河南省信阳市第七中学高二数学理下学期期末试卷含解析

河南省信阳市第七中学高二数学理下学期期末试卷含
解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 设全集为R，集合，，则（）
A. (－∞,－1)
B. (－∞,－1]
C. (－2,－1)
D. (－2,－1]
参考答案：
D
【分析】
求出集合和，由此能求出().
【详解】集合＝＝，集合，全集为，所以=，
所以()=
故选：D
【点睛】本题考查集合的交集、补集的求法，属于基础题，
2. 设，那么数列a、b、c是
A．是等比数列但不是等差数列B．是等差数列但不是等比数列
C．既是等比数列又是等差数列D．既不是等比数列又不是等差数列参考答案：
B
略
3. 已知函数，下面结论错误的是( )
A．函数f（x）的最小正周期为π
B．函数f（x）是偶函数
C．函数f（x）的图象关于直线对称
D．函数f（x）在区间上是增函数
参考答案：
C
【考点】三角函数的周期性及其求法；正弦函数的对称性．
【专题】三角函数的图像与性质．
【分析】函数=﹣cos2x分别求出的周期、奇偶性、单调区间、对称中心，可得A、B、D都正确，C错误．
【解答】解：对于函数=﹣cos2x，它的周期等于，故A 正确．
由于f（﹣x）=﹣cos（﹣2x）=﹣cos2x=f（x），故函数f（x）是偶函数，故B正确．
令，则=0，故f（x）的一个对称中心，故C错误．
由于0≤x≤，则0≤2x≤π，
由于函数y=cost在上单调递减
故y=﹣cost在上单调递增，故D正确．
故选C．
【点评】本题主要考查函数的图象变换规律，复合三角函数的周期性、单调性的应用，属于中档题．
4. 若动点到点和直线的距离相等，则点的轨迹方程为
（）
A． B．
C． D．
参考答案：
D
5. 双曲线的离心率小于2，则k的取值范围是 ( )
A.（-∞,0）
B.(-3,0)
C.(-12,0)
D.(-12,1)
参考答案：
C
略
6. 抛物线上有一点M，它的横坐标是3,它到焦点的距离是5,则抛物线方程为( )
A. B. C.
D.
参考答案：
A
7. 抛物线y=(1-2x)2在点x=处的切线方程为（）
A、y=0
B、8x－y－8=0
C、x =1 D 、y=0或者8x－y－8=08.
参考答案：
B
8. 已知三个正态分布密度函数（, ）的图象如图所示则（）
A.
B.
C.
D.
参考答案：
D
【分析】
正态曲线关于x＝μ对称，且μ越大图象越靠近右边，第一个曲线的均值比第二和第三和图象的均值小，且二，三两个的均值相等，又有σ越小图象越瘦长，得到正确的结果．【详解】根据课本中对正太分布密度函数的介绍知道：当正态分布密度函数为
，则对应的函数的图像的对称轴为：，
∵正态曲线关于x＝μ对称，且μ越大图象越靠近右边，
∴第一个曲线的均值比第二和第三和图象的均值小，且二，三两个的均值相等，
只能从A，D两个答案中选一个，
∵σ越小图象越瘦长，
得到第二个图象的σ比第三个的σ要小，第一个和第二个的σ相等
故选：D．
【点睛】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查密度函数中两个特征数均值和标准差对曲线的位置和形状的影响，是一个基础题．
9. .复数的模是（）
A. B. C. D.
参考答案：
D
【分析】
先将复数化成形式，再求模。

【详解】
所以模是
故选D.
【点睛】本题考查复数的计算，解题的关键是将复数化成形式，属于简单题。

10. 设函数则不等式f（x）＞f（1）的解集是( )
A．（﹣3，1）∪（3，+∞） B．（﹣3，1）∪（2，+∞） C．（﹣1，1）∪（3，+∞）D．（﹣∞，﹣3）∪（1，3）
参考答案：
A
【考点】一元二次不等式的解法．
【专题】不等式的解法及应用．
【分析】先求f（1），依据x的范围分类讨论，求出不等式的解集．
【解答】解：f（1）=3，当不等式f（x）＞f（1）即：f（x）＞3
如果x＜0 则 x+6＞3可得 x＞﹣3，可得﹣3＜x＜0．
如果x≥0 有x2﹣4x+6＞3可得x＞3或0≤x＜1
综上不等式的解集：（﹣3，1）∪（3，+∞）
故选A．
【点评】本题考查一元二次不等式的解法，考查分类讨论的思想，是中档题．
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 某校高三年级有男生500人，女生400人，为了解该年级学生的健康情况，现采取分层抽样的方法从男生中任意抽取25人，那么应该在女生中任意抽取人.
参考答案：
略
12. 现质检局要考察某公司生产的克袋装牛奶的质量是否达标，现从袋牛奶中抽取袋进行检验，利用随机数表抽取样本时，先将袋牛奶按，，…，进行编号，如果从随机数表第行第列的数开始向右读，请你依次写出最先检测的袋牛奶的编
号
（下面摘取了随机数表第行至第行）
84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76
63 01 63 78 59 16 95 56 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79
33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54
参考答案：
785—667—199—507—175
13. l是经过双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）焦点F且与实轴垂直的直线，A，B是双曲线C的两个顶点，点在l存在一点P，使∠APB=60°，则双曲线离心率的最大值为．
参考答案：
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】设双曲线的焦点F（c，0），直线l：x=c，P（c，n），A（﹣a，0），B（a，0），由两直线的夹角公式化简整理，运用基本不等式，结合离心率公式，即可得到所求最大值．
【解答】解：设双曲线的焦点F（c，0），直线l：x=c，
可设点P（c，n），A（﹣a，0），B（a，0），
由两直线的夹角公式可得tan∠APB=||=≤，
∴≤，
化简可得3c2≤4a2，即c≤a，
即有e≤．
当且仅当n=±，即P（c，±），离心率取得最大值．
故答案为．
【点评】本题考查双曲线的离心率的最值的求法，注意运用两直线的夹角公式和直线的斜率公式及基本不等式，考查化简整理的运算能力，属于中档题．
14. 数列的前项和则它的通项公式是__________；
参考答案：
15. 函数y=（x＞0）的最小值是．
参考答案：
【考点】函数的最值及其几何意义．
【分析】令x+1=t（t＞1），则y==，运用配方法，即可得到所求最小值．
【解答】解：y=，
令x+1=t（t＞1），
则y==
=，
当=，即t=3，即x=2时，取得最小值．
故答案为：．
【点评】本题考查函数的最值的求法，注意运用换元法和配方法，考查运算能力，属于中档题．
16. 如果椭圆上一点到焦点的距离等于，则点到另一个焦点的距离等于。

