福建省三明市2021届新高考数学模拟试题(1)含解析

福建省三明市2021届新高考数学模拟试题（1）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设函数1()ln
1x
f x x x
+=-，则函数的图像可能为（ ） A ． B ． C ． D ．
【答案】B 【解析】 【分析】
根据函数为偶函数排除,A C ，再计算11
()22
ln 30f =>排除D 得到答案. 【详解】
1()ln
1x
f x x x +=-定义域为：(1,1)- 11()ln ln ()11x x
f x x x f x x x
-+-=-==+-，函数为偶函数，排除,A C
11
()22ln 30f => ，排除D 故选B 【点睛】
本题考查了函数图像，通过函数的单调性，奇偶性，特殊值排除选项是常用的技巧. 2．a 为正实数，i 为虚数单位，
2a i
i
+=，则a=（ ） A ．2 B 3
C 2
D ．1
【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】
2|
|21230,3a i
a a a a i
+=+=∴=±>∴=Q B. 3．框图与程序是解决数学问题的重要手段，实际生活中的一些问题在抽象为数学模型之后，可以制作框图，编写程序，得到解决，例如，为了计算一组数据的方差，设计了如图所示的程序框图，其中输入115x =，
216x =，318x =，420x =，522x =，624x =，725x =，则图中空白框中应填入（ ）
A ．6i >，7
S S = B ．6i …
7
S
S = C ．6i >，7S S = D ．6i …
，7S S = 【答案】A 【解析】 【分析】
依题意问题是()()()222
12712020207S x x x ⎡⎤=-+-+⋯+-⎣
⎦，然后按直到型验证即可. 【详解】
根据题意为了计算7个数的方差，即输出的()()()222
12712020207S x x x ⎡⎤=
-+-+⋯+-⎣
⎦， 观察程序框图可知，应填入6i >，7
S
S =， 故选：A. 【点睛】
本题考查算法与程序框图，考查推理论证能力以及转化与化归思想，属于基础题. 4．若函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中0A >，||)2
π
ϕ<图象的一个对称中心为(
3
π
，0)，其相邻一条对
称轴方程为712
x π
=，该对称轴处所对应的函数值为1-，为了得到()cos2g x x =的图象，则只要将()f x 的图象( ) A ．向右平移6
π
个单位长度 B ．向左平移12
π
个单位长度 C ．向左平移6
π
个单位长度 D ．向右平移
12
π
个单位长度
【答案】B 【解析】
由函数的图象的顶点坐标求出A ，由周期求出ω，由五点法作图求出ϕ的值，可得()f x 的解析式，再根据函数()sin y A x ωϕ=+的图象变换规律，诱导公式，得出结论． 【详解】
根据已知函数()()sin f x A x ωϕ=+
(其中0A >，)2π
ϕ<
的图象过点,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭，7,112π⎛⎫
-
⎪⎝⎭
， 可得1A =，
1274123
πππω⋅=-， 解得：2ω=．
再根据五点法作图可得23
π
ϕπ⋅+=，
可得：3
π
ϕ=
，
可得函数解析式为：()sin 2.3f x x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭
故把()sin 23f x x π⎛
⎫
=+
⎪⎝
⎭
的图象向左平移
12
π
个单位长度， 可得sin 2cos23
6y x x π
π⎛⎫
=++
= ⎪⎝
⎭
的图象， 故选B ． 【点睛】
本题主要考查由函数()sin y A x ωϕ=+的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A ，由周期求出ω，由五点法作图求出ϕ的值，函数()sin y A x ωϕ=+的图象变换规律，诱导公式的应用，属于中档题．
5．甲、乙、丙、丁四位同学利用暑假游玩某风景名胜大峡谷，四人各自去景区的百里绝壁、千丈瀑布、原始森林、远古村寨四大景点中的一个，每个景点去一人．已知：①甲不在远古村寨，也不在百里绝壁；②乙不在原始森林，也不在远古村寨；③“丙在远古村寨”是“甲在原始森林”的充分条件；④丁不在百里绝壁，也不在远古村寨．若以上语句都正确，则游玩千丈瀑布景点的同学是（ ） A ．甲 B ．乙
