安徽省黄山市2019-2020学年中考第五次模拟数学试题含解析

安徽省黄山市2019-2020学年中考第五次模拟数学试题
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．据统计，某住宅楼30户居民五月份最后一周每天实行垃圾分类的户数依次是：27，30，29，25，26，28，29，那么这组数据的中位数和众数分别是（ ）
A ．25和30
B ．25和29
C ．28和30
D ．28和29
2．下列运算正确的是（ ）
A ．a 3•a 2=a 6
B ．（2a ）3=6a 3
C ．（a ﹣b ）2=a 2﹣b 2
D ．3a 2﹣a 2=2a 2
3．如图是抛物线y 1=ax 2+bx+c （a≠0）图象的一部分，其顶点坐标为A （﹣1，﹣3），与x 轴的一个交点为B （﹣3，0），直线y 2=mx+n （m≠0）与抛物线交于A ，B 两点，下列结论：①abc ＞0；②不等式ax 2+（b ﹣m ）x+c ﹣n ＜0的解集为﹣3＜x ＜﹣1；③抛物线与x 轴的另一个交点是（3，0）；④方程ax 2+bx+c+3=0有两个相等的实数根；其中正确的是（ ）
A ．①③
B ．②③
C ．③④
D ．②④
4．从边长为a 的大正方形纸板中挖去一个边长为b 的小正方形纸板后，将其裁成四个相同的等腰梯形（如图甲），然后拼成一个平行四边形（如图乙）。

那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的公式为（ ）
A ．()222a b a b -=-
B ．()2
222a b a ab b +=++ C ．()2222a b a ab b -=-+ D ．()()22a b a b a b -=+- 5．已知x a =2，x b =3，则x 3a ﹣2b 等于（ ）
A ．89
B ．﹣1
C ．17
D ．72
6．实数a 在数轴上对应点的位置如图所示，把a ，﹣a ，a 2按照从小到大的顺序排列，正确的是（ ）
A ．﹣a ＜a ＜a 2
B ．a ＜﹣a ＜a 2
C ．﹣a ＜a 2＜a
D ．a ＜a 2＜﹣a
7．某校40名学生参加科普知识竞赛（竞赛分数都是整数），竞赛成绩的频数分布直方图如图所示，成绩的中位数落在（ ）
A ．50.5～60.5 分
B ．60.5～70.5 分
C ．70.5～80.5 分
D ．80.5～90.5 分
8．如图，△ABC 中，AB=2，AC=3，1＜BC ＜5，分别以AB 、BC 、AC 为边向外作正方形ABIH 、BCDE 和正方形ACFG ，则图中阴影部分的最大面积为（ ）
A ．6
B ．9
C ．11
D ．无法计算
9．如图，在ABC V 中，点D 、E 、F 分别在边AB 、BC 、CA 上，且DE CA P ，DF BA P ．下列四种说法： ①四边形AEDF 是平行四边形；②如果90BAC ∠=o ，那么四边形AEDF 是矩形；③如果AD 平分BAC ∠，那么四边形AEDF 是菱形；④如果AD BC ⊥且AB AC =，那么四边形AEDF 是菱形. 其中，正确的有（ ） 个
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
10．如图，在△ABC 中，AB=AC,点D 是边AC 上一点，BC=BD=AD,则∠A 的大小是（ ）．
A ．36°
B ．54°
C ．72°
D ．30°
11．如图是某几何体的三视图及相关数据，则该几何体的全面积是（ ）
A ．15π
B ．24π
C ．20π
D ．10π
12．将抛物线2 21y x =-+向右平移 1 个单位长度，再向下平移 3 个单位长度，所得的抛物线的函数表达式为（ ）
A ．()2212y x =---
B ．()2
212y x =-+- C ．()2214y x =--+ D ．()2214y x =-++ 二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）
13．计算两个两位数的积，这两个数的十位上的数字相同，个位上的数字之和等于1．
53×57=3021，38×32=1216，84×86=7224，71×79=2．
（1）你发现上面每个数的积的规律是：十位数字乘以十位数字加一的积作为结果的千位和百位，两个个位数字相乘的积作为结果的 ，请写出一个符合上述规律的算式 ．
（2）设其中一个数的十位数字为a ，个位数字为b ，请用含a ，b 的算式表示这个规律．
14．如图，在平面直角坐标系中，经过点A 的双曲线y=k x
（x ＞0）同时经过点B ，且点A 在点B 的左侧，点A 的横坐标为1，∠AOB=∠OBA=45°，则k 的值为_______．
15．已知数据x 1，x 2，…，x n 的平均数是x ，则一组新数据x 1+8,x 2+8,…,x n +8的平均数是____. 16．如图,AD=DF=FB,DE ∥FG ∥BC,则S Ⅰ:S Ⅱ:S Ⅲ=________.
