泰兆奖助金结题专业论文

F统计在地震信号检测中的应用
地球与空间科学学院99级孙朗秋
摘要
分析了F统计应用于地震信号检测的数学背景; 介绍了F统计在地震信号检测中的两种应用及其方法; 并利用合成资料演示了F统计方法在寻找勘探地震资料中特定速度地震波到时的参数控制, 计算流程和计算效果; 论述了该方法在地震信号检测中的实用性和可靠性.
关键词: F统计, 地震信号检测
一、引言
地球物理信号, 例如地震勘探深部反射记录的信号, 常常被湮没在大量噪音中. 要对信号进行分析和解释, 或模型反演, 了解地下的埋藏状况, 必须预先对采集到的地震记录进行滤波和去噪, 从中检测和提取信号.
为了提高信噪比, 采用了检波器阵列同时记录. 各个地震检波器的记录道之间, 信号具有相关关系, 因此对于随机噪音, 可以用统计方法, 通过测量记录道集对于某个量的相似度来进行分析, 排除噪音, 达到检测信号的目的.
可以用相似图的方法来测量多道资料的相关性. 但这种经典方法没有利用记录信噪比信息, 因此灵敏度较低, 虚报率(False Alarm Rate) 较高.
本文介绍F统计方法来测量相关. F统计的性质在数学上已经有了深入的研究. 本文的方法原理简单, 操作性强, 效果明显, 在地球物理资料处理中有广阔
的应用前景.
二、数学背景
(一) F 分布
1. χ2分布
设随机变量x 呈正态分布, 均值为ξ, 方差为σ2, 记为N(ξ,σ2). 若x 1 , x 2 , …, x ν 相互独立, 且x i 是N(ξi ,1), 则称随机变量∑==N i i x X 12为自由度为N,非中心参量为∑==N
i i 12ξλ的χ2分布,记为2,λχN . 2. 非中心F 分布
设X 1, X 2是独立随机变量, 且X 1是2,1λχN , X 2是20,2
N χ, 称比例2
211,,//|21N X N X F N N =λ为自由度为N 1 ,N 2 , 非中心参量为λ的的F 分布. 3. F 分布概率函数
F 概率分布函数可以由一个无穷级数计算得到 (Abramowitz & Stegun, 1964). 也可以由高斯概率分布函数近似:
)()|(,,21x P F P N N ≈λ, (1)
其中
2
1321122112112311192)(9)2(2)(9)2(21921⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++⎥⎦
⎤⎢⎣⎡++--⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=λλλλλλN F N N N N N N N N F N x , )(x P 是高斯概率分布函数.
F 分布的均值为
[]2,2222,,21>-==N N N F E F N N 当μλ, (2)
方差为
()[]4,)4()2()2(22221121222
2,,21>---+==-N N N N N N N F E F F N N 当σμλ. (3)
(二) 地震记录的相似度
设M 个地震记录道)(t s i =, i = 1, … M, 对应于具有M 道的地震记录道集, 它们记录了相同的信号s(t), 设各道正常时差 (NMO) 为τi , 可定义相似度为
[]∑∑∑∑+=t i i t i i
i i t s M t s S )()()(22ττ (4)
其中t = 1, …, T 是做平均所取的时窗, []∑∑+t i i
i t s 2)(τ是地震波束的能量, ∑∑t i i t s )(2是道集记录的能量. 相似度是多通道数据相关性的度量.
(三) 地震记录的近似F 统计
在同一个记录道集中, F 统计的应用是与需检测的信号有关的. 对于M 道的给定了各道正常时差的道集, 定义其地震束为
∑+=i i i t s M t s )(1)(τ . (5)
各道的剩余误差 (Residual Error) 为)()(t s t s i -.
设以下假设成立:
1. 噪音正态分布, 稳定, 各地震检波器间非相关;
2. 各道记录的信号相同;
3. 信号和噪音都是限带的,带宽为B, 在通带内信号和噪音频谱恒定.
