2020-2021学年高二数学人教A版选择性必修第二册单元测试AB卷 第五章 一元函数的导数及其应用

2020-2021学年高二数学人教A 版（2019）选择性必修第二册
单元测试AB 卷 第五章 一元函数的导数及其应用
A 卷 夯实基础
1.已知函数()2ln f x x ax a =-+，若对任意的1x ≥，都有()0f x ≤，则实数a 的取值范围是( ) A.(0)1,
B.
)1+∞［, C.(0)+∞, D.
)2+∞［, 2.已知函数2()ln f x a x bx =-，,a b R ∈.若不等式()f x x ≥对所有的(,0]b ∈-∞，
2(,]x e e ∈
都成立，则a 的取值范围是（ ） A ．[,)e +∞
B ．2[,)2e +∞ C. 22
[,)2
e e
D ．2[,)e +∞
3.对于函数()f x ,把满足00()f x x =的实数0x 叫做函数()f x 的不动点,设()ln f x a x =,若()f x 有两个不动点,则实数a 的取值范围是( )
A.(0,e)
B.(e,)+∞
C.(1,)+∞
D.(1,e)
4.已知函数()1()ln 11
4f x x a x ⎛
⎝
=--≥，若()0f x ≥恒成立，则参数a 的取值范围是( ) A.1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦ B.1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ C.1,2⎛⎤-+∞ ⎥⎝⎦ D.1,2⎛⎤
+∞ ⎥⎝⎦
5.已知函数 ()(1)e ln x f x x a x =--在1
[,3]2
上单调递减，则a 的取值范围是（ ）
A ．)3
9,e ⎡+∞⎣
B ．(3,9e ⎤-∞⎦
C ．)2
4,e ⎡+∞⎣
D ．(2,4e ⎤-∞⎦
6.设函数()32f x ax bx cx =++(0)a b c a ∈≠R ,,,，若不等式()()5xf x af x '-≤对x ∀∈R 恒成立，则
2b c
a -的取值范围为( ) A.5,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ B.1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
C.5,3⎡⎫
-+∞⎪⎢⎣⎭ D.1,3⎡⎫
-+∞⎪⎢⎣⎭
7.已知函数()321
13
(1)f x x ax ax a =-++≤在()1212,x x x x ≠处的导数相等，则不等式
()12f x x m +≥恒成立时m 的取值范围为( )
A.(],1-∞-
B.(],0-∞
C.(],1-∞
D.4,3⎛
⎤-∞ ⎥⎝
⎦
8.设曲线x y ax e =-在点()0,1-处的切线方程为10x y --=,则实数a =( ) A.1
B.2
C.-1
D.-2
9.已知函数()321
13
(1)f x x ax ax a =-++≤在1221,()x x x x ≠处的导数相等，则不等式
()12f x m x +≥恒成立时m 的取值范围为( )
A.(],1-∞-
B.(],0-∞
C.(],1-∞
D.4,3⎛
⎤-∞ ⎥⎝
⎦
10.设函数()πx f x m
=.若存在()f x 的极值点0x 满足()222
00x f x m +<⎡⎤⎣⎦，则m 的取值范围是（ ） A. ()(),66,-∞-∞
B. ()(),44,-∞-∞
C. ()
(),22,-∞-∞
D. ()(),14,-∞-∞
11.函数()()14πin f x x a cosx ⎛
⎫=-+- ⎪⎝
⎭在π2x =处的切线与直线10x y -+=垂直，则该切
线在y 轴上的截距为______．
12.函数()ln 1f x x x =+在点()e,e 1+处的切线方程为________________． 13.曲线()ln f x x x x =+在点1x =处的切线方程为__________．
14.已知曲线x y e -=，则曲线上的点到直线10x y ++=的最短距离是_________. 15.已知函数2()e sin 2x f x x ax x =+--.
（1）当0a =时，判断()f x 在[
)0,+∞上的单调性并加以证明； （2）若0x ≥，()1f x ≥，求a 的取值范围.