17．因式分解：34a a -=_______________________．
18．如图，已知反比例函数y=(k 为常数，k≠0)的图象经过点A ，过A 点作AB ⊥x 轴，垂足为B ，若△AOB
的面积为1，则k=________________．
三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19．（6分）九（1）班针对“你最喜爱的课外活动项目”对全班学生进行调查(每名学生分别选一个活动项目)，并根据调查结果列出统计表，绘制成扇形统计图.
根据以上信息解决下列问题:m = ，n = ;扇形统计图中机器人项目所对应扇形的圆心角
度数为 °
;从选航模项目的4名学生中随机选取2名学生参加学校航模兴趣小组训练，请用列举法(画树状图或列表)求所选取的2名学生中恰好有1名男生、1名女生的概率.
20．（6分）已知关于x 的方程()22
210x k x k --+=有两个实数根12,x x .求k 的取值范围；若12121x x x x +=-，求k 的值；
21．（6分）如图，已知AB 是圆O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足H 在半径OB 上，AH=5，CD=45，点E 在弧AD 上，射线AE 与CD 的延长线交于点F ．
（1）求圆O 的半径；
（2）如果AE=6，求EF 的长．
22．（8分）某兴趣小组进行活动，每个男生都头戴蓝色帽子，每个女生都头戴红色帽子．帽子戴好后，每个男生都看见戴红色帽子的人数比戴蓝色帽子的人数的2倍少1，而每个女生都看见戴蓝色帽子的人数是戴红色帽子的人数的35
．问该兴趣小组男生、女生各有多少人？ 23．（8分）已知关于 x 的一元二次方程 x 2﹣2(k ﹣1)x+k(k+2)＝0 有两个不相等的实数根．求 k 的取值
范围；写出一个满足条件的k 的值，并求此时方程的根．
24．（10分）先化简，再求值：先化简
2
2
21
1
x x
x
-+
-
÷(
1
1
x
x
-
+
﹣x+1)，然后从﹣2＜x＜5的范围内选取一个
合适的整数作为x的值代入求值．
25．（10分）如图，以△ABC的一边AB为直径作⊙O，⊙O与BC边的交点D恰好为BC的中点，过点D作⊙O的切线交AC边于点E．
(1) 求证：DE⊥AC；
(2) 连结OC交DE于点F，若
3
sin
4
ABC
∠=，求
OF
FC
的值．
26．（12分）为了解某市市民上班时常用交通工具的状况，某课题小组随机调查了部分市民（问卷调查表如表所示），并根据调查结果绘制了如图所示的尚不完整的统计图：
根据以上统计图，解答下列问题：本次接受调查的市民共有人；扇形统计图中，扇形B的圆心角度数是；请补全条形统计图；若该市“上班族”约有15万人，请估计乘公交车上班的人数．
27．（12分）如图，二次函数y=ax2+2x+c的图象与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴交于点C（0，3）．
（1）求该二次函数的表达式；
（2）过点A的直线AD∥BC且交抛物线于另一点D，求直线AD的函数表达式；
（3）在（2）的条件下，请解答下列问题：
①在x轴上是否存在一点P，使得以B、C、P为顶点的三角形与△ABD相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
②动点M以每秒1个单位的速度沿线段AD从点A向点D运动，同时，动点N
13
度沿线段DB从点D向点B运动，问：在运动过程中，当运动时间t为何值时，△DMN的面积最大，并求出这个最大值．
参考答案
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．D
【解析】
【分析】根据中位数和众数的定义进行求解即可得答案.