C ．丙
D ．丁
【答案】D 【解析】 【分析】
根据演绎推理进行判断．
由①②④可知甲乙丁都不在远古村寨，必有丙同学去了远古村寨，由③可知必有甲去了原始森林，由④可知丁去了千丈瀑布，因此游玩千丈瀑布景点的同学是丁． 故选：D ． 【点睛】
本题考查演绎推理，掌握演绎推理的定义是解题基础．
6．若,,x a b 均为任意实数，且()()2
2
231a b ++-=，则()()2
2
ln x a x b -+- 的最小值为（ ）
A ．
B ．18
C ．1-
D ．19-【答案】D 【解析】 【分析】
该题可以看做是圆上的动点到曲线ln y x =上的动点的距离的平方的最小值问题，可以转化为圆心到曲线
ln y x =上的动点的距离减去半径的平方的最值问题，结合图形，可以断定那个点应该满足与圆心的连线
与曲线在该点的切线垂直的问题来解决，从而求得切点坐标，即满足条件的点，代入求得结果. 【详解】
由题意可得，其结果应为曲线ln y x =上的点与以()2,3C -为圆心，以1为半径的圆上的点的距离的平方的最小值，可以求曲线ln y x =上的点与圆心()2,3C -的距离的最小值，在曲线ln y x =上取一点
(),ln M m m ，曲线有ln y x =在点M 处的切线的斜率为1
'k m
=
，从而有'1CM k k ⋅=-，即ln 31
12m m m
-⋅=-+，整理得2ln 230m m m ++-=，解得1m =，所以点()1,0满足条件，其到圆心()2,3C -
的距离为d ==()
2
119=-
故选D. 【点睛】
本题考查函数在一点处切线斜率的应用，考查圆的程，两条直线垂直的斜率关系，属中档题. 7．执行如图所示的程序框图，若输出的值为8，则框图中①处可以填（ ）．
A ．7?S ≥
B ．21?S ≥
C ．28?S ≥
D ．36?S ≥
【答案】C 【解析】 【分析】
根据程序框图写出几次循环的结果，直到输出结果是8时. 【详解】
第一次循环：0,1S i == 第二次循环：1,2S i == 第三次循环：3,3S i == 第四次循环：6,4S i == 第五次循环：10,5S i == 第六次循环：15,6S i == 第七次循环：21,7S i == 第八次循环：28,8S i ==
所以框图中①处填28?S ≥时，满足输出的值为8. 故选：C 【点睛】
此题考查算法程序框图，根据循环条件依次写出每次循环结果即可解决，属于简单题目. 8．若不相等的非零实数x ，y ，z 成等差数列，且x ，y ，z 成等比数列，则
x y
+=（ ）
A ．52
-
B ．2-
C ．2
D ．
72
【答案】A 【解析】 【分析】 由题意，可得2x z y +=，2
z xy =，消去y 得2220x xz z +-=,可得2x z =-，继而得到2
z y =-，代入即得解 【详解】
由x ，y ，z 成等差数列， 所以2
x z
y +=
，又x ，z ，y 成等比数列， 所以2
z xy =，消去y 得2220x xz z +-=，
所以2
20x x
z z
⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，解得1x z =或2x z =-，
因为x ，y ，z 是不相等的非零实数，
所以2x z =-，此时2z
y =-， 所以15
222
x y z +=--=-． 故选：A 【点睛】
本题考查了等差等比数列的综合应用，考查了学生概念理解，转化划归，数学运算的能力，属于中档题. 9．关于圆周率π，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的浦丰实验和查理斯实验．受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计π的值：先请全校m 名同学每人随机写下一个都小于1的正实数对(),x y ；再统计两数能与1构成钝角三角形三边的数对(),x y 的个数a ；最后再根据统计数a 估计π的值，那么可以估计π的值约为（ ） A ．
4a m
B ．
2
a m
+ C ．
2a m
m
+ D ．
42a m
m
+ 【答案】D 【解析】 【分析】
由试验结果知m 对0～1之间的均匀随机数,x y ，满足01
01x y <<⎧⎨
<<⎩
，面积为1，再计算构成钝角三角形三
边的数对(,)x y ，满足条件的面积，由几何概型概率计算公式，得出所取的点在圆内的概率是圆的面积比
