浙江省杭州市富阳市场口中学2014-2015学年高一上学期第一次质检数学试卷

浙江省杭州市富阳市场口中学2014-2015学年高一上学期第一次质检数学试卷
一、选择题（共10小题，每小题分，满分40分.在给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。

）
1．已知集合A={x|﹣3≤x＜4}，B={x|﹣2≤x≤5}，则A∩B=（）
A．{x|﹣3≤x≤5} B．{x|﹣2≤x＜4} C．{x|﹣2≤x≤5} D．{x|﹣3≤x＜4}
2．集合U，M，N，P如图所示，则图中阴影部分所表示的集合是（）
A．M∩（N∪P）B．M∩∁U（N∪P）C．M∪∁U（N∩P）D．M∪∁U（N∪P）
3．下列所给四个图象中，与所给3件事吻合最好的顺序为（）
（1）我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是立刻返回家里取了作业本再去上学；
（2）我骑着车一路以常速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间；
（3）我出发后，心情轻松，缓缓行进，后来为了赶时间开始加
速．
A．①②④B．④②③C．①②③D．④①②
4．已知集合M={﹣1，0}，则满足M∪N={﹣1，0，1}的集合N的个数是（）
A．2B．3C．4D．8
5．设函数则f（6）=（）
A．10 B．﹣10 C．8D．﹣8
6．已知函数f（x）=4x2﹣mx+5在区间[﹣2，+∞）上是增函数，则f（1）的范围是（）A．f（1）≥25 B．f（1）=25 C．f（1）≤25 D．f（1）＞25
7．若函数y=f（x）为偶函数，且在（0，+∞）上是减函数，又f（3）=0，则
的解集为（）
A．（﹣3，3）B．（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞）C．（﹣3，0）∪（3，+∞）D．（﹣∞，﹣3）∪（0，3）
8．设函数，则（a≠b）的值是（）
A．a B．b
C．a，b中较小的数D．a，b中较大的数
9．已知函数y=f（x），x∈[a，b]，那么集合{（x，y）|y=f（x），x∈[a，b]}∩{（x，y）|x=2}中元素的个数为（）
A．1B．0C．1或0 D．1或2
10．f（x）=是定义在（﹣∞，+∞）上是减函数，则a的取值范围是（）
A．[，）B．[0，]C．（0，）D．（﹣∞，]
二、填空题：（本大题共7小题，每小题4分，共28分）
11．函数的定义域为．
12．已知函数f（x）是偶函数，当x≤0时，f（x）=x（x+1），则当x＞0时f（x）=．
13．f（x）、g（x）都是定义在R上的奇函数，且F（x）=3f（x）+5g（x）+2，若F（a）=b，则F（﹣a）=．
14．若f（x）=（m﹣1）x2+6mx+2是偶函数，则f（0）、f（1）、f（﹣2）从小到大的顺序是．
15．已知函数，则在区间（0，2]上的最大值为．
16．已知函数，则
的值为．
17．对于定义在R上的函数f（x），有如下四个命题：
①若f（0）=0，则函数f（x）是奇函数；
②若f（﹣4）≠f（4），则函数f（x）不是偶函数；
③若f（0）＜f（4），则函数f（x）是R上的增函数；
④若f（0）＜f（4），则函数f（x）不是R上的减函数．
其中正确的命题有．（写出你认为正确的所有命题的序号）
三、解答题：（本大题共4小题，共52分，要写出详细的解答过程或证明过程）
18．若集合A={x|﹣3≤x≤4}和B={x|2m﹣1≤x≤m+1}．
（1）当m=﹣3时，求集合A∩B；
（2）当B⊆A时，求实数m取值范围．
19．已知