【详解】对这组数据重新排列顺序得，25，26，27，28，29，29，30，
处于最中间是数是28，
∴这组数据的中位数是28，
在这组数据中，29出现的次数最多，
∴这组数据的众数是29，
故选D．
【点睛】本题考查了中位数和众数的概念，熟练掌握众数和中位数的概念是解题的关键.一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，一组数据按从小到大（或从大到小）排序后，位于最中间的数（或中间两数的平均数）是这组数据的中位数.
2．D
【解析】
试题分析：根据同底数幂相乘，底数不变指数相加求解求解；
根据积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘求解；
根据完全平方公式求解；
根据合并同类项法则求解．
解：A 、a 3•a 2=a 3+2=a 5，故A 错误；
B 、（2a ）3=8a 3，故B 错误；
C 、（a ﹣b ）2=a 2﹣2ab+b 2，故C 错误；
D 、3a 2﹣a 2=2a 2，故D 正确．
故选D ．
点评：本题考查了完全平方公式，合并同类项法则，同底数幂的乘法，积的乘方的性质，熟记性质与公式并理清指数的变化是解题的关键．
3．D
【解析】
【分析】
①错误．由题意a ＞1．b ＞1，c ＜1，abc ＜1；
②正确．因为y 1=ax 2+bx+c （a≠1）图象与直线y 2=mx+n （m≠1）交于A ，B 两点，当ax 2+bx+c ＜mx+n 时，-3＜x ＜-1；即不等式ax 2+（b-m ）x+c-n ＜1的解集为-3＜x ＜-1；故②正确；
③错误．抛物线与x 轴的另一个交点是（1，1）；
④正确．抛物线y 1=ax 2+bx+c （a≠1）图象与直线y=-3只有一个交点，方程ax 2+bx+c+3=1有两个相等的实数根，故④正确．
【详解】
解：∵抛物线开口向上，∴a ＞1，
∵抛物线交y 轴于负半轴，∴c ＜1，
∵对称轴在y 轴左边，∴-
2b a
＜1， ∴b ＞1，
∴abc ＜1，故①错误．
∵y 1=ax 2+bx+c （a≠1）图象与直线y 2=mx+n （m≠1）交于A ，B 两点，
当ax 2+bx+c ＜mx+n 时，-3＜x ＜-1；
即不等式ax 2+（b-m ）x+c-n ＜1的解集为-3＜x ＜-1；故②正确，
抛物线与x 轴的另一个交点是（1，1），故③错误，
∵抛物线y 1=ax 2+bx+c （a≠1）图象与直线y=-3只有一个交点，
∴方程ax 2+bx+c+3=1有两个相等的实数根，故④正确．
故选：D ．
【点睛】
本题考查二次函数的性质、二次函数与不等式，二次函数与一元二次方程等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用数形结合的思想解决问题．
4．D
【解析】
【分析】
分别根据正方形及平行四边形的面积公式求得甲、乙中阴影部分的面积，从而得到可以验证成立的公式．【详解】
阴影部分的面积相等，即甲的面积=a2﹣b2，乙的面积=（a+b）（a﹣b）．
即：a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）．
所以验证成立的公式为：a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）．
故选：D．
【点睛】
考点：等腰梯形的性质；平方差公式的几何背景；平行四边形的性质．
5．A
【解析】
∵x a=2,x b=3，
∴x3a−2b=(x a)3÷(x b)2=8÷9= 8
9
，
故选A.
6．D
【解析】
【分析】
根据实数a在数轴上的位置，判断a，﹣a，a2在数轴上的相对位置，根据数轴上右边的数大于左边的数进行判断.
【详解】
由数轴上的位置可得，a<0,-a>0, 0<a2<a,
所以，a＜a2＜﹣a.