正方形的面积，即可估计π的值． 【详解】
解：根据题意知，m 名同学取m 对都小于1的正实数对(),x y ，即01
01x y <<⎧⎨<<⎩
，
对应区域为边长为1的正方形，其面积为1，
若两个正实数,x y 能与1构成钝角三角形三边，则有221
1
0101
x y x y x y ⎧+<⎪
+>⎪⎨<<⎪⎪<<⎩，
其面积142S π
=
-；则有142a m π=-，解得42a m
m
π+= 故选：D ． 【点睛】
本题考查线性规划可行域问题及随机模拟法求圆周率的几何概型应用问题. 线性规划可行域是一个封闭的图形，可以直接解出可行域的面积；求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某事件对应的面积，必要时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到试验全部结果构成的平面图形，以便求解. 10．若5(1)(1)ax x ++的展开式中23,x x 的系数之和为10-，则实数a 的值为（ ） A ．3- B ．2- C ．1-
D ．1
【答案】B 【解析】 【分析】
由555
(1)(1)(1)(1)ax x x ax x ++=+++，进而分别求出展开式中2x 的系数及展开式中3x 的系数，令二者之和等于10-，可求出实数a 的值. 【详解】
由555
(1)(1)(1)(1)ax x x ax x ++=+++，
则展开式中2x 的系数为1255105C aC a +=+，展开式中3x 的系数为32
551010C aC a +=+，
二者的系数之和为(105)(1010)152010a a a +++=+=-，得2a =-. 故选：B. 【点睛】
本题考查二项式定理的应用，考查学生的计算求解能力，属于基础题.
11．已知抛物线2
20y x ＝的焦点与双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>的一个焦点重合，且抛物线的准线被
双曲线截得的线段长为
9
2
，那么该双曲线的离心率为（ ）
A ．
54
B ．
53
C ．
52
D 【答案】A 【解析】 【分析】
由抛物线2
20y x ＝的焦点(5,0)得双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>的焦点(5,0)±，求出5c ＝，由抛物线
准线方程5x =-被曲线截得的线段长为92，由焦半径公式229
2
b a =，联立求解.
【详解】
解：由抛物线2
20y x ＝，可得220p ＝，则10p ＝
，故其准线方程为5x =-， Q 抛物线2
20y x ＝的准线过双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>的左焦点， 5c ∴＝．
Q 抛物线220y x ＝的准线被双曲线截得的线段长为
9
2
， 2292
b a ∴=，又22225
c a b +＝＝，
4,3a b ∴＝＝，
则双曲线的离心率为5
4
c e a ==． 故选：A ． 【点睛】
本题考查抛物线的性质及利用过双曲线的焦点的弦长求离心率. 弦过焦点时，可结合焦半径公式求解弦长．
12．南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”.现有高阶等差数列，其前7项分别为1，4，8，14，23，36，54，则该数列的第19项为（ ）（注：2
2
2
2
(1)(21)
1236
n n n n ++++++=L ）
A ．1624
B ．1024
C ．1198
D ．1560
【答案】B 【解析】 【分析】
根据高阶等差数列的定义，求得等差数列{}n c 的通项公式和前n 项和，利用累加法求得数列{}n a 的通项公式，进而求得19a . 【详解】 依题意
n a ：1，4，8，14，23，36，54，……
两两作差得
n b ：3，4，6，9，13，18，……
两两作差得
n c ：1，2，3，4，5，……
设该数列为{}n a ，令1n n n b a a +=-，设{}n b 的前n 项和为n B ，又令1+=-n n n c b b ，设{}n c 的前n 项和为
n C .
易n c n =，22n n n C +=，进而得21332n n n n b C ++=+=+，所以2(1)1
33222n n n n b n -=+=-+，则
(1)(1)
36
n n n n B n +-=
+，所以11n n a B +=+，所以191024a =.