则有以下关系近似的F 统计关系成立 (E.J.Douze and ster, 1979):
[][]∑∑∑∑∑∑+-+-≈t i t i i i i t
i i i N N t s t s M t s M F 222,,)()()()1(|21ττλ (6)
如果是白信号且是白噪音, 则上式严格成立. 易知F 统计和相似度S 有以下关系:
)1(1--=
M S S F 或 1-+=M F F S (7)
定义 ⎪⎩⎪⎨⎧==∑BT N t s X t 2)(121 (8)
为地震束的能量及其自由度,
定义
[]⎪⎩⎪⎨⎧-=-+=∑∑)1()()(1222M N N t s t s X t i i i τ (9)
是各道记录的剩余误差的能量及其自由度,
以及
21⎪⎭⎫ ⎝⎛=N S MN λ (10)
S 2和N 2分别是记录道集上的信号和噪音的平均能量.
则
2211,,21|N X N X F N N =λ, (11)
是近似的自由度为N 1, N 2, 非中心参量为λ的F 分布.
当无信号 (S 2=0) 时, 上式是中心F 分布.
这样, 在利用F 统计测量地震记录的相似度时, 也利用了记录的信噪比.
三、应用
(一) 地震事件自动检测
对于一个地震检波器阵列的多通道记录, 传统上, 有两类基本的地震事件检测方法. 一是将地震仪记录到波震图 (seismogram) 校正或平方后, 作短期平均, 并与一长期平均值对比, 比值超过阀值则报告; 二是模拟人工操作, 检查是否有若干个独立的地震检波器在特定时窗内检测到一个信号. 这两种方法都没有考虑地震记录的信噪比, 因此灵敏度低, 虚报率高.
若给定的各道信号时差合适 (这相当于要求给定合适的地震波速度), 当信号来到, 记录道集F 统计的输出增大. 因为: (11)式中, 地震束的能量X 1增大; 若信号相关性良好, X 2将减小至剩余噪音. 而无信号时, X 1是随机噪音采样平均值的平方, X 2不会大于记录到的随机噪音的能量, 从而F 值不会太大. 因此, 可以根据检测目标设定F 统计阀值为F 0, 当超过F 0时报告检测到地震事件 (R.R.Blandford, 1974).
在2.1.3.节讨论了F 概率分布函数的计算; 考虑(8), (9), (10)式, 对于一定的
记录通道数M, 在一定的检测时窗T 和检测带宽B 上, λ受信噪平均能量比2
⎪⎭⎫ ⎝⎛N S 控制, 从而影响F 概率分布函数的值. 在一定检测水平下, F 统计值超过的F 0概率为
}|{0)(,,21F F P N S N N ≥λ (12)
从而虚报率, 即在无信号时报告的可能性, 为
}|{00,,21F F P FAR N N ≥= (13)
不能将虚报率设置得过低. 必须在丢失信号和虚报之间达到最优化的折衷. 由于这是一种统计方法, 要求记录道数不能太少, 否则F 统计值不可靠. 对于实际资料, 在应用F 检测之前, 应先进行滤波, 将记录带宽限制在通带B 内. 另外, F 检测方法只限于排除非相关噪音, 即假设噪音在各道独立, 有稳定
的自相关, 近似于高斯分布, 从而近似满足χ2分布. 通常, 这些假设可以近似满足. 如果时窗T足够长, 记录道数M足够多, F检测可以在强背景噪音中分离出给定信噪比的弱信号, 因此它比传统方法有更大的优越性.
(二) 叠加速度和地震波到时
在上一节提到, 一个地震记录道集的F统计值在信号到达时增大, 要求给定合适的时差(或地震波速度); 否则, 不恰当时移后的地震束不能抵消各道各自的记录, (11)式分母仍然很大, F统计值仍然很小. 这些性质可以应用到地震勘探中, 寻找特定速度的地震波的到时; 该地震波在各道的到时组成的曲线即是一条同相轴.