答案以及解析
1.答案：D
解析：()()
22
ln ln 1f x x ax a x a x =-+=--，当1x ≥时，ln 0x ≥，210x -≥，
若0a ≤，则当1x >时，()0f x >，这与()0f x ≤矛盾，故0a >. ()2
1122ax f x ax x x -'=-=
，若12a ≥，则当1x ≥时，()0f x '≤， 所以()f x 在
)1,+∞［上单调递减，于是()()10f x f ≤=，符合题意，
若102
a <<，当1x >时，令2120ax ->，则1x <<1x <<()0f x '>，
所以()f x 在⎛ ⎝上单调递增，()()10f x f >=，这与()0f x ≤矛盾.故1
2a ≥，选D 2.答案：B 解析：若不等式
()f x x
对所有的
2,0,],(](b x e e ∈-∞∈都成立， 即2
ln a x bx x -对所有的2,0,],(](b x e e ∈-∞∈都成立， 即2
ln a x x bx -对所有的2,0,],(](b x e e ∈-∞∈都成立， 即ln 0a x x -对2,(]x e e ∈都成立,即ln a x x 对2
,(]x e e ∈都成立， 即a 大于等于ln x x 在区间
2(,]e e 上的最大值， 令
n (l )h x x x
=,则2
ln ())l (1n h x x x '=-，
当2
,(]x e e ∈时, 0,()()h x h x '>单调递增，
所以2
ln ,()(],h x x x x e e =∈的最大值为22
()2e h e =,即
2
2e a ， 所以a 的取值范围为2
[)
,2e +∞.
3.答案：B
解析：由ln a x x =可得(01)ln x a x x x =
>≠且,设()ln x
g x x
=
,则2ln 1'()(ln )x g x x -=
所以易知()g x 在(0,1)和(1,e)上单调递减,在(e,)+∞上单调递增,所以()g x 的极小值为(e)e g =,易知1x +→时,
ln x x →+∞,x →+∞时,ln x x
→+∞,所以作出()g x 的大致图象如图所示,由图可知当(e,)a ∈+∞时,函数()f x 有两个不动点
4.答案：B
解析：由题意知，1ln 104x a x ⎛
-≥ ⎝恒成立. t x
=，则(]01t ∈,，21x t =，∴原不等式转化为()1
ln 102t a t ---≥. 设()()1ln 12g t t a t =---，则()121
22at g t a t t
-'=-+=
. 当0a ≤时，()0g t '<，此时函数()g t 单调递减，
()()min 10g t g ∴==，()0g t ≥恒成立.
当0a >时，由210at -=，得1
2t a
=. ①当
112a ≥，即1
02a a
<≤时，()0g t '≤，此时函数()g t 在(01,］上单调递减，
()()min 10g t g ∴==，()0g t ≥恒成立.
②当1012a <
<，即12a a >时，若10,2t a ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭，则()0g t '<， 若1,12t a ⎛⎫ ⎪⎝⎭∈，则()0g t '>，∴函数()g t 在10,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,12a ⎛⎫
⎪⎝⎭
上单调递增，
()()min 1012t g g a g ⎛∴=< ⎪⎝⎭=⎫，()0g t ∴≥不恒成立，综上所述，a 的取值范围为1,2⎛
⎤-∞ ⎥⎝
⎦.故
选B.
5.答案：A
解析：
()0x
a
f x xe x '=-≤在1[,3]2上恒成立，则2x a x e ≥在1[,3]
2
上恒成立，
令2()e x g x x =，
()2'()2e 0
x g x x x =+>，所以()g x 在1[,3]2
单调递增，
故()g x 的最大值为()339g e =. 故39a e ≥.
6.答案：C
解析：由题意得()2
32f x ax bx c '=++.不等式()()5xf x af x '-≤对x ∀∈R 恒成立，
即()
()()232
3250a a x b ab c ac x x -+-+--≤对x ∀∈R 恒成立，230a a ∴-=.
又0a ≠，3a ∴=.不等式转化为2250bx cx ++≥对x ∀∈R 恒成立，0b ∴>
且2
4200c b ∆=-≤，即215b c ≥.223b c b c a --∴=21253
c c -≥()2
5255153c --=≥-
.故选C 7.答案：C
解析：由题得()2
2f x x ax a =-+.由函数()f x 在1x ，122()x x x ≠处的导数相等，得122x x a +=.
()12f x x m +≥恒成立，()(2)1m f a a ∴≤≤恒成立. 令()()2g a f a =()()32
122213a a a a a =
-+⋅+32421)13
(a a a =-++≤， 则()()2
4441g a a a a a '=-+=--.