故选：B 【点睛】
本小题主要考查新定义数列的理解和运用，考查累加法求数列的通项公式，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．在平面直角坐标系xOy 中，若圆C 1：x 2＋（y －1）2＝r 2（r>0）上存在点P ，且点P 关于直线x －y ＝0的对称点Q 在圆C 2：（x －2）2＋（y －1）2＝1上，则r 的取值范围是________．
【答案】1] 【解析】 【分析】
设圆C 1上存在点P （x 0，y 0），则Q （y 0，x 0），分别满足两个圆的方程，列出方程组，转化成两个新圆有公共点求参数范围. 【详解】
则()()()2220022
001211
x y r
y x ⎧+-=⎪⎨-+-=⎪⎩， 故只需圆x 2＋（y －1）2＝r 2与圆（x －1）2＋（y －2）2＝1有交点即可，所以|r －
＋1
11r ≤≤
.
故答案为：1] 【点睛】
此题考查圆与圆的位置关系，其中涉及点关于直线对称点问题，两个圆有公共点的判定方式.
14．在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，120ABC ∠=︒，ABC ∠的平分线交AC 于点D ，且1BD =，则4a c +的最小值为________． 【答案】9 【解析】
分析：先根据三角形面积公式得条件、再利用基本不等式求最值.
详解：由题意可知，ABC ABD BCD S S S =+△△△,由角平分线性质和三角形面积公式得
111sin1201sin 601sin 60222ac a c ︒=⨯⨯︒+⨯⨯︒，化简得11
,1ac a c a c
=++=
，因此1144(4)()559,c a a c a c a c a c +=++=++≥+
当且仅当23c a ==时取等号，则4a c +的最小值为9.
点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.
15．已知函数423,0,()log ,0,
x x f x x x -⎧<=⎨>⎩若关于x 的不等式()f x a >的解集为()2
,a +∞，则实数a 的所有可能
值之和为_______. 【答案】6 【解析】 【分析】
由分段函数可得0a …不满足题意；0a >时，2log x a >，可得2a x >，即有22a a =，解方程可得2a =，4，结合指数函数的图象和二次函数的图象即可得到所求和． 【详解】
解：由函数43,0
()x x f x -⎧<=⎨，可得
()f x 的增区间为(,0)-∞，(0,)+∞，
0x <时，()(0f x ∈，43)-，0x >时，()f x ∈R ，
当关于x 的不等式()f x a >的解集为2(a ，)+∞， 可得0a „不成立，
0a >时，1
081
a <„
时，不成立； ()f x a >，即为2log x a >，
可得2a x >，即有22a a =，
显然2a =，4成立；由2x
y =和2
y x =的图象可得在0x >仅有两个交点． 综上可得a 的所有值的和为1． 故答案为：1． 【点睛】
本题考查分段函数的图象和性质，考查不等式的解法，注意运用分类讨论思想方法，考查化简运算能力，属于中档题．
16．已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过点F 且斜率为1的直线l 交抛物线C 于,M N 两点，
2
MF NF
b +=
，若线段MN 的垂直平分线与x 轴交点的横坐标为a ，则-a b 的值为_________.
【答案】1 【解析】 【分析】
设()()1122,,,M x y N x y ，写出直线方程代入抛物线方程后应用韦达定理求得12x x +，由抛物线定义得焦点弦长，求得b ，再写出MN 的垂直平分线方程，得a ，从而可得结论． 【详解】
抛物线2
:4C y x =的焦点坐标为()1,0，直线l 的方程为1y x =-，
据214y x y x
=-⎧⎨=⎩得2610x x -+=.设()()1122,,,M x y N x y ， 则()1212121
6,4,11422
MF NF x x y y b x x ++=+=∴=
=+++=.
线段MN 垂直平分线方程为()213y x -=-⨯-，令0y =，则5x =，所以5a =， 所以1a b -=. 故答案为：1．
【点睛】
本题考查抛物线的焦点弦问题，根据抛物线的定义表示出焦点弦长是解题关键． 三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．已知函数2()ln 23f x x x ax x a =-+-，a Z ∈.
