广东省汕头市金山中学2017-2018学年高二下学期期末考试数学(文)含答案

θ
2017-2018学年度高二第二学期期末考试文科数学试卷
命题人：高三文科数学备课组
—、选择题本大题共12小题，每小题5分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．设集合{}1,0,1,2,3A =-，{}
2
30B x x x =-≥，则A
B =（ ）
A ．
{}1-
B ．
{}1,0-C ．{}1,3- D ．{}1,0,3-
2．若复数z 满足()1i 12i z -=+，则z =（ ）
A ．
52 B ．32
C
D
3．已知α
为锐角，cos α=
，则tan 4απ⎛
⎫-= ⎪⎝⎭（ ）
A ．
13B ．3C ．1
3
-D ．3- 4．设命题p ：1x ∀< ，21x <，命题q ：00x ∃> ，是（ ） A ．p q ∧
B ．()p q ⌝∧
C ．()p q ∧⌝
D ．()()p q ⌝∧⌝
5．已知变量x ，y 满足202300x y x y y -≤⎧⎪
-+≥⎨⎪≥⎩
，，，则2z x y =+的最大值为（ ）
A ．5
B ．4
C ．6
D ．0
6．如图所示，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个边长为2的大正方形，
直角三角形中较小的锐角6
θπ
=．若在该大正方形区域内随机地取
一点，则该点落在中间小正方形内的概率是（ ）
A
．
22 B
．2C ．14D ．12
7.下面左图是某学习小组学生数学考试成绩的茎叶图，1号到16号同学的成绩依次为A 1，
A 2，…，A 16，右图是统计茎叶图中成绩在一定范围内的学生人数的算法流程图，那么该
算法流程图输出的结果是（ ） A ．6 B ．10
C ．91
D ．92
8. 已知等比数列{a n }，且a 4+a 8=-2,则a 6(a 2+2a 6+a 10）的值为（ ）
A. 4
B. 6
C. 8
D. -9
9.
设曲线()()f x x m R =∈上任一点(,)x y 处切线斜率为()g x ，则函数
2()y x g x =的部分图象可以为（ ）
10
()0ϕϕ>个单位，所得图象对 应的函数恰为奇函数，则ϕ的为最小值为( ) A ．
12
π B ．6π C ．4π D ．3π
11.已知正三棱锥P-ABC 的主视图和俯视图如图所示,则此三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A ．4π B.12π
12. 已知函数2
(1)(0)()2
x f f f x e x x e '=
⋅+⋅-，若存在实数m 使得不等式 2()2f m n n ≤-成立，则实数n 的取值范围为( )
A. [)1-,1,2⎛⎤∞-⋃+∞ ⎥⎝
⎦ B. (]1,1,2
⎡⎫-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭
C. (]1,0,2⎡⎫-∞⋃+∞⎪⎢⎣⎭
D. [)1-,0,2
⎛⎤∞-⋃+∞ ⎥⎝
⎦
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分a
13.已知向量(1,2),(,1)a b x ==，2,2u
a b v a b =+=-,且u ∥v ，则实数x 的值是___.
E
D
A
P
15. 已知点P (,y )在直线+2y=3上移动，当2+4y 取得最小值时，过点P 引圆
16.已知12,F F 分别是椭圆22
221x y a b
+=(0)a b >>的左、右焦点,P 是椭圆上一点（异于
左、右顶点），过点P 作12F PF ∠的角平分线交x 轴于点M ，若2
122PM PF PF =⋅，
则该椭圆的离心率为.