故选D
【点睛】
本题考核知识点：考查了有理数的大小比较，解答本题的关键是根据数轴判断出a，﹣a，a2的位置. 7．C
【解析】
分析：由频数分布直方图知这组数据共有40个，则其中位数为第20、21个数据的平均数，而第20、21个数据均落在70.5～80.5分这一分组内，据此可得．
详解：由频数分布直方图知，这组数据共有3+6+8+8+9+6=40个，则其中位数为第20、21个数据的平均数，而第20、21个数据均落在70.5～80.5分这一分组内，所以中位数落在70.5～80.5分．故选C．
点睛：本题主要考查了频数（率）分布直方图和中位数，解题的关键是掌握将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
8．B
【解析】
【分析】
有旋转的性质得到CB=BE=BH′，推出C、B、H'在一直线上，且AB为△ACH'的中线，得到
S△BEI=S△ABH′=S△ABC，同理：S△CDF=S△ABC，当∠BAC=90°时，S△ABC的面积最大，S△BEI=S△CDF=S△ABC 最大，推出S△GBI=S△ABC，于是得到阴影部分面积之和为S△ABC的3倍，于是得到结论．
【详解】
把△IBE绕B顺时针旋转90°，使BI与AB重合，E旋转到H'的位置，
∵四边形BCDE为正方形，∠CBE=90°，CB=BE=BH′，
∴C、B、H'在一直线上，且AB为△ACH'的中线，
∴S△BEI=S△ABH′=S△ABC，
同理：S△CDF=S△ABC，
当∠BAC=90°时，
S△ABC的面积最大，
S△BEI=S△CDF=S△ABC最大，
∵∠ABC=∠CBG=∠ABI=90°，
∴∠GBE=90°，
∴S△GBI=S△ABC，
所以阴影部分面积之和为S△ABC的3倍，
又∵AB=2，AC=3，
∴图中阴影部分的最大面积为3×1
2
×2×3=9，
故选B．
【点睛】
本题考查了勾股定理，利用了旋转的性质：旋转前后图形全等得出图中阴影部分的最大面积是S△ABC的3 倍是解题的关键．
9．D
【解析】
【分析】
先由两组对边分别平行的四边形为平行四边形，根据DE∥CA，DF∥BA，得出AEDF为平行四边形，得出①正确；当∠BAC=90°，根据推出的平行四边形AEDF，利用有一个角为直角的平行四边形为矩形可得出②正确；若AD平分∠BAC，得到一对角相等，再根据两直线平行内错角相等又得到一对角相等，等量代换可得∠EAD=∠EDA，利用等角对等边可得一组邻边相等，根据邻边相等的平行四边形为菱形可得出③正确；由AB=AC，AD⊥BC，根据等腰三角形的三线合一可得AD平分∠BAC，同理可得四边形AEDF 是菱形，④正确，进而得到正确说法的个数．
【详解】
解：∵DE∥CA，DF∥BA，
∴四边形AEDF是平行四边形，选项①正确；
若∠BAC=90°，
∴平行四边形AEDF为矩形，选项②正确；
若AD平分∠BAC，
∴∠EAD=∠FAD，
又DE∥CA，∴∠EDA=∠FAD，
∴∠EAD=∠EDA，
∴AE=DE，
∴平行四边形AEDF为菱形，选项③正确；
若AB=AC，AD⊥BC，
∴AD平分∠BAC，
同理可得平行四边形AEDF为菱形，选项④正确，
则其中正确的个数有4个．
故选D．
【点睛】
此题考查了平行四边形的定义，菱形、矩形的判定，涉及的知识有：平行线的性质，角平分线的定义，以及等腰三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形、矩形及菱形的判定与性质是解本题的关键．
10．A
【解析】
【分析】
由BD=BC=AD可知，△ABD，△BCD为等腰三角形，设∠A=∠ABD=x，则∠C=∠CDB=2x，又由AB=AC 可知，△ABC为等腰三角形，则∠ABC=∠C=2x．在△ABC中，用内角和定理列方程求解．
【详解】
解：∵BD=BC=AD ，∴△ABD ，△BCD 为等腰三角形，设∠A=∠ABD=x ，则∠C=∠CDB=2x ． 又∵AB=AC ，∴△ABC 为等腰三角形，∴∠ABC=∠C=2x ．在△ABC 中，∠A+∠ABC+∠C=180°，即x+2x+2x=180°，解得：x=36°，即∠A=36°． 故选A ． 【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质．关键是利用等腰三角形的底角相等，外角的性质，内角和定理，列方程求解． 11．B 【解析】