（1）画出这个函数的图象；
（2）求函数的单调区间；
（3）求函数f（x）的最大值和最小值．
20．已知函数f（x）=，x∈（﹣1，1）
（1）判断函数f（x）的奇偶性，并证明；
（2）判断函数f（x）的单调性，并证明；
（3）求使f（1﹣m）+f（1﹣m2）＜0成立的实数m的取值范围．
21．已知二次函数f（x）=ax2+bx（a，b为常数，且a≠0）满足条件：f（2）=0，且方程f （x）=x有两个相等的实数根．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求函数在区间[﹣3，3]上的最大值和最小值；
（3）是否存在实数m，n（m＜n），使f（x）的定义域和值域分别为[m，n]和[2m，2n]，如果存在，求出m，n的值，如不存在，请说明理由．
浙江省杭州市富阳市场口中学2014-2015学年高一上学期第一次质检数学试卷
一、选择题（共10小题，每小题分，满分40分.在给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。

）
1．已知集合A={x|﹣3≤x＜4}，B={x|﹣2≤x≤5}，则A∩B=（）
A．{x|﹣3≤x≤5} B．{x|﹣2≤x＜4} C．{x|﹣2≤x≤5} D．{x|﹣3≤x＜4}
考点：交集及其运算．
专题：计算题．
分析：题设中两个集合已经是最简，故由集合的交集的定义直接求出它们的公共部分，得到交集
解答：解：∵集合A={x|﹣3≤x＜4}，集合B={ x|﹣2≤x≤5}，
∴A∩B={|﹣2≤x＜4}
故选B．
点评：本题考查交集及其运算，解答本题关键是理解交集的定义，由定义进行运算求出交集．
2．集合U，M，N，P如图所示，则图中阴影部分所表示的集合是（）
A．M∩（N∪P）B．M∩∁U（N∪P）C．M∪∁U（N∩P）D．M∪∁U（N∪P）
考点：Venn图表达集合的关系及运算．
专题：图表型．
分析：根据题目所给的图形得到以下几个条件：①在集合M内；②不在集合P内；③不在集合N内．再根据集合的交集、并集和补集的定义得到正确答案．
解答：解：根据图形得，阴影部分含在M集合对应的椭圆内，应该是M的子集，
而且阴影部分不含集合P的元素，也不含集合N的元素，应该是在集合P∪N的补集中，即在C U（P∪N）中，
因此阴影部分所表示的集合为M∩C U（P∪N），
故选B．
点评：本题着重考查了用Venn图表达集合的关系及集合的三种运算：交集、并集、补集的相关知识，属于基础题．
3．下列所给四个图象中，与所给3件事吻合最好的顺序为（）
（1）我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是立刻返回家里取了作业本再去上学；
（2）我骑着车一路以常速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间；
（3）我出发后，心情轻松，缓缓行进，后来为了赶时间开始加
速．
A．①②④B．④②③C．①②③D．④①②
考点：函数的图象．
专题：数形结合．
分析：根据回家后，离家的距离又变为0，可判断（1）的图象开始后不久又回归为0；由途中遇到一次交通堵塞，可判断中间有一段函数值没有发生变化；由为了赶时间开始加速，可判断函数的图象上升速度越来越快．
解答：解：离家不久发现自己作业本忘记在家里，回到家里，这时离家的距离为0，故应先选图象④；
回校途中有一段时间交通堵塞，则这段时间与家的距离必为一定值，故应选图象①；
最后加速向学校，其距离与时间的关系为二次函数，故应选图象②．
故选D．
点评：本题考查的知识点是函数的图象，我们分析实际情况中离家距离随时间变化的趋势，找出关键的图象特征，对四个图象进行分析，即可得到答案．
