 0，发射角为θ，重力加速度为g ，则炮弹上升的高度y 与飞行时间t 之间的关系式为( )
A ．y ＝v 0t
B ．y ＝v 0sin θt －1
2
gt 2
C ．y ＝v 0sin θt
D ．y ＝v 0cos θt 答案：B
解析：竖直方向的分速度v 0sin θ，由竖直上抛运动的位移公式y ＝v 0sin θt －1
2
gt 2，故选B.
4．单位圆上有两个动点M 、N ，同时从P (1,0)点出发，沿圆周转动，M 点按逆时针方向转，速度为π
6
rad/s ，
N 点按顺时针方向转，速度为π
3
rad/s ，则它们出发后第三次相遇时各自走过的弧度数分别为( )
A ．π，2π
B ．π，4π
C ．2π，4π
D ．4π，8π 答案：C
解析：设M 、N 两点走过的弧长分别为l 1和l 2，自出发至第三次相遇，经过t 秒，则l 1＝π6t ，l 2＝π
3
t .
∴π6t ＋π
3t ＝6π，∴t ＝12，∴l 1＝2π，l 2＝4π. 5．如图为2015年某市某天中6 h 至14 h 的温度变化曲线，其近似满足函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋bA >0，ω>0，
π
2
<φ<π的半个周期的图象，则该天8 h 的温度大约为( )
A ．16 ℃
B ．15 ℃
C ．14 ℃
D ．13 ℃ 答案：D
解析：由题意得A ＝12×(30－10)＝10，b ＝12×(30＋10)＝20.∵2×(14－6)＝16，∴2πω＝16，∴ω＝π
8
，∴
y ＝10sin ⎝⎛⎭⎫π8x ＋φ＋20，将x ＝6，y ＝10代入得10sin ⎝⎛⎭⎫π8×6＋φ＋20＝10，即sin ⎝⎛⎭⎫3π4＋φ＝－1，由于π
2
<φ<π，可得φ＝3π
4
，∴y ＝10sin ⎝⎛⎭⎫π8x ＋3π4＋20，x ∈[6,14]．当x ＝8时，y ＝10sin ⎝⎛⎭⎫π8×8＋34π＋20＝20－52≈13，即该天8 h 的温度大约为13 ℃，故选D.
6．一根长l 厘米的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，小球摆动时，离开平衡位置的位移s (厘米)和
时间t (秒)的函数关系是：s ＝3cos ⎝
⎛⎭⎫
g l t ＋π3.已知g ＝980厘米/秒，要使小球摆动的周期是1秒，线的长度
应当是( )
A.980πcm
B.245πcm
C.245π2cm
D.980π2cm 答案：C
解析：由周期T ＝2πω＝2π/
g
l
＝2πl g ，所以小球的摆动周期T ＝2π l g .
由l ＝g ⎝⎛⎭⎫T 2π2
，代入π＝3.14，g ＝980，T ＝1，得l ＝980⎝⎛⎭⎫12π2＝245π2
cm. 二、填空题
7．电流I (mA)随时间t (s)变化的函数关系是I ＝3sin100πt ＋π
3
，则电流I 变化的最小正周期、频率和振幅
分别为______，______，______.
答案：1
50
50 3
解析：最小正周期T ＝2π100π＝150；频率f ＝1
T
＝50；振幅A ＝3.
8．据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上，按月呈f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋
B (
A >0，ω>0，
⎭⎫|φ|<π
2的模型波动(x 为月份)．已知3月份达到最高价9千元，7月份价格最低为5千元．根据以上条件可确定f (x )的解析式为________．
答案：f (x )＝2sin ⎝
⎛⎭⎫
π4x －π4＋7(1≤x ≤12，x ∈N *) 解析：由题意，可得A ＝9－5
2
＝2，B ＝7，
周期T ＝2πω＝2×(7－3)＝8，∴ω＝π
4
.
∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4x ＋φ＋7.
∵当x ＝3时，y ＝9，∴2sin ⎝⎛⎭
⎫3π
4＋φ＋7＝9. 即sin ⎝⎛⎭⎫3π4＋φ＝1.
∵|φ|<π2，∴φ＝－π4
.
∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭
⎫
π4x －π4＋7(1≤x ≤12，x ∈N *)．
9．如图为一个缆车示意图，该缆车半径为4.8 m ，圆上最低点与地面距离为0.8 m,60秒转动一圈，图中OA 与地面垂直，以OA 为始边，逆时针转动θ角到OB ，设B 点与地面距离是h ，则h 与θ间的函数关系式为______________________．
答案：h ＝5.6＋4.8sin ⎝⎛⎭
⎫θ－π2 解析：
以O 为原点建立坐标系，如右图，
则以Ox 为始边，OB 为终边的角为θ－π
2
，
故点B 的坐标为
⎝⎛⎭
⎫4.8cos ⎝⎛⎭⎫θ－π2，4.8sin ⎝⎛⎭⎫θ－π2. ∴h ＝5.6＋4.8sin ⎝⎛⎭
⎫θ－π2. 三、解答题
10．交流电的电压E (单位：V)随时间t (单位：s)变化的关系式是E ＝
2203sin ⎝
⎛⎭⎫100πt ＋π
6，t ∈[0，＋∞)． (1)求开始时(t ＝0)的电压；
(2)求电压的最大值和首次达到最大值的时间； (3)求电压的最大值重复出现一次的时间间隔．
解：(1)当t ＝0时，E ＝2203×sin π
6
＝1103，即开始时的电压为110 3 V .
(2)电压的最大值为220 3 V.
当100πt ＋π6＝π2时，t ＝1300，即电压首次达到最大值的时间为1
300 s.
(3)T ＝2π100π＝150，即电压的最大值重复出现一次的时间间隔为1
50
s.
11．电流强度I (A)随时间t (s)变化的关系式是I ＝A sin(ωt ＋φ)A >0，ω>0，|φ|<π2
.
(1)若I ＝A sin(ωt ＋φ)在一个周期内的图象如图所示，试根据图象写出I ＝A sin(ωt ＋φ)的解析式；
(2)为了使I ＝A sin(ωt ＋φ)中的t 在任意一个1
100
s 的时间段内电流强度I 能取得最大值与最小值，那么
正整数ω的最小值是多少？
解：(1)由图，可知A ＝300.
设t 0＝－1300，t 1＝1150，t 2＝160.∵T ＝t 2－t 0＝160－⎝⎛⎭⎫－1300＝150，∴ω＝2π
T ＝100π，∴I ＝300sin(100πt ＋φ)．
将⎝⎛⎭⎫－1300，0代入解析式，得－π
3＋φ＝2k π，k ∈Z ， ∴φ＝π
3
＋2k π，k ∈Z .
∵|φ|<π2，∴φ＝π
3
，∴I ＝300sin ⎝⎛⎭⎫100πt ＋π3. (2)由题意，知2πω≤1
100
，∴ω≥200π，
∴正整数ω的最小值为629.
能力提升
12．如图，设点A 是单位圆上的一定点，动点P 从点A 出发在圆上按逆时针方向旋转一周，点P 所旋
转过的弧»
AP 的长为l ，弦AB 的长为d ，则函数d ＝f (l )的图象大致是( )
答案：C
解析：令»AP 所对的圆心角为θ，由|OA |＝1，得l ＝θ. 又∵sin θ2＝d 2，∴d ＝2sin θ2＝2sin l
2
.
∴d ＝f (l )＝2sin l
2
(0≤l ≤2π)，它的图象为C.
13．节能环保日益受到人们的重视，水污染治理也已成为“十三五”规划的重要议题．某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD 的两个顶点A 、B 及CD 的中点P 处，AB ＝30 km ，BC ＝15 km ，为了处理三家工厂的污水，现要在该矩形区域上(含边界)，且与A 、B 等距离的一点O 处，建造一个污水处理厂，并铺设三条排污管道AO 、BO 、PO .设∠BAO ＝x (弧度)，排污管道的总长度为y km.
(1)将y 表示为x 的函数；
(2)试确定O 点的位置，使铺设的排污管道的总长度最短，并求总长度的最短公里数(精确到0.01 km)． 分析：(1)直接由已知条件求出AO 、BO 、OP 的长度，即可得到所求函数关系式；
(2)记p ＝2－sin x
cos x
，则sin x ＋p cos x ＝2，求出p 的范围，即可得出结论．
解：(1)由已知得y ＝2×15
cos x
＋15－15tan x ，
即y ＝15＋15×2－sin x cos x (其中0≤x ≤π
4
)
(2)记p ＝2－sin x cos x ，则sin x ＋p cos x ＝2，则有⎪⎪⎪⎪⎪⎪21＋p 2≤1，
解得p ≥3或p ≤－ 3
由于y >0，所以，当x ＝π6，即点O 在CD 中垂线上离点P 距离为⎝
⎛⎭⎫
15－1533 km 处，y 取得最小值15
＋153≈40.98 km.。