高考数学(全国用文科)一轮专题练习：专题5 平面向量 第31练 Word版含解析

1．若向量AB →＝(2,4)，AC →＝(1,3)，则BC →
等于() A ．(1,1) B ．(－1，－1) C ．(3,7) D ．(－3，－7)
2．(2017·深圳调研)设a 、b 都是非零向量，下列四个条件中，使a |a|＝b
|b|成立的充要条件是()
A ．a ＝－b
B ．a ∥b 且方向相同
C ．a ＝2b
D ．a ∥b 且|a |＝|b |
3．(2016·山西大学附中期中)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(－3,2)，若(k a ＋b )∥(a －3b )，则实数k 的值为() A ．－13B.13
C ．－3
D ．3
4．(2016·哈尔滨三模)已知O
为正三角形ABC 内一点，且满足OA →＋λOB →＋(1＋λ)OC →
＝0，若△OAB 的面积与△OAC 的面积比值为3，则λ的值为() A.1
2
B ．1
C ．2
D ．3
5.如图，在△ABC 中，AD →＝23AC →，BP →＝13BD →，若AP →＝λAB →＋μAC →
，则λμ
的值为()
A ．－3
B ．3
C ．2
D ．－2
6．(2016·邢台期中)已知|OA →|＝1，|OB →|＝3，OA →·OB →
＝0，点C 在∠AOB 内，且∠AOC ＝30°，设OC →＝mOA →＋nOB →
(m ，n ∈R )，则m n 等于()
A.1
3B ．3 C.3
3
D. 3 7．(2016·衡水期中)已知O 是△ABC 所在平面上一点，满足|OA →|2＋|BC →|2＝|OB →|2＋|CA →
|2，则点O ()
A ．在与边A
B 垂直的直线上 B ．在∠A 的平分线所在直线上
C ．在边AB 的中线所在直线上
D ．以上都不对
8．(2016·南安期中)如图，在△ABC 中，点D 在线段BC 上，且满足BD ＝12DC ，过点D 的
直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M ，N ，若AM →＝mAB →，AN →＝nAC →
，则()
A ．m ＋n 是定值，定值为2
B ．2m ＋n 是定值，定值为3 C.1m ＋1n 是定值，定值为2D.2m ＋1
n 是定值，定值为3 二、填空题
9．P ＝{a|a ＝(－1,1)＋m (1,2)，m ∈R }，Q ＝{b|b ＝(1，－2)＋n (2,3)，n ∈R }是两个向量集合，则P ∩Q ＝______________.
10．已知向量OA →＝(1，－3)，OB →＝(2，－1)，OC →
＝(k ＋1，k －2)，若A ，B ，C 三点不能构成三角形，则实数k 应满足的条件是__________．
11．(2016·厦门适应性考试)如图，在△ABC 中，AD →·BC →＝0，BC →＝3BD →
，过点D 的直线分别
交直线AB ，AC 于点M ，N .若AM →＝λAB →，AN →＝μAC →
(λ>0，μ>0)，则λ＋2μ的最小值是______．
12.(2016·沈阳期中)在直角梯形ABCD 中，AB ⊥AD ，DC ∥AB ，AD ＝DC ＝1，AB ＝2，E 、F 分别为AB 、BC 的中点，点P 在以A 为圆心，AD 为半径的圆弧DE 上变动(如图所示)．若AP →＝λED →＋μAF →
，其中λ，μ∈R ，则2λ－μ的取值范围是______________.
答案精析
1．B[由题意，向量BC →＝AC →－AB →
＝(1,3)－(2,4)＝(－1，－1)，故选B.] 2．B[非零向量a 、b 使a |a|＝b |b|成立⇔a ＝|a|
|b|b ⇔a 与b 共线且方向相同，
故选B.]
3．A[由a ＝(1,2)，b ＝(－3,2)，得k a ＋b ＝k (1,2)＋(－3,2)＝(k －3,2k ＋2)，a －3b ＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)，则由(k a ＋b )∥(a －3b )，得(k －3)×(－4)－10×(2k ＋2)＝0，所以k ＝－1
3.
故选A.]
4．A[设AC 、BC 边的中点为E 、F ，则由OA →＋λOB →＋(1＋λ)OC →＝0，得OE →＋λOF →
＝0， ∴点O 在中位线EF 上．∵△OAB 的面积与△OAC 的面积比值为3，∴点O 为EF 上靠近E 的三等分点，∴λ＝1
2
.]