地震勘探中, 震源产生的地震波被地下地层或埋藏物反射, 由一系列地震检波器接收, 形成多道记录, 每一道记录反映了该检波点位移随时间的变化. 因地震波速度是有限的, 远离炮点的检波器后接收到信号, 这种时差并不反映地下状况, 称为正常时差. 需要作正常时差校正后, 才能对资料进行其它处理, 以使同相轴可反映地下埋藏状况. 去除正常时差需要相应地层的地震波速信息. 事实上, 可以考虑地震波经过若干地层速度的某种”综合效应”, 即叠加速度. 由于记录到的是若干地层的反射, 一个记录道集将包含若干个叠加速度; 反映在地震记录中, 是同一道记录在不同时刻收到信号, 并且各道记录收到的这信号的若干到时形成相应的同相轴. 在实际资料中, 叠加速度常常是根据初始模型预设的某个函数, 它等效于一个时差函数, 从而可以利用(6)式, 得到该道集(或其一部分) 记录的F统计值.
另一方面, 实际资料中存在大量随机噪音, 可以用相似度判断和去除. 考察对于该预设的叠加速度值, 该道集记录F统计值大小. 同样可以设置阀值作为判
断的依据. 但是, 分离信号时必须注意排除偶然的虚报.
设记录持续时间为T, 总的记录道数为K, 信号和噪音频带宽度为B (先行滤波, 使之成为限带), 对于根据需要指定的信噪比, 由(8), (9), (10)式计算F 统计的参数N 1, N 2 和λ, 再根据所需要的置信度α求得阀值F 0:
αλ=≥}|{0,,21F F P N N (14)
为在该道集的记录中探测预定速度的地震波在各道的到时, 可以在这个大小为T(秒)-K(道) 的时间–记录道平面开一个二维扫描小窗, 其时间长度为τ, 包括相邻κ道. 另这一小窗在该平面上移动, 每次覆盖的区域都包含前一次的部分区域. 每次都计算窗内的F 统计值, 并与F 0比较. 设置一个逻辑标志flag, 如果窗内的F 统计值大于F 0, 记为1, 否则记为0. 如果所有覆盖过第k 道时刻t i 的窗flag 都为1, 则认为这个地震波在时刻t i 到达第k 道 (胡天跃等, 1998).
探测窗不能太大或太小. 太大, 则探测精度降低; 太小, 则F 统计值计算缺乏可靠性.
四、算例
(一) 软件环境简介
采用由美国Advance 公司开发的大型商用地震资料处理软件ProMAX. 该软件系统具有2D, 3D, Prospector 三套子处理系统, 处理流程由模块编程产生, 采用菜单式管理方式, 处理参数通过菜单交互输入.
本专业计算机实验室的ProMAX 系统拥有三百多个模块, 分成二十一个功能项, 包括输入输出, 观测系统, 编辑/切除/去噪, 振幅/AVO, 静校正; 折射/剩余静校正, 反褶积, 滤波和各种变换, 信号增强, 速度分析, 迭加/道集, 偏移
/DMO, 射线追踪/层析成像/深度转换, 子波处理/反演, 等. 安装在本专业SUN 工作站上.
(二) 模型计算
目前是利用ProMAX 合成地震记录, 考虑以后使用实际地震勘探资料计算. 如果时间间隔s T 08.0=, 频率带宽Hz B 5.37=, 记录道数30=K , 那么就需要考察自由度621==BT N , 174)1(12=-=K N N 的F 统计. 如果测试的信噪能量比分别为0, 0.01, 0.02, 0.04, 对应的非中心参数定义λ为0, 1.8, 3.6, 7.2, 相应的F 统计函数分别是)0,174,6(F ,)8.1,174,6(F ,)6.3,174,6(F ,)2.7,174,6(F , 图1和图2分别是对应的概率密度和统计函数的分布图. 就80%的概率而言, 当没有信号时对应的F 统计函数)0,174,6(F 不会超过1.4. 而对于信噪能量比为0.01, 0.02, 0.04, 概率为80%对应的F 统计函数)8.1,174,6(F ,)6.3,174,6(F ,)2.7,174,6(F 的临界值分别为1.9, 2.3, 3.0.
图3是F 检测用于合成资料的信号探测的算例. 由图可见, 04.0)/(2=N S 时, 信号很难被检测出来; 而若02.0)/(2≤N S , 则容易检测出信号. 所以, 降低探测的信噪比可以提高信号的检测.
图1: F 统计函数)0,174,6(F ,)8.1,174,6(F ,)6.3,174,6(F ,)2.7,174,6(F 的概率密度图
图2: F 统计函数)0,174,6(F ,)8.1,174,6(F ,)6.3,174,6(F ,)2.7,174,6(F 的概率分布图
FTEST = 0: 输入的合成记录道集;