（1）当1a =时，判断1x =是否是函数()f x 的极值点，并说明理由； （2）当0x >时，不等式()0f x ≤恒成立，求整数a 的最小值. 【答案】（1）1x =是函数()f x 的极大值点，理由详见解析；（2）1. 【解析】 【分析】
（1）将1a =直接代入，对()f x 求导得()'ln 44f x x x =-+，由于函数单调性不好判断，故而构造函数，
继续求导，判断导函数()f x '
在1x =左右两边的正负情况，最后得出，1x =是函数()f x 的极大值点；
（2）利用题目已有条件得1a ≥，再证明1a =时，不等式()0f x ≤ 恒成立，即证1
ln 230x x x
-+-≤，从而可知整数a 的最小值为1. 【详解】
解:（1）当1a =时，()'ln 44f x x x =-+. 令()()'ln 44F x f x x x ==-+，则()114'4x F x x x
-=-= 当1
4
x >
时，()0F x '<. 即()'f x 在1,4⎛⎫
+∞
⎪⎝⎭
内为减函数，且()'10f = ∴当1,14x ⎛⎫
∈
⎪⎝⎭
时，()'0f x >;当(1,)x ∈+∞时，()'0f x <. ∴()f x 在1,4⎛⎫
+∞
⎪⎝⎭
内是增函数，在(1,)+∞内是减函数. 综上，1x =是函数()f x 的极大值点. （2）由题意，得()10f ≤，即1a ≥.
现证明当1a =时，不等式()0f x ≤成立，即2ln 2310x x x x -+-≤. 即证1
ln 230x x x
-+-
≤
令()1ln 23g x x x x
=-+-
则()()()22222111121'2x x x x g x x x x x
-+--++=-+== ∴当)1(0x ∈，
时，()'0g x >;当(1,)x ∈+∞时，()'0g x <. ∴()g x 在()0,1内单调递增，在(1,)+∞内单调递减，
()g x 的最大值为()10g =.
∴当0x >时，1
ln 230x x x
-+-
≤. 即当0x >时，不等式()0f x ≤成立. 综上，整数a 的最小值为1. 【点睛】
本题考查学生利用导数处理函数的极值，最值，判断函数的单调性，由此来求解函数中的参数的取值范围，对学生要求较高，然后需要学生能构造新函数处理恒成立问题，为难题 18．已知函数
（1）讨论的单调性； （2）当
时，
，求的取值范围.
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】 【分析】
（1）f′（x ）=（x+1）e x -ax-a=（x+1）（e x -a ）．对a 分类讨论，即可得出单调性． （2）由xe x -ax-a+1≥0，可得a （x+1）≤xe x +1，当x=-1时，0≤-+1恒成立．当x ＞-1时，a
令g （x ）
=，利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出．
【详解】 解法一：（1）
①当
时，
-1
- 0 +
↘极小值↗
所以在上单调递减，在单调递增.
②当时，的根为或.
若，即，
-1
+ 0 - 0 +
↗极大值↘极小值↗所以在，上单调递增，在上单调递减.
若，即，
在上恒成立，所以在上单调递增，无减区间.
若，即，
-1
+ 0 - 0 +
↗极大值↘极小值↗所以在，上单调递增，在上单调递减.
综上：
当时，在上单调递减，在上单调递增；
当时，在，上单调递增，在上单调递减；
自时，在上单调递增，无减区间；
当时，在，上单调递增，在上单调递减. （2）因为，所以.
当时，恒成立.
当时，.
令，，
设，
因为在上恒成立，
即在上单调递增.
又因为，所以在上单调递减，在上单调递增，则，所以.
综上，的取值范围为.
解法二：（1）同解法一；
（2）令，
所以，
当时，，则在上单调递增，
所以，满足题意.
当时，
令，
因为，即在上单调递增. 又因为，，
所以在上有唯一的解，记为，
- 0 +
↘
极小值 ↗
，满足题意.
当时，
，不满足题意.
综上，的取值范围为.
【点睛】
本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、分类讨论方法、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
19．函数()ln(1),()sin f x ax x g x x =-+=，且()0f x …
恒成立. （1）求实数a 的集合M ；
（2）当a M ∈时，判断()f x 图象与()g x 图象的交点个数，并证明. （参考数据：12
ln 20.69, 1.77x
e
-≈≈）
【答案】（1）{1}；（2）2个，证明见解析 【解析】 【分析】
（1）要()0f x …恒成立，只要()f x 的最小值大于或等于零即可，所以只要讨论求解看()f x 是否有最小值；
（2）将()f x 图像与()g x 图像的交点个数转化为方程()()f x g x =实数解的个数问题，然后构造函数
()()()x f x g x ϕ=-，再利用导数讨论此函数零点的个数.