三、解答题本大题共6小 题 ，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17. (本小题满分12分）
在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c
，且满足
（1）求角C 的大小；
（2）若bsin （π﹣A ）=acosB
，且，求△ABC 的面积．
18．(本小题满分12分）如图，已知多面体PABCDE 的底面ABCD 是边长为2的菱形，
ABCD PA 底面⊥，ED PA ，且22PA ED ==．
（1）证明：平面PAC ⊥平面PCE ；
（2） 若
o 60=∠ABC ,求三棱锥P ACE -的体积 19.(本小题满分12分）某基地蔬菜大棚采用水培、无土栽培方式种植各类蔬菜．过去50周的资料显示，该地周光照量X （小时）都在30小时以上，其中不足50小时的周数有5周，不低于50小时且不超过70小时的周数有35周，超过70小时的周数有10周．根据统计，该基地的西红柿增加量y （百斤）与使用某种
液体肥料x （千克）之间对应数据为如图所示的折线图．
（1）依据数据的折线图，是否可用线性回归模型拟合y 与x 的关系？请计算相关系数
r 并加以说明（精确到0．01）．（若75.0||>r ，则线性相关程度很高，可用线性回归模
型拟合）
（2）蔬菜大棚对光照要求较大，某光照控制仪商家为该基地提供了部分光照控制仪，但每周光照控制仪最多可运行台数受周光照量X 限制，并有如下关系：
行，则该台光照控制仪周亏损1000元．若商家安装了3台光照控制仪，求商家在过去50周总利润的平均值．
附：相关系数公式∑∑∑===----=
n
i i
n
i i
n
i i
i
y y
x x y y
x x r 1
2
1
2
1)()
()
)((，参考数
据
55.03.0≈，
95.09.0≈．
20. (本小题满分12分）已知椭圆()22
22:10x y E a b a b
+=>>的离心率为，且过点
1,2⎛ ⎝⎭
．（1）求E 的方程； （2）是否存在直线:l y kx m =+与E 相交于,P Q 两点，且满足：①OP 与OQ （O 为坐标原点）的斜率之和为2；②直线l 与圆2
2
1x y +=相切，若存在，求出l 的方程；若不存
在，请说明理由． 21(本小题满分12分）
已知函数f （）=2+1，g （）=2aln+1（a ∈R ） （1）求函数h （）=f （）-g （）的极值；
（2）当a=e 时，是否存在实数，m ，使得不等式g （）≤+m ≤f （）恒成立？若存 在，请求实数，m 的值；若不存在，请说明理由．
请考生在22〜23三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为1cos ,1sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩
（t 为参数，α为倾
斜角），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，曲线C 的极坐标方程为2
4cos 6sin 40ρρθρθ--+=．
（1）求曲线C 的普通方程和参数方程；
（2）设l 与曲线C 交于A ，B 两点，求线段||AB 的取值范围． 23. (本小题满分10分)选修4-5不等式选讲 巳知函数f()=|-2|+2|-a|(a ∈R). (1)当a=1时，解不等式f()>3;
(2)不等式1)( x f 在区间（-∞，+∞)上恒成立，求实数a 的取值范围.
2017-2018学年度高二第二学期期末考试文科数学试卷答案
一、选择题
1-5 DCABB 6-10 ABADB 11-12 DA 二、填空题
13．12 14．3635
15. 216 .
三、 解答题
17.解：（1）在△ABC 中，由，
由余弦定理：a 2+b 2﹣c 2=2abcosC ， 可得：2
acsinB=2abcosC ．
由正弦定理：2
sinCsinB=sinBcosC
∵0＜B ＜π，sinB ≠0， ∴2sinC=cosC ，
即tanC=，
∵0＜C ＜π，
∴C=
． （2）由bsin （π﹣A ）=acosB ， ∴sinBsinA=sinAcosB ， ∵0＜A ＜π，sinA ≠0， ∴sinB=cosB ，
∴
，
根据正弦定理，可得，
解得c=1 ∴
18．（1）证明：连接 BD ，交 AC 于点O ，设PC 连接OF ，EF ．
因为O ，F 分别为AC ，PC 的中点， 所以OF PA ，且1
2
OF PA =， 因为DE PA ，且1
2
DE PA =
， 所以OF
DE ，且OF DE =．………………1分
所以四边形OFED 为平行四边形，所以OD
EF ，即BD EF ．…………2分
因为PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以PA BD ⊥． 因为ABCD 是菱形，所以BD AC ⊥． 因为PA AC A =，所以BD ⊥平面PAC ．……………4分
因为BD
EF ，所以EF ⊥平面PAC ．………………5分
因为FE ⊂平面PCE ，所以平面PAC ⊥平面PCE ．……6分
（2）解法1：因为60ABC ∠=，所以△ABC 是等边三角形，所以2AC =．……7分
又因为PA ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，所以PA AC ⊥． 所以1
22
PAC S PA AC ∆=
⨯=．………8分 因为EF ⊥面PAC ，所以EF 是三棱锥E
PAC -的高．……9分