4．已知集合M={﹣1，0}，则满足M∪N={﹣1，0，1}的集合N的个数是（）
A．2B．3C．4D．8
考点：并集及其运算．
专题：计算题．
分析：由M与N的并集得到集合M和集合N都是并集的子集，又根据集合M的元素得到元素1一定属于集合N，找出两并集的子集中含有元素1的集合的个数即可．
解答：解：由M∪N={﹣1，0，1}，
得到集合M⊆M∪N，且集合N⊆M∪N，
又M={0，﹣1}，所以元素1∈N，
则集合N可以为{1}或{0，1}或{﹣1，1}或{0，﹣1，1}，共4个．
故选C．
点评：此题考查了并集的意义，以及子集和真子集．要求学生掌握并集的意义，即属于M 或属于N的元素组成的集合为M和N的并集，由集合M得到元素1一定属于集合N是本题的突破点．
5．设函数则f（6）=（）
A．10 B．﹣10 C．8D．﹣8
考点：函数的值．
专题：计算题；函数的性质及应用．
分析：由x＜10时，f（x）=f[f（x+6）]；x≥10时，f（x）=x﹣2，对于所求的式子f（6），逐步求出所求的值．
解答：解：∵，
∴f（6）=f[f（6+6）]=f[f（12）]
=f（12﹣2）
=f（10）
=10﹣2
=8
故选：C．
点评：本题考查了函数迭代，明确题中函数的迭代式以及运算法则是解本题的关键．
6．已知函数f（x）=4x2﹣mx+5在区间[﹣2，+∞）上是增函数，则f（1）的范围是（）A．f（1）≥25 B．f（1）=25 C．f（1）≤25 D．f（1）＞25
考点：函数单调性的性质．
专题：计算题．
分析：由二次函数图象的特征得出函数f（x）=4x2﹣mx+5在定义域上的单调区间，由函数f（x）=4x2﹣mx+5在区间[﹣2，+∞）上是增函数，可以得出[﹣2，+∞）一定在对称轴的右侧，故可以得出参数m的取值范围，把f（1）表示成参数m的函数，求其值域即可．
解答：解：由y=f（x）的对称轴是x=，可知f（x）在[，+∞）上递增，
由题设只需≤﹣2⇒m≤﹣16，
∴f（1）=9﹣m≥25．
应选A．
点评：本小题的考点是考查二次函数的图象与二次函数的单调性，由此得出m的取值范围再，再求以m为自变量的函数的值域．
7．若函数y=f（x）为偶函数，且在（0，+∞）上是减函数，又f（3）=0，则
的解集为（）
A．（﹣3，3）B．（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞）C．（﹣3，0）∪（3，+∞）D．（﹣∞，﹣3）∪（0，3）
考点：奇偶性与单调性的综合．
专题：函数的性质及应用．
分析：利用函数的奇偶性将不等式进行化简，然后利用函数的单调性确定不等式的解集．解答：解：因为y=f（x）为偶函数，所以，
所以不等式等价为．
因为函数y=f（x）为偶函数，且在（0，+∞）上是减函数，又f（3）=0，
所以解得x＞3或﹣3＜x＜0，
即不等式的解集为（﹣3，0）∪（3，+∞）．
故选C．
点评：本题主要考查函数奇偶性的应用，利用数形结合的思想是解决本题的关键．
8．设函数，则（a≠b）的值是（）
A．a B．b
C．a，b中较小的数D．a，b中较大的数
考点：分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的值．
专题：作差法．
分析：计算f（a﹣b）时先讨论a、b的大小去“f”，通过化简整理问题得以解决．
解答：解：当a﹣b＞0时，=
当a﹣b＜0时，=
所以值为a，b中较大的数，故选D
点评：本题考查了分段函数，分类讨论的思想，属于基础题．
9．已知函数y=f（x），x∈[a，b]，那么集合{（x，y）|y=f（x），x∈[a，b]}∩{（x，y）|x=2}中元素的个数为（）