解：根据三视图得到该几何体为圆锥，其中圆锥的高为4，母线长为5，圆锥底面圆的直径为6，所以圆锥的底面圆的面积=π×（62）2=9π，圆锥的侧面积=1
2
×5×π×6=15π，所以圆锥的全面积=9π+15π=24π．故选B ．
点睛：本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的半径等于圆锥的母线长，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长．也考查了三视图． 12．A 【解析】 【分析】
根据二次函数的平移规律即可得出． 【详解】
解：2
21y x =-+向右平移 1 个单位长度，再向下平移 3 个单位长度，所得的抛物线的函数表达式为()2
212y x =---
故答案为：A ． 【点睛】
本题考查了二次函数的平移，解题的关键是熟知二次函数的平移规律． 二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．） 13． (1)十位和个位，44×46=2024；(2) 10a （a+1）+b （1﹣b ）
【解析】分析：(1)、根据题意得出其一般性的规律，从而得出答案；(2)、利用代数式表示出其一般规律得出答案．
详解：（1）由已知等式知，每个数的积的规律是：十位数字乘以十位数字加一的积作为结果的千位和百位，两个个位数字相乘的积作为结果的十位和个位， 例如：44×
46=2024， （2）（1a+b ）（1a+1﹣b ）=10a （a+1）+b （1﹣b ）．
点睛：本题主要考查的是规律的发现与整理，属于基础题型．找出一般性的规律是解决这个问题的关键．
14．15 +
【解析】
【分析】
分析：过A作AM⊥y轴于M，过B作BD选择x轴于D，直线BD与AM交于点N，则OD=MN，DN=OM，∠AMO=∠BNA=90°，由等腰三角形的判定与性质得出OA=BA，∠OAB=90°，证出∠AOM=∠BAN，由AAS证明△AOM≌△BAN，得出AM=BN=1，OM=AN=k，求出B（1+k，k﹣1），得出方程（1+k）•（k ﹣1）=k，解方程即可．
详解：如图所示，过A作AM⊥y轴于M，过B作BD选择x轴于D，直线BD与AM交于点N，
则OD=MN，DN=OM，∠AMO=∠BNA=90°，
∴∠AOM+∠OAM=90°，
∵∠AOB=∠OBA=45°，
∴OA=BA，∠OAB=90°，
∴∠OAM+∠BAN=90°，
∴∠AOM=∠BAN，
∴△AOM≌△BAN，
∴AM=BN=1，OM=AN=k，
∴OD=1+k，BD=OM﹣BN=k﹣1
∴B（1+k，k﹣1），
∵双曲线y=k
x
（x＞0）经过点B，
∴（1+k）•（k﹣1）=k，整理得：k2﹣k﹣1=0，
解得：k=15
2
+
（负值已舍去），
故答案为15
2
+
．
点睛：本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，坐标与图形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰
三角形的判定与性质等知识.解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形. 【详解】 请在此输入详解！ 15．8x + 【解析】 【分析】
根据数据x 1，x 2，…，x n 的平均数为x =1
n
（x 1+x 2+…+x n ），即可求出数据x 1+1，x 2+1，…，x n +1的平均数． 【详解】
数据x 1+1，x 2+1，…，x n +1的平均数=1n （x 1+1+x 2+1+…+x n +1）=1
n
（x 1+x 2+…+x n ）+1=x +1． 故答案为x +1． 【点睛】
本题考查了平均数的概念，平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．平均数是表示一组数据集中趋势的量数，它是反映数据集中趋势的一项指标． 16．1:3:5 【解析】
∵DE ∥FG ∥BC ，
∴△ADE ∽△AFG ∽△ABC ， ∵AD=DF=FB ， ∴AD:AF:AB=1:2:3，
∴
::ADE AFG ABC S S S V V V =1:4:9， ∴S Ⅰ:S Ⅱ:S Ⅲ=1:3:5. 故答案为1:3:5.