【详解】
（1）()f x 的定义域为(1,)-+∞，因为1
()1
f x a x -
'=+， 1°当0a „时，()0,()f x f x '
<在(0,)x ∃∈+∞上单调递减，(0,)x ∃∈+∞时，使得()(0)0f x f <=，与条件
矛盾；
2°当0a >时，由()0f x '<，得111x a -<<
-；由()0f x '>，得11x a >-，所以()f x 在11,1a ⎛
⎫-- ⎪⎝
⎭上
单调递减，在11,a ⎛⎫
-+∞
⎪⎝⎭
上单调递增，即有min 1()11ln f x f a a a ⎛⎫
=-=-+ ⎪⎝⎭
，由()0f x …恒成立，所以1ln 0a a -+…恒成立，令11()1ln (0),()1a
h a a a a h a a a
-=-+>=-+
='， 若01,()0,()(1)0a h a h a h <<='；
若1,()0,()(1)0a h a h a h ><<='；而1a =时，()0h a =，要使1ln 0a a -+…
恒成立， 故{1}a ∈.
（2）原问题转化为方程()()f x g x =实根个数问题，
当1a =时，()f x 图象与()g x 图象有且仅有2个交点，理由如下：
由()()f x g x =，即ln(1)sin 0x x x -+-=，令()ln(1)sin x x x x ϕ=-+-， 因为(0)0ϕ=，所以0x =是()0x ϕ=的一根；1
()1cos 1
x x x ϕ-+'=-， 1°当10x -<<时，1
10,cos 01
x x -
+， 所以()0,()x x ϕϕ'<在(1,0)-上单调递减，()(0)0x ϕϕ>=，即()0x ϕ=在(1,0)-上无实根； 2°当03x <<时，2
1
()sin 0(1)x x x ϕ=
+>+''，
则()x ϕ'
在(0,3)上单调递递增，又210,(0)1022πϕϕπ⎛⎫=->=-<
⎪
+''⎝⎭
， 所以()0x ϕ'
=在(0,3)上有唯一实根00,0,2x x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且满足00
11cos 1x x -=+， ①当00x x <„时，()0,()x x ϕϕ'„在0(0,]x 上单调递减，此时()(0)0,()0x x ϕϕϕ<==在(]00,x 上无实根；
②当03x x <<时，()0,()x x ϕϕ'>在0(,3)x 上单调递增，()12
0e 1ln 1ln 2221
2
x x πππϕϕπ-⎛⎫⎛⎫
<=--+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+ 2
ln
ln10,(3)3sin 32ln 22(1ln 2)1sin 30
1
2
ϕπ
<==--=-+-+，故()0x ϕ=在0(,3)x 上有唯一实根.
3°当3x ≥时，由（1）知，ln(1)1x x -+-在(0,)+∞上单调递增，
所以ln(1)122ln 22ln 02
e
x x -+--=>…
，
故()ln(1)sin ln(1)1(1sin )0x x x x x x x ϕ=-+-=-+-+->，所以()0x ϕ=在[3,)+∞上无实根. 综合1°，2°，3°，故()0x ϕ=有两个实根，即()f x 图象与()g x 图象有且仅有2个交点. 【点睛】
此题考查不等式恒成立问题、函数与方程的转化思想，考查导数的运用，属于较难题.
20．在极坐标系中，已知曲线C 的方程为r ρ
=（0r >），直线l 的方程为cos 4πρθ⎛⎫
+
= ⎪⎝
⎭
.设直线l
与曲线C 相交于A ，B 两点，且AB =r 的值. 【答案】3r = 【解析】 【分析】
先将曲线C 和直线l 的极坐标方程化为直角坐标方程，可得圆心到直线的距离，再由勾股定理，计算即得. 【详解】
以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系xOy ， 可得曲线C ：r ρ
=（0r >）的直角坐标方程为222x y r +=，表示以原点为圆心，半径为r 的圆.