A．1B．0C．1或0 D．1或2
考点：元素与集合关系的判断．
专题：计算题；函数思想．
分析：先将题目转化成求函数y=f（x），x∈[a，b]的图象与直线x=2的交点个数（这是一次数到形的转化），函数y=f（x）的定义域是[a，b]，，但未明确给出2与[a，b]，的关系，当1∈[a，b]时有1个交点，当1∉[a，b]时没有交点．
解答：解：从函数观点看，问题是求函数y=f（x），x∈[a，b]的图象与直线x=2的交点个数（这是一次数到形的转化），
不少学生常误认为交点是1个，并说这是根据函数定义中“惟一确定”的规定得到的，这是不正确的，
因为函数是由定义域、值域、对应法则三要素组成的．
这里给出了函数y=f（x）的定义域是[a，b]，但未明确给出1与[a，b]的关系，当1∈[a，b]时有1个交点，当1∉[a，b]时没有交点，
故选C．
点评：本题首先要识别集合语言，并能正确把集合语言转化成熟悉的语言，主要考查了交集的运算，属于基础题．
10．f（x）=是定义在（﹣∞，+∞）上是减函数，则a的取值范围是（）
A．[，）B．[0，]C．（0，）D．（﹣∞，]
考点：函数单调性的性质．
专题：函数的性质及应用．
分析：由题意可得3a﹣1＜0、﹣a＜0、且﹣a≤3a﹣1+4a，解由这几个不等式组成的不等式组，求得a的范围．
解答：解：由题意可得，求得≤a＜，
故选：A．
点评：本题主要考查函数的单调性的性质，属于基础题．
二、填空题：（本大题共7小题，每小题4分，共28分）
11．函数的定义域为{x|x≤4且x≠2}．
考点：函数的定义域及其求法．
专题：计算题．
分析：求这个函数的定义域即要满足偶次开方非负，即4﹣x≥0，及分母不为0，即x﹣2≠0，进而求出x的取值范围．
解答：解：由4﹣x≥0且x﹣2≠0，
得x≤4且x≠2．
故答案为：{x|x≤4且x≠2}．
点评：求定义域经常遇到偶次开方时的被开方数一定非负，分母不为0，对数函数的真数一定要大于0的情况．
12．已知函数f（x）是偶函数，当x≤0时，f（x）=x（x+1），则当x＞0时f（x）=x2﹣x．
考点：函数奇偶性的性质．
专题：函数的性质及应用．
分析：设x＞0，则﹣x＜0，代入可得f（﹣x）的解析式，进而利用偶函数的性质f（x）=f（﹣x）即可得出答案．
解答：解：设x＞0，则﹣x＜0，
∵当x≤0时，f（x）=x（x+1），
∴f（﹣x）=﹣x（﹣x+1）x=x2﹣x，
又函数y=f（x）是偶函数（x∈R），
∴f（x）=f（﹣x）=x2﹣x．
故答案为：x2﹣x
点评：本题考查的知识点是函数的奇偶性，熟练掌握偶函数的性质是解题的关键．
13．f（x）、g（x）都是定义在R上的奇函数，且F（x）=3f（x）+5g（x）+2，若F（a）=b，则F（﹣a）=﹣b+4．
考点：函数奇偶性的性质．
专题：计算题；转化思想．
分析：先将原函数通过构造转化为一个奇函数加2的形式，再利用其奇偶性来求值．
解答：解：令G（x）=F（x）﹣2=3f（x）+5g（x），
故G（x）是奇函数，
解得F（﹣a）=﹣b+4．
故答案为：﹣b+4
点评：本题主要考查将函数通过构造转化来应用函数的性质解决函数值问题，从问题来看，已知a的函数值，来﹣a求函数值，一般要用到奇偶性．
14．若f（x）=（m﹣1）x2+6mx+2是偶函数，则f（0）、f（1）、f（﹣2）从小到大的顺序是f（﹣2）＜f（1）＜f（0）．
考点：函数奇偶性的性质；二次函数的性质．
专题：函数的性质及应用．
分析：利用函数的奇偶性即可得出m，再利用二次函数的单调性即可得出答案．
解答：解：∵f（x）=（m﹣1）x2+6mx+2是偶函数，∴f（﹣x）=f（x），即（m﹣1）x2+6mx+2=（m﹣1）x2﹣6mx+2，化为mx=0，对于任意实数x恒成立，∴m=0．
