如何突破《二项式定理》教学难点的几点商榷

关于《二项式定理》教学设计的一点想法
———对一堂优质课教学片断的思考
景宁中学 张魏岳
二项式定理第1课时教学过程中，教学的重点和难点都集中在展开式的获得这一点上。

一直来，我都在思考，怎样进行设计，才能更好的突破好这个教学难点。

去年在杭州有幸参加2009年浙江省高中数学课堂教学评比活动，其中有六位优秀教师的授课内容就是二项式定理第1课时，听思结合，感觉获益匪浅。

六位教师在《二项式定理》第1课时的教学中，不论是课题的引入，还是问题的展开与分析，各有各的特色，且都非常的精彩。

但对于如何获得二项式定理的探讨，有一个环节几乎都是一致，即引导学生观察归纳()2
a b +，()3a b +，()4
a b +的展开式的系列特征，甚至猜想()5
a b +的展开式，然后对一般的多项式的乘法如：
1212()()a a b b ++，121212()()()
a a
b b
c c +++的展开规律的分析，再将()2a b +、()3
a b +、
()4
a b +表示成如上的形式，结合组合数的应用技巧，从而获得二项式定理。

本人觉得这其中有几个问题值得商榷。

现举一课例如下：
师：二项式定理研究的是()n a b +的展开式，如()2
22
2a b a ab b
+=++，
()3
a b +=？（生计算回答） ()4
a b +=？（生计算回答）
你能写出()100
a b +的展开结果吗？ 生思考。

师：如果我们选择降次转化，计算会相当的繁琐。

师：现在我们来研究更一般的形式：()n
a b +的展开结果又是什么? 师：为了解决这个问题，我们先一起回顾多项式的乘法。

问题1：1212()()a a b b ++的展开式是什么？展开式有几项？每一项是怎样构成的？
生答，师作补充说明。

问题2：121212()()()a a b b c c +++每一项是怎么构成的？展开式有几项？ 生答。

师作一些提示与补充。

师：现我们回过来再重新分析()3
a b +的展开式。

探究1：不运算()3
a b +，能否回答下列问题（请以两人为一小组进行讨论）：
（1） 合并同类项前展开式共有几项？ （2） 展开式中有哪些不同的项？ （3） 各项的系数为多少？
（4） 从上述三个问题，你你能否得出()3
a b +的展开式？
生思考探究。

探究2：仿照上述过程，请你推导()4
a b +的展开式。

生思考探究。

探究3：仿照上述过程，请你推导()n a b +的展开式。

……
在此教学片断中，教师对二项式定理内容进行了合理的分割与肢解，突出定理的重点，人为且有效的降低定理获得的难点，较为流畅的按教师自己预设的教学节奏进行教学。

在这个课例中，个人认为，教师先从()2
a b +，()3a b +，()4
a b +的展开式切入，对于学生来说，确实是自然又亲切；进而要求学生解决()100
a b +的展开式，目的是为了引发学生的认知冲突，问题设置也很合理；但为了探究()n
a b +的展开式，转而研究1212()()a a b b ++的展开式时，这其中教师如何组织教学的过度与衔接是一个值得探讨的问题；此外，在这种探究教学中，学生的思维应该是不流畅的，转化显得较突然而生硬，教师如何整合学生的探究思维可以说也是一个值得商榷的问题。

在探究()100
a b +或()n
a b +的展开式或探究定理的内容时，比较自然的处理方式有两种。

处理方式一：
直接遵循课本的处理方式，引导学生回归到探索二项展开式系数如何生成的路子上来，系数的获得其实就是探求展开式中同类项合并问题。

师作简单的情景创设；
师：二项式定理研究的是()n
a b a ab b
2
+=++，
a b
+的展开式，如()222 ()3
+=？
a b
()4
+=？
a b
生计算作答；
师引导学生将每个展开式按a的降幂排列进行书写；
师：从这几个展开式中，我们一起来观察并思考这几个等式右边有些什么结构特点呢？
生观察讨论；
预设学生能获得展开式的项数规律：
n=时，展开式有3项
2
n=时，展开式有4项
3
4
n=时，展开式有5项
以及项的次数及各项中的字母次数的规律：
n=时，展开式每一项都是2次，字母a的次数依次递减，而字母b的次数依2
次递增；
n=时，展开式每一项都是3次，字母a的次数依次递减，而字母b的次数依3
次递增；
n=时，展开式每一项都是4次，字母a的次数依次递减，而字母b的次数依4
次递增；
但对于系数的规律难以发现！
师：同学们对于二项式定理内容已经做了一些基础性的分析，现在让我们一起
来攻克定理发现的最后一步也是最困难一步----系数规律研究。