点睛: 本题考查了平行线的性质及相似三角形的性质．相似三角形的面积比等于相似比的平方． 17．(2)(2)a a a +- 【解析】 【分析】
先提公因式，再用平方差公式分解. 【详解】
解：(
)
3
2
44(2)(2)a a a a a a a -=-=+- 【点睛】
本题考查因式分解，掌握因式分解方法是关键.
18．-1
【解析】
试题解析：设点A的坐标为(m，n)，因为点A在y=的图象上，所以，有mn＝k，△ABO的面积为＝1，∴=1，∴=1，∴k=±1，由函数图象位于第二、四象限知k<0，∴k=-1．
考点：反比例外函数k的几何意义.
三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19．（1）8，3；（2）144；（3）2 3 .
【解析】
试题分析：（1）利用航模小组先求出数据总数，再求出n .（2）小组所占圆心角=；（3）列表格求概率.
试题解析：（1）；
(2)；
(3)将选航模项目的名男生编上号码，将名女生编上号码. 用表格列出所有可能出现的结果：
由表格可知，共有种可能出现的结果，并且它们都是第可能的，其中“名男生、名女生”有种可能.(名男生、名女生).(如用树状图，酌情相应给分)
考点：统计与概率的综合运用.
20．（1）
1
2
k ；（2）k＝－3
【解析】
【分析】
（1）依题意得△≥0，即[－2(k－1)]2－4k2≥0；（2）依题意x1＋x2＝2(k－1)，x1·x2＝k2
以下分两种情况讨论：①当x1＋x2≥0时，则有x1＋x2＝x1·x2－1，即2(k－1)＝k2－1；②当x1＋x2＜0时，则有x1＋x2＝－(x1·x2－1)，即2(k－1)＝－(k2－1)；
【详解】
解：（1）依题意得△≥0，即[－2(k－1)]2－4k2≥0
解得
1
2 k≤
（2）依题意x1＋x2＝2(k－1)，x1·x2＝k2
以下分两种情况讨论：
①当x1＋x2≥0时，则有x1＋x2＝x1·x2－1，即2(k－1)＝k2－1 解得k1＝k2＝1
∵
1
2 k≤
∴k1＝k2＝1不合题意，舍去
②当x1＋x2＜0时，则有x1＋x2＝－(x1·x2－1)，即2(k－1)＝－(k2－1) 解得k1＝1，k2＝－3
∵
1
2 k≤
∴k＝－3
综合①、②可知k＝－3
【点睛】
一元二次方程根与系数关系，根判别式.
21．(1) 圆的半径为4.5；(2) EF=3
2
．
【解析】
【分析】
（1）连接OD，根据垂径定理得：DH=25，设圆O的半径为r，根据勾股定理列方程可得结论；（2）过O作OG⊥AE于G，证明△AGO∽△AHF，列比例式可得AF的长，从而得EF的长．【详解】
（1）连接OD，
∵直径AB⊥弦CD，CD=4，
∴DH=CH=CD=2，
在Rt△ODH中，AH=5，
设圆O的半径为r，
根据勾股定理得：OD2=（AH﹣OA）2+DH2，即r2=（5﹣r）2+20，
解得：r=4.5，
则圆的半径为4.5；
（2）过O作OG⊥AE于G，
∴AG=AE=×6=3，
∵∠A=∠A，∠AGO=∠AHF，
∴△AGO ∽△AHF ， ∴
，
∴，
∴AF=，
∴EF=AF ﹣AE=
﹣6=．
【点睛】
本题考查了垂径定理，勾股定理，相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是正确添加辅助线并熟练掌握垂径定理和相似三角形的判定与性质. 22．男生有12人，女生有21人. 【解析】 【分析】
设该兴趣小组男生有x 人，女生有y 人，然后再根据：(男生的人数-1)×2-1=女生的人数，(女生的人数-1) ×3
5
=男生的人数 ，列出方程组，再进行求解即可. 【详解】
设该兴趣小组男生有x 人，女生有y 人，
依题意得：2(1)13
(1)5y x x y =--⎧⎪
⎨=-⎪⎩
， 解得：12
21x y =⎧⎨=⎩
．
答：该兴趣小组男生有12人，女生有21人． 【点睛】
本题主要考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是明确题中各个量之间的关系，并找出等量关系列出方程组.