∴f（x）=﹣x2+2，
当x≥0时，函数f（x）单调递减，∴f（2）＜f（1）＜f（0），
∵f（﹣2）=f（2）．
∴f（﹣2）＜f（1）＜f（0）．
故答案为f（﹣2）＜f（1）＜f（0）．
点评：熟练掌握函数的奇偶性、二次函数的单调性是解题的关键．
15．已知函数，则在区间（0，2]上的最大值为．
考点：基本不等式．
专题：计算题．
分析：将化为：f（x）=（0＜x≤2），利用基本不等式即可求得
答案．
解答：解：∵0＜x≤2，
∴f（x）==≤=（当且仅当x=1时取“=”）．
故答案为：．
点评：本题考查基本不等式，将化为：f（x）=（0＜x≤2）是关键，属于中档题．
16．已知函数，则
的值为．
考点：函数的值．
专题：计算题．
分析：有条件求得f（）=，得到=1，再f（1）=，求出所求
式子的值．
解答：解：∵，∴f（）=，∴=1，再由f（1）=，
可得=f（1）+3=，
故答案为．
点评：本题主要考查求函数的值的方法，求得=1，是解题的关键，属于基础题．
17．对于定义在R上的函数f（x），有如下四个命题：
①若f（0）=0，则函数f（x）是奇函数；
②若f（﹣4）≠f（4），则函数f（x）不是偶函数；
③若f（0）＜f（4），则函数f（x）是R上的增函数；
④若f（0）＜f（4），则函数f（x）不是R上的减函数．
其中正确的命题有②④．（写出你认为正确的所有命题的序号）
考点：函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明．
专题：综合题．
分析：①例如f（x）=x2满足f（0）=0，但函数f（x）不是奇函数；②根据偶函数的定义进行判定即可；③例如f（x）=tanx，f（0）＜f（4），但函数f（x）在R上不是增函数；
④若f（0）＜f（4），则函数f（x）不是R上的减函数．
解答：解：①例如f（x）=x2满足f（0）=0，但函数f（x）不是奇函数；故①错误
②对于定义在R上的函数f（x），满足f（﹣4）≠f（4），不满足偶函数的定义，则函数f（x）不是偶函数，故②正确；
③例如f（x）=tanx，f（0）＜f（4），但函数f（x）在R上不是增函数；故③错误
④若f（0）＜f（4），则函数f（x）不是R上的减函数，正确
故答案为②④
点评：本题主要考查了一些常见函数奇偶性及函数的单调性的综合判断，解题的关键是对常见初等函数的性质的熟练掌握
三、解答题：（本大题共4小题，共52分，要写出详细的解答过程或证明过程）
18．若集合A={x|﹣3≤x≤4}和B={x|2m﹣1≤x≤m+1}．
（1）当m=﹣3时，求集合A∩B；
（2）当B⊆A时，求实数m取值范围．
考点：集合关系中的参数取值问题；交集及其运算．
专题：计算题．
分析：（1）根据题意，由m=﹣3可得集合B，进而由交集的意义可得答案；
（2）分2种情况讨论：①、B=∅时，则B⊆A成立，由2m﹣1＞m+1求出m的范围即可；
②、B≠∅时，有2m﹣1≤m+1，且，解可得m的范围，综合①②可得答案．
解答：解：（1）m=﹣3时，B={﹣7≤x≤﹣2}，
则A∩B={x|﹣3≤x≤﹣2}；
（2）根据题意，分2种情况讨论：
①、B=∅时，则2m﹣1＞m+1，即m＞2时，
B⊆A成立；
②、B≠∅时，则2m﹣1≤m+1，即m≤2时，
必有，解可得﹣1≤m≤3，
又由m≤2，
此时m的取值范围是﹣1≤m≤2，
综合①②可得，m的取值范围是m≥﹣1．
点评：本题考查集合之间关系的判断，（2）注意不能遗漏B=∅的情况．
19．已知
（1）画出这个函数的图象；
（2）求函数的单调区间；
（3）求函数f（x）的最大值和最小值．
考点：函数的单调性及单调区间；函数单调性的性质；函数的图象．