5．B[∵AP →＝AB →＋BP →，BP →＝13BD →
＝13(AD →－AB →)＝13AD →－13AB → ＝13×23AC →－13AB →＝29AC →－13AB →， ∴AP →＝AB →＋29AC →－13AB →＝23AB →＋29
AC →.
又AP →＝λAB →＋μAC →，
∴λ＝23，μ＝29，∴λμ＝23×92＝3.
故选B.]
6．B[令OA →方向上的单位向量为e 1，OB →方向上的单位向量为e 2，则OC →＝mOA →＋nOB →
＝m e 1＋3n e 2，由OA →·OB →＝0，可知OA →⊥OB →
且∠AOC ＝30°，则tan ∠AOC ＝3n m ＝tan 30°＝33⇒
m n ＝3.]
7．A[设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →
＝c ，
则BC →＝OC →－OB →＝c －b ，CA →＝OA →－OC →
＝a －c . 由|OA →|2＋|BC →|2＝|OB →|2＋|CA →|2， 得|a |2＋|c －b |2＝|b |2＋|a －c |2， 化简可得b·c ＝a·c ，即(b －a )·c ＝0， ∴AB →⊥OC →
，∴AB ⊥OC .故选A.]
8．D[方法一 过点C 作CE 平行于MN 交AB 于点E .
由AN →＝nAC →
可得AC AN ＝1n ，
∴
AE EM ＝AC CN ＝1n －1
， 由BD ＝12DC 可得BM ME ＝1
2，
∴AM AB ＝n n ＋
n －12＝2n
3n －1
， ∵AM →＝mAB →
，∴m ＝2n 3n －1，
整理可得2m ＋
1
n
＝3.
方法二 ∵M ，D ，N 三点共线， ∴AD →＝λAM →＋(1－λ)AN →. 又AM →＝mAB →，AN →＝nAC →， ∴AD →＝λm AB →＋(1－λ)nAC →.① 又BD →＝12
DC →，
∴AD →－AB →＝12AC →－12AD →，
∴AD →＝13AC →＋23AB →
.②
由①②知λm ＝23，(1－λ)n ＝1
3.
∴2m ＋1
n ＝3，故选D.] 9．{(－13，－23)}
解析 P 中，a ＝(－1＋m,1＋2m )， Q 中，b ＝(1＋2n ，－2＋3n )．
则⎩⎪⎨⎪⎧ －1＋m ＝1＋2n ，1＋2m ＝－2＋3n ，解得⎩⎪⎨⎪⎧
m ＝－12，n ＝－7.
此时a ＝b ＝(－13，－23)． 10．k ＝1
解析 若点A ，B ，C 不能构成三角形，则向量AB →，AC →共线，因为AB →＝OB →－OA →
＝(2，－1)－(1，－3)＝(1,2)，AC →＝OC →－OA →
＝(k ＋1，k －2)－(1，－3)＝(k ，k ＋1)，所以1×(k ＋1)－2k ＝0，解得k ＝1. 11.83
解析 AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋13(AC →－AB →)＝23AB →＋13AC →
.
设AD →＝xAM →＋yAN →
(x ＋y ＝1)， 则AD →＝xλAB →＋yμAC →，
则⎩⎨⎧
xλ＝23
，
yμ＝1
3，
即⎩⎨⎧
λ＝23x
，μ＝1
3y ，
故λ＋2μ＝23⎝⎛⎭⎫1x ＋1y ＝23⎝⎛⎭⎫1＋y x ＋x y ＋1≥23⎝⎛⎭⎫2＋2 y x ·x y ＝83
. 当且仅当x ＝y ＝1
2时，等号成立．
12．[－1,1]
解析 建立如图所示的直角坐标系，设∠P AE ＝α，则A (0,0)，E (1,0)，D (0,1)，
F (1.5,0.5)，P (cos α，sin α)(0°≤α≤90°)． ∵AP →＝λED →＋μAF →，
∴(cos α，sin α)＝λ(－1,1)＋μ(1.5,0.5)， ∴cos α＝－λ＋1.5μ，sin α＝λ＋0.5μ， ∴λ＝1
4(3sin α－cos α)，
μ＝1
2
(cos α＋sin α)， ∴2λ－μ＝sin α－cos α＝2sin(α－45°)． ∵0°≤α≤90°，∴－45°≤α－45°≤45°， ∴－
22≤sin(α－45°)≤2
2
， ∴－1≤2sin(α－45°)≤1. ∴2λ－μ的取值范围是[－1,1]．。