1: 探测 (S/N)2 ≥0的信号;
2: 探测 (S/N)2 ≥0.01的信号;
3: 探测 (S/N)2 ≥0.02的信号;
4: 探测 (S/N)2 ≥0.04的信号.
图3: 合成记录道集的F 检测
(三) 实际资料计算
图4显示了对一个实际的共中心点道集的剩余分析应用F 检测. 输入数据消除了有效波成分, 且有许多相关噪音. 应用F 检测来探测两条相关噪音的同相轴, 其速度分别是2134m/s 和2588m/s. F 检测参数为: s T 064.0=, Hz B 5.37=, 30=K , 1.0)/(2=N S , 从而F 的阀值为6.4, 相应的F 统计函数为)15,145,5(F .
FTEST = 0: 输入的无初至的实际道集记录;
1: 探测速度为2588m/s的信号;
2: 探测速度为2134m/s的信号;
3: 两个不同速度.
图4:北海北部一个实际的共中心点道集记录的剩余分析的F检测
五、结论
F 统计能够对给定平均信噪比S/N从非常强的背景噪音中探测微弱信号. 这对探测特定的同相轴非常有用. 为了捕捉微弱同相轴, 记录道数K应该较大, 时间间隔T应该与扫描T-K窗口中目标同相轴的子波长度相当. F检测与非中心参数之间的非线性关系意味着应该从丢失信号和虚报信号的最佳点中同时确定F检测及平均信噪比S/N的临界值.
对于实际资料, 除了有效波外仍然还有许多相关信号. 不用F检测也能够容
易地发现这些相关信号. 在速度分析中, 不必引入像F检测及平均信噪比S/N的临界值这样的参数, 也能够检测出所有可能的信号. 因而, F统计的应用是不方便的. 但是, 对于从速度分析中检测到的信号, 只有F统计是与信噪比相联系的.
致谢
作为一名本科生, 我的每一点进步都与老师的教导和学长的帮助分不开. 感谢我的指导教师和在各方面给了我教益的老师, 感谢给予我帮助的本系和外系的学长. 感谢我的父母, 他们支持我选择了我的专业, 并且在我企图退缩的时候鼓励我前行.
参考文献:
[1]M.Abramowitz and I.A.Stegun, 1964, Handbook of mathematical
functions: with formula, graphs, and mathematical tables, U.S.
Government Printing Office
[2]E.J.Douze and ster, Statistics of Semblance, Geophysics,
December 1979, Vol.44, No.12, Page 1999.
[3]R.R.Blandford, An Automatic Event Detector at the Tonto Forest
Seismic Observatory, Geophysics, October 1974, Vol.39, No.5, Page 633.
[4]胡天跃等, 用F统计方法进行残余分析, 中国地球物理学会年刊, 1998, 14卷,
83页.
作者简介：
孙朗秋, 女, 1980年9月出生于四川, 1999年考入北京大学, 现就读于地球与空间科学学院地球物理系, 固体地球物理专业.
感悟与寄语：
比较深入地了解了本学科的学术规范和研究方法，更加坚定了我对本专业的信心。

通过阅读大量专业文献，我认识到了本专业的重要性，这样，提高了我的专业稳定性；同时了解了本专业的研究的许多重要思想，对本专业的研究目的和手段有了比较清晰的认识。

这一年中，我提前学习了一些研究生课程，这些课程对我来说是比较有挑战性的。

我认识到，必须塌实，才能真正学到东西，做好工作。

不但要勤奋，肯钻研，还要善于钻研。

要高效地做好工作，应特别注意广泛获取资源，因此，合作精神更尤显重要。

作为起步者，进步就必须依靠虚心向师长学习。

指导教师简介：
胡天跃, 北京大学地球物理学系副教授, 1995年获得英国伦敦大学博士学位. 中国地球物理学会信息地球物理专业委员会副主任; 国际勘探地球物理学家协会北京联络部执委会副主席. 获中国海洋石油总公司2001年科技进步一等奖. 研究方向: 勘探地球物理学, 地球物理信号处理.。