《双曲线的定义》 知识清单

《双曲线的定义》知识清单
一、双曲线的定义
平面内到两个定点$F_1$、＄F_2$的距离之差的绝对值等于常数（小于$｜F_1F_2|＄）的点的轨迹叫做双曲线。

这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距，通常用$2c$表示。

需要注意的是，距离之差的绝对值要小于两焦点之间的距离。

如果距离之差的绝对值等于两焦点之间的距离，那么轨迹就是以两焦点为端点的两条射线；如果距离之差的绝对值大于两焦点之间的距离，那么轨迹不存在。

二、双曲线的标准方程
1、焦点在$x$轴上的双曲线的标准方程为：＄＼frac{x^2}｛a^2} ＼frac{y^2}｛b^2} ＝ 1$（＄a ＞ 0$，＄b ＞ 0$），其中$a$表示双曲线的实半轴长，＄b$表示双曲线的虚半轴长，且$c^2 ＝ a^2 ＋ b^2$，焦点坐标为$F_1(c, 0)＄，＄F_2(c, 0)＄。

2、焦点在$y$轴上的双曲线的标准方程为：＄＼frac{y^2}｛a^2} ＼frac{x^2}｛b^2} ＝ 1$（＄a ＞ 0$，＄b ＞ 0$），焦点坐标为$F_1(0,
c)＄，＄F_2(0, c)＄。

三、双曲线的几何性质
1、范围
对于焦点在$x$轴上的双曲线$＼frac{x^2}｛a^2} ＼frac{y^2}｛b^2} ＝ 1$，＄x$的取值范围是$x ＼leq a$或$x ＼geq a$；＄y$的取值范围是$R$。

对于焦点在$y$轴上的双曲线$＼frac{y^2}｛a^2} ＼frac{x^2}｛b^2} ＝ 1$，＄y$的取值范围是$y ＼leq a$或$y ＼geq a$；＄x$的取值范围是$R$。

2、对称性
双曲线关于$x$轴、＄y$轴和原点都是对称的。

3、顶点
双曲线有两个顶点。

对于焦点在$x$轴上的双曲线，顶点坐标为$（a, 0)＄和$（a, 0)＄；对于焦点在$y$轴上的双曲线，顶点坐标为$（0, a)＄和$（0, a)＄。

4、渐近线
焦点在$x$轴上的双曲线$＼frac{x^2}｛a^2} ＼frac{y^2}｛b^2} ＝1$的渐近线方程为$y ＝＼pm ＼frac{b}｛a}x$；焦点在$y$轴上的双曲线$＼frac{y^2}｛a^2} ＼frac{x^2}｛b^2} ＝ 1$的渐近线方程为$y ＝＼pm ＼frac{a}｛b}x$。

渐近线是双曲线的重要特征，它描述了双曲线在无限远处的走向。

5、离心率
双曲线的离心率$e ＝＼frac{c}｛a}＄（＄e ＞ 1$），其中$c$是焦距的一半，＄a$是实半轴长。

离心率反映了双曲线的开口大小，离心率越大，双曲线的开口越大。

四、双曲线的应用
双曲线在实际生活中有广泛的应用。

例如，在天文学中，天体的运行轨道可能是双曲线；在建筑学中，双曲线形状的结构可以用于设计独特的建筑外观；在导航系统中，双曲线的原理可以用于定位等。

五、双曲线的解题技巧
1、利用定义解题
当题目中给出与双曲线的定义相关的条件时，可以通过距离之差的绝对值等于常数这个条件来确定点的轨迹是否为双曲线，并求出相关的参数。

2、联立方程解题
当涉及到双曲线与直线的位置关系时，可以将直线方程与双曲线方程联立，通过消元得到一个一元二次方程，然后利用判别式、韦达定理等求解。

3、利用几何性质解题
熟练掌握双曲线的几何性质，如顶点、渐近线、离心率等，可以帮助我们快速解决一些与图形相关的问题。

六、典型例题
例1：已知双曲线的焦点在$x$轴上，焦距为$10$，实半轴长为$3$，求双曲线的标准方程和渐近线方程。

解：因为焦距为$10$，所以$2c ＝ 10$，＄c ＝ 5$。

又因为实半轴
长为$3$，即$a ＝ 3$。

由$c^2 ＝ a^2 ＋ b^2$，可得$b^2 ＝ c^2 a^2 ＝ 25 9 ＝ 16$。

所以双曲线的标准方程为$＼frac{x^2}｛9} ＼frac{y^2}｛16} ＝ 1$，渐近线方程为$y ＝＼pm ＼frac{4}｛3}x$。

例 2：求与双曲线$＼frac{x^2}｛16} ＼frac{y^2}｛9} ＝ 1$有共同
渐近线，且经过点$A(2\sqrt{3}，－3)＄的双曲线方程。

解：设所求双曲线方程为$＼frac{x^2}｛16} ＼frac{y^2}｛9} ＝ k(k ＼neq 0)＄，因为点$A(2\sqrt{3}，－3)＄在双曲线上，所以将点代入
方程可得：
＄＼frac{（2\sqrt{3}）＾2}｛16} ＼frac{（－3)＾2}｛9} ＝ k$
＄＼frac{12}｛16} 1 ＝ k$
＄k ＝＼frac{1}｛4}＄
所以所求双曲线方程为$＼frac{x^2}｛16} ＼frac{y^2}｛9} ＝＼
frac{1}｛4}＄，即$＼frac{y^2}｛＼frac{9}｛4}｝＼frac{x^2}｛4} ＝
1$。

七、学习双曲线的注意事项
1、要准确理解双曲线的定义，特别是距离之差的绝对值和小于焦距这两个关键条件。

2、注意区分焦点在$x$轴和$y$轴上的双曲线的标准方程和几何性质的差异。

3、在解题过程中，要灵活运用双曲线的定义、标准方程和几何性质，同时要注意计算的准确性。

总之，双曲线是数学中的一个重要概念，掌握好双曲线的定义、标准方程、几何性质以及解题技巧，对于我们进一步学习数学和解决实际问题都具有重要的意义。