23．方程的根120=2x x =-或 【解析】
（1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出关于k 的一元一次不等式，解之即可得出k 的取值范围； （1）取k=0，再利用分解因式法解一元二次方程，即可求出方程的根． 【详解】
（1）∵关于x 的一元二次方程x 1﹣1（k ﹣a ）x+k （k+1）=0有两个不相等的实数根， ∴△=[﹣1（k ﹣1）]1﹣4k （k ﹣1）=﹣16k+4＞0， 解得：k ＜
1
4
． （1）当k=0时，原方程为x 1+1x=x （x+1）=0， 解得：x 1=0，x 1=﹣1．
∴当k=0时，方程的根为0和﹣1． 【点睛】
本题考查了根的判别式以及因式分解法解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”；（1）取k=0，再利用分解因式法解方程． 24．﹣
1x ，﹣1
2
． 【解析】 【分析】
根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后在－2＜ x 中选取一个使得原分式有意义的整数值代入化简后的式子即可求出最后答案，值得注意的是，本题答案不唯一，x 的值可以取－2、2中的任意一个. 【详解】
原式＝2x-11(1)(1)x+1(1)1x x x x x ---+÷-+（）（）＝2x-1x+1x+1x-1-x +1⋅＝x-1-x x-1（）＝1
x
-，∵－2＜ x （x 为
整数）且分式要有意义，所以x ＋1≠0，x －1≠0，x≠0，即x≠－1,1,0，因此可以选取x ＝2时，此时原式＝－
12
. 【点睛】
本题主要考查了求代数式的值，解本题的要点在于在化解过程中，求得x 的取值范围，从而再选取x ＝2得到答案.
25．（1）证明见解析（2）8
7
【解析】 【分析】
（1）连接OD ，根据三角形的中位线定理可求出OD ∥AC ，根据切线的性质可证明DE ⊥OD ，进而得证． （2）连接AD ，根据等腰三角形的性质及三角函数的定义用OB 表示出OF 、CF 的长，根据三角函数的
【详解】
解：(1)连接OD . ∵DE是⊙O的切线，∴DE⊥OD，即∠ODE=90° .
∵AB是⊙O的直径，
∴O是AB的中点.
又∵D是BC的中点，.
∴OD∥AC .
∴∠DEC=∠ODE= 90° .
∴DE⊥AC .
(2)连接AD . ∵OD∥AC，
∴OF OD FC EC
=.
∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB= ∠ADC =90° . 又∵D为BC的中点，
∴AB=AC.
∵sin∠ABC=AD
AB
=
3
4
，
设AD= 3x , 则AB=AC=4x, OD= 2x.
∵DE⊥AC，∴∠ADC= ∠AED= 90°.
∵∠DAC= ∠EAD，∴△ADC∽△AED.
∴AD AC AE AD
=.
∴2
AD AE AC
=⋅.
∴
9
4
=
AE x. ∴
7
4
=
EC x.
∴
8
7
== OF OD
FC EC
.