当)0(a ∈-∞,
时，()0g a '<；当)1(0a ∈,时，()0g a '>. ()g a ∴在()0-∞,
上单调递减，在(0)1,上单调递增， ()()min 01g a g ∴==，()min 1m g a ∴≤=.故选C. 8.答案：B
解析：将0x =代入x y ax e =-，得001y a e =⨯-=-，所以点()0,1-在曲线x y ax e =-上，对x y ax e =-求导，得x y a e '=-，则曲线x y ax e =-在点()0,1-处的切线的斜率为
1x y a ='
=-.因为曲线x y ax e =-在点()0,1-处的切线方程为10x y --=，所以11a -=，解
得2a =. 9.答案：C
解析：由题得()2
2f x x ax a '=-+，由函数()f x 在()1212,x x x x ≠处的导数相等，得
122x x a +=，∵()12f x x m +≥恒成立，∴()()21m f a a ≤≤恒成立，令
()()()()()32
32142222121133
g a f a a a a a a a a a ==
-+⋅+=-++≤，则()()24441g a a a a a '=-+=--.当(),0a ∈-∞时，()0g a '<；当()0,1a ∈时，()0g a '>.∴()g a 在(),0-∞上单调递减,在()0,1上单调递增，∴()()min 01g a g ==，∴()min 1m g a ≤=.故选C
10.答案：C
解析：由题可得()πx
f x m
=，且()f x 在0x x =处取得极值，
则()0f x =0πππ,2x k k Z m =+∈，即021
,2
k x m k Z +=
∈， 由()2
2
2
00x f x m +<⎡⎤⎣⎦
，得22
03x m +<，显然当2m 最小时，0x 最小， 则当0k =时，0x 最小，此时0x 为
1
2
m ， 即2
2
134
m m >
+，解得24m >，故m 的取值范围为()(),22,-∞-+∞
11.答案：
π12
-
解析：因()'π4f x x asinx ⎛
⎫=-- ⎪⎝
⎭，
由题意得'1π12f a ⎛⎫
=-=- ⎪⎝⎭
，
解得2a =，又1π12f a ⎛⎫
=-=- ⎪⎝⎭
，
则()f x 在π2x =处的切线方程为π12y x ⎛
⎫+=-- ⎪⎝
⎭，
令0x =得12
π
y =
-， 则该切线在y 轴上的截距为π
12
-．
故答案为：
π
12
-． 12.答案： 2e 10x y --+= 解析：
()ln 1f x x x =+，()ln 1f x x ∴=+，
则()e ln e 12f =+=，
∴函数()ln 1f x x x =+在点()e,e 1+处的切线方程为e 12(e)y x --=-，
即2e 10x y --+=． 故答案为：2e 10x y --+=．
13.答案：21y x =-
解析：求导函数,可得ln 2y x '=+，
1x =时,21y y '==，
∴曲线ln 1y x x =+在点1x =处的切线方程是()121y x -=- 即21y x =-. 故答案为：21y x =-.
14.解析：x y e -=的导数为x y e -'=-，
设在(),P m n 处的切线平行于直线10x y ++=， 即有1m e --=-得01m n ==，， 即有切点为()0,1P ，
可得最短距离为点()0,1P 到直线10x y ++=的距离
d =
15.答案：（1）当0a =时，()cos 2x f x e x '=+-. 记()()g x f x '=，则()e sin x g x x '=-， 当0x ≥时，e 1x ≥，1sin 1x -≤≤.
所以()e sin 0x g x x '=-≥，所以()g x 在[)0,+∞单调递增， 所以()(0)0g x g ≥=.
因为()()g x f x '=，所以()0f x '≥，所以()f x 在[)0,+∞为增函数.
（2）由题意，得()e cos 22x f x x ax '=+--，记()()g x f x '=，则()e sin 2x g x x a '=--， 令()()h x g x '=，则()e cos x h x x '=-，
当0x ≥时，e 1x ≥，cos 1x ≤，所以()e cos 0x h x x '=-≥，
所以()h x 在[)0,+∞为增函数，即()e sin 2x g x x a '=--在[)0,+∞单调递增
所以0()(0)e sin0212g x g a a ''≥=--=-. ①当120a -≥，1
2
a ≤
，()0g x '≥恒成立，所以()g x 为增函数，即()f x '在[)0,+∞单调递增，
又(0)0f '=，所以()0f x '≥，所以()f x 在[)0,+∞为增函数，所以()(0)1f x f ≥= 所以1
2
a ≤满足题意. ②当1
2
a >
，(0)120g a '=-<，令()e 1x u x x =--，0x >， 因为0x >，所以()e 10x u x '=->，故()u x 在(0,)+∞单调递增， 故()(0)0u x u >=，即e 1x x >+.
故2(2)e sin 2221sin 220a g a a a a a a '=-->+--≥， 又()sin 2x g x e x a '=--在(0,)+∞单调递增，
由零点存在性定理知，存在唯一实数(0,)m ∈+∞，()0g m '=， 当(0,)x m ∈时，()0g x '<，()g x 单调递减，即()f x '单调递减， 所以()(0)0f x f ''<=，此时()f x 在(0,)m 为减函数， 所以()(0)1f x f <=，不合题意，应舍去. 综上所述，a 的取值范围是1
2
a ≤.
解析：。