参考答案：
17. 设分别为双曲线的左右焦点，为双曲线右支上任一点，当的最小值为时，则该双曲线的离心率的取值范围是__________．
参考答案：
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. (1)直线与抛物线相切于点A,求实数的值，及点A的坐标．
(2)在抛物线上求一点，使这点到直线的距离最短。

参考答案：
(1)由得．
因为直线与抛物线C相切，所以，解得；
代入方程即为，解得，y=1，故点A（2,1）．
(2)设点，距离为，
当时，取得最小值，此时为所求的点。

略
19. 在数列{a n}中，，a n+1=．
（1）计算a2，a3，a4并猜想数列{a n}的通项公式；
（2）用数学归纳法证明你的猜想．
参考答案：
【考点】RG：数学归纳法；8H：数列递推式．
【分析】（1）根据，a n+1=可求出a2，a3，a4的值，根据前四项的值可猜想数列{a n}的通项公式；
（2）根据数学归纳法的步骤进行证明即可．
【解答】解：（1）∵，a n+1=．
∴a2==，a3==，a4==
猜想数列{a n}的通项公式为a n=
（2）①n=1时，a1==满足通项公式；
②假设当n=k时猜想成立，即，则==，
当n=k+1时猜想也成立．
综合①②，对n∈N*猜想都成立．
20. 如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C中，侧棱AA1⊥底面ABC，AB=AC=2AA1=2，∠BAC=120°，D，D1分别是线段BC，B1C1的中点，P是线段AD上异于端点的点．
（Ⅰ）在平面ABC内，试作出过点P与平面A1BC平行的直线l，说明理由，并证明直线l⊥平面ADD1A1；
（Ⅱ）设（Ⅰ）中的直线l交AC于点Q，求三棱锥A1﹣QC1D的体积．（锥体体积公式：，其中S为底面面积，h为高）
参考答案：
【考点】直线与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积．
【专题】空间位置关系与距离．
【分析】（Ⅰ）在平面ABC内，过点P作直线l和BC平行，根据直线和平面平行的判定定理可得直线l与平面A1BC平行．
等腰三角形ABC中，根据等腰三角形中线的性质可得AD⊥BC，故l⊥AD．再由AA1⊥底面ABC，可得 AA1⊥l．再利用直线和平面垂直的判定定理可得直线l⊥平面ADD1A1 ．
（Ⅱ）过点D作DE⊥AC，证明DE⊥平面AA1C1C．直角三角形ACD中，求出AD的值，可得
DE 的值，从而求得=的值，再根据三棱锥A1﹣QC1D的体积
==??DE，运算求得结果．
【解答】解：（Ⅰ）在平面ABC内，过点P作直线l和BC平行，由于直线l不在平面
A1BC内，而BC在平面A1BC内，
故直线l与平面A1BC平行．
三角形ABC中，∵AB=AC=2AA1=2，∠BAC=120°，D，D1分别是线段BC，B1C1的中点，
∴AD⊥BC，∴l⊥AD．
再由AA1⊥底面ABC，可得 AA1⊥l．
而AA1∩AD=A，
∴直线l⊥平面ADD1A1 ．
（Ⅱ）设（Ⅰ）中的直线l交AC于点Q，过点D作DE⊥AC，
∵侧棱AA1⊥底面ABC，故三棱柱ABC﹣A1B1C为直三棱柱，
故DE⊥平面AA1C1C．
直角三角形ACD中，∵AC=2，∠CAD=60°，∴AD=AC?cos60°=1，∴DE=AD?sin60°=．∵===1，
∴三棱锥A1﹣QC1D的体积==??DE=×1×=．【点评】本题主要考查直线和平面平行、垂直的判定定理的应用，用等体积法求三棱锥的体积，属于中档题．
21. （本小题满分12分）设函数. （1）求函数的极值和单调区间；
（2）求函数在区间上的最大值和最小值。

参考答案：
解：（1），解方程得或
3
+0--+
根据上表可知：函数的增区间：，减区间：
当时，函数的极大值为4；当时，函数的极小值为3
（2）又因为，，且
所以，，
略
22. 已知复数.
（1）若z是纯虚数，求a；
（2）若，求.
参考答案：
解：（1）若是纯虚数，
则，所以.
（2）因为，
所以，所以或.
当时，，. 当时，，.。