专题：计算题；作图题．
分析：（1）根据f（x）=可作出其图象；
（2）由f（x）的图象可写出函数的单调区间；
（3）由f（x）的图象即可求得函数f（x）的最大值和最小值．
解答：解：（1）∵f（x）=，作出其图象如下：
（2）由f（x）的图象可得，单调递减区间为：[﹣3，﹣2]，[0，1），[3，6]；递增区间为：[﹣2，0），[1，3]．
（3）由f（x）的图象可得，当x=3时，f（x）取得最大值为4，当x=6时，f（x）取得最小值﹣5．
点评：本题考查函数的图象，考查函数的单调性及单调区间，作出函数图象是关键，考查作图能力，分析与解答问题能力，属于中档题．
20．已知函数f（x）=，x∈（﹣1，1）
（1）判断函数f（x）的奇偶性，并证明；
（2）判断函数f（x）的单调性，并证明；
（3）求使f（1﹣m）+f（1﹣m2）＜0成立的实数m的取值范围．
考点：奇偶性与单调性的综合．
专题：函数的性质及应用．
分析：（1）由于函数的定义域关于原点对称，且满足，可得f（x）为奇函数．
（2）根据在函数的定义域内，f′（x）=＞0，可得函数f（x）在（﹣1，1）上
单调递增．
（3）由f（1﹣m）+f（1﹣m2）＜0可得f（1﹣m）＜﹣f（1﹣m2）=f（m2﹣1），故有
，
由此解得m的范围．
解答：解：（1）f（x）为奇函数．
证明：由于函数的定义域为（﹣1，1），关于原点对称，且满足，
∴f（x）为奇函数．…
（2）函数f（x）在（﹣1，1）上单调递增，
证明：当﹣1＜x＜1时，f′（x）=＞0，
故函数f（x）在（﹣1，1）上单调递增．…
（3）由f（1﹣m）+f（1﹣m2）＜0可得f（1﹣m）＜﹣f（1﹣m2）=f（m2﹣1），
∴，解得1＜m＜．…
点评：本题主要考查函数的单调性、奇偶性的综合应用，属于中档题．
21．已知二次函数f（x）=ax2+bx（a，b为常数，且a≠0）满足条件：f（2）=0，且方程f （x）=x有两个相等的实数根．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求函数在区间[﹣3，3]上的最大值和最小值；
（3）是否存在实数m，n（m＜n），使f（x）的定义域和值域分别为[m，n]和[2m，2n]，如果存在，求出m，n的值，如不存在，请说明理由．
考点：一元二次方程的根的分布与系数的关系；函数解析式的求解及常用方法；二次函数在闭区间上的最值．
专题：综合题．
分析：（1）由方程f（x）=x有两个相等的实数根，则△=0，得b，又由f（2）=0，可求a，从而求得f（x）．
（2）先配方确定函数的对称轴，从而可求函数在区间[﹣3，3]上的最大值和最小值；（3）由的最大值，确定n≤，从而知当n≤时，f（x）在[m，n]上为增函数．若满足题设
条件的m，n存在，则，从而可求m，n的值．
解答：解：（1）∵f（2）=0∴4a+2b=0 ①
又方程f（x）=x有等根，即ax2+bx﹣x=0的判别式为零
∴（b﹣1）2=0
∴b=1
代入①a=﹣
∴f（x）=
（2）
∴函数的对称轴为x=1
∴当x=1时，函数取得最大值为；
当x=﹣3时，函数取得最小值为；
（3）∵，f（x）的定义域和值域分别为[m，n]和[2m，2n]，
∴
∴
而f（x）=的对称轴为x=1，
∴当n≤时，f（x）在[m，n]上为增函数．
若满足题设条件的m，n存在，则
即
∴
∵m＜n≤．
∴m=﹣2，n=0，这时，定义域为[﹣2，0]，值域为[﹣4，0]．
由以上知满足条件的m，n存在，m=﹣2，n=0．
点评：本题以二次函数为载体，考查函数与方程的综合运用，考查二次函数解析式的常用解法及分类讨论，转化思想，充分利用二次函数的性质是解题的关键．。