师：系数规律常见有两种分析方法，系数的前后联系分析或系数本身的生成特点分析，老师估计有些同学已经自觉或不自觉的采用了这两种方法去探究。

师生略作交流；
师：今天我们采用第二种方法来研究，也即这些展开式的系数是怎么得来的，它们的生成特点是怎样的。

---
教学过程这样设计，一方面可以将学生从致力于用想通过观察归纳获得系数规律的思路上转移过来，另一方面又可以把为什么要用计数原理的方法来研究作个铺垫。

处理方式二：通过分析()2
a b +，()3a b +，()4
a b +的展开式的特征，试图寻找展开式的规律。

学生应该不难发现展开式的项数规律、项的次数及各项中的字母次数的规律；系数规律比较难以发现，但估计很多学生可能会试着去寻找这些展开式不同次数间系数的变化规律。

而这种探索方式，不正是寻找杨辉三角的路径吗？只要稍加引导学生排出如下的三角阵：
1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1
若学生能看出上下两行间数的变化规律：不妨设2次展开式的系数依次为
1
2222
,,X X X
,3次展开式的系数依次为01233333,,,X X X X ,4次展开式的系数依次为
1
2
3
4
44444
,,,,X X X X X ,则有01n n n X X ==，111k k k n n n X X X ---=+，（2,34;,2,...,1n k n ==
-
）。

此时可追问学生是否见过这类型式子，如果学生能由这个式子的特征联想到组合数的一个关系式：111k k k n n n C C C ---=+，并由此猜想k k n n X C =，进而初步验证2,3,4n =时的结果，学生就不难获得二项式定理。

这个规律更一般的获得其实也可以从如下式子中发现：
设()
1
01
12
11
1
11
11111......n n n k n k
k k n k k n n n n n n n a b X a
X a
b X a
b
X a
b X b
---------------+=++++++
()1
()()n n
a b a b a b -+=++
1
1
2
1
1
1
11
11111()(......)n n k n k
k k n k k n n n n n n n a b X a
X a
b X a
b
X a
b X b
--------------=+++++++
01
1
11
111111()...()...n
n k k
n k
k
n n
n n n n n n X a X X a b X X a
b X b ----------=+++++++
1
1
......n
n k
n k
k n n
n n n n X a X a
b X a
b X b
--=+++++
对二项式定理的这种探究方式，我觉得更加符合学生的思维习惯；教师从
()2a b +，()3a b +，()4
a b +三个特殊的例子切入，我想学生的思维可能更加倾向于“从特殊到一般的观察归纳”的推理，致力于寻找前后之间联系，而不是仅仅为了发现展开式项数规律、项的次数及各项中的字母次数的规律。

这种探究方式，让学生不但经历了一次从特殊到一般的观察归纳的推理探索，同时还体验了一回发现杨辉三角的成就感。

解题中思维自然至上，教法中也要兼顾自然。

定理课的教学，重在对定理的探索发现以及应用，尤其是二项式定理的教学，有着很多的数学文化在里头，我觉得上述的探究方式可以尝试。

定理内容或定理证明的探索，如果可能，多角度的进行展开，对学生的思维培养，应该是有帮助的。

二项式定理作为计数原理的应用，课本中的探索方式，在课堂上还是要很好的落实。

诚然，前面的这种探求方式是建立在假设学生能看出展开式系数的三角阵上下两行数之间的关系的前提下。

当学生不能发现这个关系时，课本中的探求思路则成了必然的选择；从特殊到一般的这种推理探索，可以作为课外的补充。