26．（1）1；（2）43.2°；（3）条形统计图如图所示：见解析；（4）估计乘公交车上班的人数为6万人．【解析】
【分析】
（1）根据D组人数以及百分比计算即可．
（2）根据圆心角度数＝360°×百分比计算即可．（3）求出A，C两组人数画出条形图即可．
（4）利用样本估计总体的思想解决问题即可．
【详解】
（1）本次接受调查的市民共有：50÷25%＝1（人），故答案为1．
（2）扇形统计图中，扇形B的圆心角度数＝360°×24
200
＝43.2°；
故答案为:43.2°
（3）C组人数＝1×40%＝80（人），A组人数＝1﹣24﹣80﹣50﹣16＝30（人）．
条形统计图如图所示：
（4）15×40%＝6（万人）．
答：估计乘公交车上班的人数为6万人．
【点睛】
本题考查条形统计图，扇形统计图，样本估计总体等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
27．（1）y=﹣x2+2x+3；（2）y=﹣x﹣1；（3）P（3
,0
5
）或P（﹣4.5，0）；当t=
52
2
时，S△MDN的最大值
为5
2
．
【解析】
【分析】
（1）把A（-1，0），C（0，3）代入y=ax2+2x+c即可得到结果；
（2）在y=-x2+2x+3中，令y=0，则-x2+2x+3=0，得到B（3，0），由已知条件得直线BC的解析式为y=-x+3，由于AD∥BC，设直线AD的解析式为y=-x+b，即可得到结论；
（3）①由BC∥AD，得到∠DAB=∠CBA，全等只要当BC PB
AD AB
=或
BC PB
AB AD
=时，△PBC∽△ABD，
解方程组223
1
y x x y x ⎧=-++⎨=--⎩得D(4,−5)，求得AD =4,AB =
BC =设P 的坐标为（x ，0），代入比例式解得35x =或x=−4.5,即可得到3,05P ⎛⎫
⎪⎝⎭
或P(−4.5,0)； ②过点B 作BF ⊥AD 于F ，过点N 作NE ⊥AD 于E ，在Rt △AFB 中，∠BAF=45°，于是得到sin ∠BAF BF
AB
=
，
求得4
2BF BD =⨯
==求得sin BF ADB BD ∠=== 由于
,DM t DN ==
，于是得到
1
2MDN
S DM NE =⋅V ()
1225t t =⋅215t =-+21()5t =--2
15522
t ⎛=--+ ⎝⎭，即可得到结果． 【详解】 (1)由题意知：023a c
c =-+⎧⎨
=⎩，
解得1
3a c =-⎧⎨=⎩
， ∴二次函数的表达式为223y x x =-++；
(2)在2y x 2x 3=-++ 中,令y=0,则2230x x -++=， 解得：121,3x x ，=-= ∴B(3,0)，
由已知条件得直线BC 的解析式为y=−x+3， ∵AD ∥BC ，
∴设直线AD 的解析式为y=−x+b ， ∴0=1+b ， ∴b=−1，
∴直线AD 的解析式为y=−x−1； (3)①∵BC ∥AD ， ∴∠DAB=∠CBA ， ∴只要当：
BC PB AD AB =或BC PB
AB AD
=时,△PBC ∽△ABD ， 解2231
y x x y x ⎧=-++⎨=--⎩得D(4,−5)，
∴52,4,32AD AB BC ===，
设P 的坐标为(x,0)， 即323452x -=或32452
=， 解得35x =或x=−4.5, ∴3,05
P ⎛⎫
⎪⎝⎭或P(−4.5,0)，
②过点B 作BF ⊥AD 于F ，过点N 作NE ⊥AD 于E ，
在Rt △AFB 中,45BAF ∠=o ， ∴sin ∠BAF BF AB
=， ∴242,262
BF BD =⨯==， ∴22213sin 26BF ADB BD ∠=== ∵1352,DM t DN ==
， 又∵132132sin ,5NE ADB NE t DN ∠=
==， ∴1,2
MDN S DM NE =⋅V ()
125225
t t =⋅ 2125
t t =- 21(52),5t t =--
2
1552
t ⎛=--+ ⎝⎭，
∴当2
t =时,MDN S V 的最大值为5.2 【点睛】
属于二次函数的综合题，考查待定系数法求二次函数解析式，锐角三角形函数，相似三角形的判定与性质，二次函数的最值等，综合性比较强，难度较大.。