由直线l 的方程cos 4πρθ⎛⎫
+
= ⎪⎝
⎭，化简得cos cos sin sin 44
ππ
ρθρθ-= 则直线l 的直角坐标方程方程为20x y --=.
记圆心到直线l 的距离为d ，则d =
=
又2
222AB r d ⎛⎫=+ ⎪
⎝⎭
，即2
279r =+=，所以3r =. 【点睛】
本题考查曲线和直线的极坐标方程化为直角坐标方程，是基础题.
21．以平面直角坐标系xOy 的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，且在两种坐标系中取相同的长度单
位，建立极坐标系，已知曲线1C :sin 4πρθ⎛
⎫+= ⎪⎝⎭曲线2cos 2:sin x C y θθ
=⎧⎨=⎩（θ为参数），求曲线12
C C ，交点的直角坐标. 【答案】()1,1-- 【解析】 【分析】
利用极坐标方程与普通方程、参数方程间的互化公式化简即可.
【详解】 因为sin 24πρθ⎛⎫
+
=- ⎪⎝
⎭
，所以sin cos 2ρθρθ+=-， 所以曲线1C 的直角坐标方程为20x y ++=.
由cos 2sin x y θ
θ=⎧⎨=⎩，得212sin sin x y θθ
⎧=-⎨=⎩， 所以曲线2C 的普通方程为212,[ 1.1]x y y =-∈-.
由220
12x y x y
++=⎧⎨=-⎩，得
2230y y --=， 所以123
1,2
y y =-=（舍）， 所以11x =-，
所以曲线12C C ，的交点坐标为()1,1--. 【点睛】
本题考查极坐标方程与普通方程，参数方程与普通方程间的互化，考查学生的计算能力，是一道容易题. 22．某早餐店对一款新口味的酸奶进行了一段时间试销，定价为5元/瓶.酸奶在试销售期间足量供应，每天的销售数据按照[]15,25，(]25,35，(]35,45，(]45,55分组，得到如下频率分布直方图，以不同销量的频率估计概率.
()1从试销售期间任选三天，求其中至少有一天的酸奶销量大于35瓶的概率；
()2试销结束后，这款酸奶正式上市，厂家只提供整箱批发：大箱每箱50瓶，批发成本75元；小箱每箱30
瓶，批发成本60元.由于酸奶保质期短，当天未卖出的只能作废.该早餐店以试销售期间的销量作为参考，决定每天仅批发一箱（计算时每个分组取中间值作为代表，比如销量为(]45,55时看作销量为50瓶）. ①设早餐店批发一大箱时，当天这款酸奶的利润为随机变量X ，批发一小箱时，当天这款酸奶的利润为随机变量Y ，求X 和Y 的分布列和数学期望；
②以利润作为决策依据，该早餐店应每天批发一大箱还是一小箱？
注：销售额=销量×定价；利润=销售额－批发成本. 【答案】()10.657；()2①详见解析；②应该批发一大箱. 【解析】 【分析】
()1酸奶每天销量大于35瓶的概率为0.3，不大于35瓶的概率为0.7，设“试销售期间任选三天，其中至
少有一天的酸奶销量大于35瓶”为事件A ，则A 表示“这三天酸奶的销量都不大于35瓶”.利用对立事件概率公式求解即可.
()2①若早餐店批发一大箱，批发成本为75元，依题意，销量有20，30，40，50四种情况，分别求出
相应概率，列出分布列，求出X 的数学期望，若早餐店批发一小箱，批发成本为60元，依题意，销量有
20，30两种情况，分别求出相应概率，由此求出Y 的分布列和数学期望；②根据①中的计算结果，
()()E X E Y >，从而早餐应该批发一大箱.
【详解】
解：()1根据图中数据，酸奶每天销量大于35瓶的概率为(0.020.01)100.3+⨯=，不大于35瓶的概率为
0.7.
设“试销售期间任选三天，其中至少有一天的酸奶销量大于35瓶”为事件A ，则A 表示“这三天酸奶的销量都不大于35瓶”.
所以3()1()10.70.657P A P A =-=-=.
()2①若早餐店批发一大箱，批发成本为75元，依题意，销量有20，30，40，50四种情况.
