极坐标与参数方程基本知识点

极坐标与参数方程基本知识点
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极坐标与参数方程基本知识点
一、极坐标知识点
1．伸缩变换：设点是平面直角坐标系中的任意一点，在变换的作用下,点对应到点，称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换. 2。

极坐标系的概念：在平面内取一个定点O,从O 引一条射线Ox,选定一个单位长度以及计算角度的正 方向（通常取逆时针方向为正方向），这样就建立了一个极坐标系，O 点叫做极点，射线Ox 叫做极轴。

①极点;②极轴；③长度单位；④角度单位和它的正方向，构成了极坐标系的四要素，缺一不可.
3．点的极坐标：设是平面内一点，极点与点的距离叫做点的极径，记为
；以极轴为始边，射线为终边的叫做点的极角，记为。

有序数对叫做点的极坐标，记为。

极坐标与表示同一个点。

极点的坐标为。

4。

若，则，规定点与点关于极点对称，即与表示同一点。

如果规定，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标表示;同时，极坐标表示的点也是唯一确定的。

5．极坐标与直角坐标的互化：
（1)互化的前提条件
①极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合；
②极轴与x 轴的正半轴重合
),(y x P ⎩
⎨⎧>⋅='>⋅=').0(,y y 0),(x,x :μμλλϕ),(y x P ),(y x P
'''ϕM M O M ||OM M ρOx OM xOM ∠
M θ),(θρM ),(θρM
),(θρ)Z )(2,(
∈+k k πθρO )R )(,0(∈θθ0<ρ0>-ρ),(θρ-),(θρ),(θρ-),(
θπρ+πθρ
20,0≤≤>),(θρ),(θρ
③两种坐标系中取相同的长度单位.
(2）互化公式
6.曲线的极坐标方程：
1．直线的极坐标方程：若直线过点,且极轴到此直线的角为，则它的方程为： 几个特殊位置的直线的极坐标方程
（1）直线过极点 （2）直线过点且垂直于极轴 (3）直线过且平行于极轴 方程:（1） 或写成及 （2) （3）ρsinθ=b 2．圆的极坐标方程： 若圆心为，半径为r 的圆方程为：
几个特殊位置的圆的极坐标方程
（1）当圆心位于极点，r 为半径 （2）当圆心位于（a 〉0),a 为半径 （3)当圆心位于,a 为半径
方程:（1） （2) (3) 7。

在极坐标系中，表示以极点为起点的一条射线；表示过极点的一条直线.
二、参数方程知识点
00(,)M
ρθα00
s i n ()s i n ()ρθ-α=ρθ-αM (a,0)
(,)2M b π)R (∈=ραθa =θρ
cos 00(,)M ρθ2
22000
2c o s ()0r --+-=)0,(a C )2,(πa C )0(>a r =ρθρ
cos 2a =θρsin 2a =)0(≥=ραθ
)R (∈=ραθ )0(n t ,sin ,cos ,222≠===+=x x y a y x y x θθρθρρ
1。

参数方程的概念：在平面直角坐标系中，若曲线C 上的点满足，该方程叫曲
线C 的参数方程,变量t 是参变数，简称参数。

（在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标都是某个变数的函数 并且
对于的每一个允许值，由这个方程所确定的点都在这条曲线上,那么这个方程就叫做这条曲线的参数方程,联系变数的变数叫做参变数，简称参数。

）
相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程.
2．曲线的参数方程
（1）圆
的参数方程可表示为。

（2）椭圆的参数方程可表示为.
（3)抛物线的参数方程可表示为.
(4）经过点，倾斜角为的直线的参数方程可表示为（为参数）。

3．在建立曲线的参数方程时，要注明参数及参数的取值范围。

在参数方程与普通方程的互化中，必须使的取值范围保持一致.
规律方法指导：
(,)
P x y ()()x f t y f t =⎧⎨=⎩y x ,t ⎩⎨
⎧==),(),(t g y t f x t ),(y x M
y x ,t 222)()(r b y a x =-+-)(.sin ,cos 为参数θθθ⎩⎨⎧+=+=r b y r a x 122
22=+b y a
x )0(>>b a )(.sin ,cos 为参数ϕϕϕ⎩⎨⎧==b y a x px y 22=)(.2,22为参数t pt y pt x ⎩⎨⎧==),(o o O y x M αl ⎩⎨⎧+=+=.sin
,cos o o ααt y y t x x t y x ,
1、把参数方程化为普通方程，需要根据其结构特征，选取适当的消参方法。

常见的消参方法有:代入消法；加减消参;平方和(差)消参法；乘法消参法;比值消参法；利用恒等式消参法；混合消参法等。

2、把曲线的普通方程化为参数方程的关键：一是适当选取参数；二是确保互化前后方程的等价性，注意方程中的参数的变化范围.。