当销量为20瓶时，利润为5207525?=元； 当销量为30瓶时，利润为5307575?=元； 当销量为40瓶时，利润为54075125?=元； 当销量为50瓶时，利润为55075175?=元.
随机变量X 的分布列为
所以()250.3
750.41250.21750.180E X =????（元）
若早餐店批发一小箱，批发成本为60元，依题意，销量有20，30两种情况. 当销量为20瓶时，利润为5206040?=元； 当销量为30瓶时，利润为530
6090?=元.
随机变量Y 的分布列为
所以()400.3900.775E Y =??（元）.
②根据①中的计算结果，()()E X E Y >，
所以早餐店应该批发一大箱.
【点睛】 本题考查概率，离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查古典概型、对立事件概率计算公式等基础知识，属于中档题.
23．设函数()(2cos )sin f x ax x x =+-，()f x '是函数()f x 的导数.
（1）若1a =，证明()f x '在区间,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭
上没有零点； （2）在(0,)x ∈+∞上()0f x >恒成立，求a 的取值范围.
【答案】（1）证明见解析（2）1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
【解析】
【分析】
（1）先利用导数的四则运算法则和导数公式求出()f x '，再由函数()f x '的导数可知， 函数()f x '
在,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，而02f π⎛⎫'-> ⎪⎝⎭，02f π⎛⎫'> ⎪⎝⎭，可知()0f x '>在区间,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上恒成立，即()f x '在区间,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭
上没有零点； （2）由题意可将()0f x >转化为sin 02cos x ax x ->+，构造函数sin ()2cos x F x ax x
=-+， 利用导数讨论研究其在(0,)x ∈+∞上的单调性，由min 0F >，即可求出a 的取值范围．
【详解】
（1）若1a =，则()(2cos )sin f x x x x =+-，()2sin f x x x '=-，
设()()2sin h x f x x x '==-，则()sin cos h x x x x '=--，(0)0h '=，
()sin cos ()h x x x x h x ''-=+=-，故函数()h x '是奇函数．
当0,2x π⎛
⎫∈ ⎪⎝⎭
时，sin 0x >，cos 0x x >，这时()0h x '<，
又函数()h x '是奇函数，所以当,02x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭
时，()0h x '>. 综上，当,02x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，函数()f x '单调递增；当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
时，函数()f x '单调递减. 又2022f ππ⎛⎫'-=-> ⎪⎝⎭，2022f ππ⎛⎫'=-> ⎪⎝⎭
， 故()0f x '>在区间,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上恒成立，所以()f x '在区间,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭
上没有零点. （2）sin ()(2cos )2cos x f x x ax x ⎛⎫=+-
⎪+⎝⎭，由[]cos 1,1x ∈-，所以2cos 0x +>恒成立， 若()0f x >，则sin 02cos x ax x ->+，设sin ()2cos x F x ax x
=-+， 222cos 123()(2cos )2cos (2cos )x F x a a x x x +'=-=-++++211132cos 33a x ⎛⎫=-+- ⎪+⎝⎭
. 故当13
a ≥时，()0F x '≥，又(0)0F =，所以当0x >时，()0F x >，满足题意； 当0a ≤时，有10222F a ππ⎛⎫=⨯-<
⎪⎝⎭，与条件矛盾，舍去； 当103
a <<时，令()sin 3g x x ax =-，则()cos 3g x x a '=-， 又31a <，故()cos 30g x x a '=-=在区间(0,)+∞上有无穷多个零点，
设最小的零点为1x ，
则当()10,x x ∈时，()0g x '>，因此()g x 在()10,x 上单调递增.
()(0)0g x g >=，所以sin 3x ax >.
于是，当()10,x x ∈时，sin sin 2cos 3x x ax x >>+，得sin 02cos x ax x
-<+，与条件矛盾. 故a 的取值范围是1,3
⎡⎫
+∞⎪⎢⎣⎭.
【点睛】
本题主要考查导数的四则运算法则和导数公式的应用，以及利用导数研究函数的单调性和最值，涉及分类讨论思想和放缩法的应用，难度较大，意在考查学生的数学建模能力，数学运算能力和逻辑推理能力，属于较难题．。