因为EF DO BO ===10分
所以13P ACE E PAC PAC
V V
S EF --∆
==⨯ (11)
分1233
=⨯=．…12分 解法2：因为底面ABCD 为菱形，且︒=∠60ABC ，所以△ACD 为等边三角形．………7分
取AD 的中点M ，连CM ，则AD CM ⊥，且3=
CM ．…8分
因为⊥PA 平面ABCD ，所以CM PA ⊥，又A AD PA = ，
所以CM ⊥平面PADE ，所以CM 是三棱锥C PAE -的高．……………9分
因为1
22
PAE S PA AD ∆=
⨯=．……10分 所以三棱锥ACE P -的体积1
3
P ACE C PAE PAE V V S CM --∆==
⨯…………11分
1233
=⨯=．………………12分 19．解：（1）由已知数据可得2456855x ++++==，34445
45
y ++++==．………
1分
因为
5
1
()()(3)(1)000316i
i
i x x y
y =--=-⨯-++++⨯=∑，……2分
，52310)1()3()
(222225
12
=+++-+-=-∑=i i
x x ……………………3分
==…………………4分
所以相关系数
()()
0.95n
i
i x
x y y r --=
=
=≈∑．………………5分
因为0.75r >，所以可用线性回归模型拟合y 与x 的关系．…………6分 （2）记商家周总利润为Y 元，由条件可得在过去50周里：
当>70时，共有10周，此时只有1台光照控制仪运行， 周总利润Y =1×3000-2×1000=1000元．……………………8分 当50≤≤70时，共有35周，此时有2台光照控制仪运行， 周总利润Y =2×3000-1×1000=5000元．………………………9分 当<50时，共有5周，此时3台光照控制仪都运行， 周总利润Y =3×3000=9000元．………………10分 所以过去50周周总利润的平均值10001050003590005
460050
Y ⨯+⨯+⨯=
=元，
所以商家在过去50周周总利润的平均值为4600元．………12分 20. 解：（1
）由已知得
2213
,124c a a b
=+=，
解得2
2
4,1a b ==，∴椭圆E 的方程为2
214
x y +=； （2）把y kx m =+代入E 的方程得：
()()2
2
2148410k x
kmx m +++-=，
设()()1122,,,P x y Q x y ，则()2121222
418,1414m km
x x x x k k
--+==++，① 由已知得()()1221
121221121212
2OF OQ kx m x kx m x y y y x y x k k x x x x x x +++++=
+===， ∴()()1212210k x x m x x -++=，② 把①代入②得
()()22
2
2811801414k m km k k
---=++， 即2
1m k +=，③
又(
)(
)
22
2
1641164k m k k ∆=-+=+，
由224010
k k m k ⎧+>⎨=-≥⎩，得14k <-或01k <≤，
由直线l 与圆2
2
1x y +=
1=④
③④联立得0k =（舍去）或1k =-，∴2
2m =， ∴直线l
的方程为y x =-±．
21．解：（1）h （）=f （）﹣g （）=2﹣2aln ，＞0
所以 h ′（）
=
当a ≤0，h ′（）＞0，此时h （）在（0，+∞）上单调递增，无极值， 当a ＞0时，由h ′（）＞0，即2﹣a ＞0，解得：a
＞
或＜﹣
，（舍去）
由h ′（）＜0，即2﹣a ＜0，解得：0
＜＜
，
∴h （）在（0
，
）单调递减，在（
，+∞）单调递增， ∴h （）的极小值为h
（）=a ﹣
2aln
=a ﹣alna ，无极大值；
（2）当a=e 时，由（1）知
min ()h x =h
（
）=h
（）=e ﹣elne=0
∴f （）﹣g （）≥0， 也即 f （）≥g （），当且仅当=时，取等号；
以（1)e +为公共切点，
f ′（
）=g ′（
）
=
所以y=f （）与y=g （）有公切线，切线方程y=2+1﹣e ，
构造函数 2()()1)(h x f x e x =--+=，显然()0h x ≥
1()e f x ∴+-≤
构造函数 ()1)()2ln k x e g x e x e =+--=--(0)x >
()k x '=
由()0k x '> 解得
x >
()0k x '< 解得 0x <<
所以()k x 在上递减，在)+∞上递增
min ()0k x k ∴==，即有1)()e g x +-≥
从而 ()1()g x x e f x ≤+-≤，此时1k m e ==-
22. 解：（Ⅰ）因为曲线C 的极坐标方程为2
4cos 6sin 40ρρθρθ--+=，
所以曲线C 的普通方程为2
2
4640x y x y +--+=，
即22
(2)(3)9x y -+-=， 所以曲线C 的参数方程为23cos 33sin x y ϕ
ϕ=+⎧⎨
=+⎩
（ϕ为参数）．
（Ⅱ）把代入1cos 1sin x t y t αα
=+⎧⎨
=+⎩代入22
(2)(3)9x y -+-=，
并整理得2
2(cos 2sin )40t t αα-+-=， 设A ，B 对应的参数分别为1t ，2t ， 所以122(cos 2sin )t t αα+=+，124t t =-，
所以1212||||||||AB t t t t =+=-==
==
=
设4cos 5ϕ=
，3sin 5
ϕ=，
∴||AB =
∵1sin(2)1αϕ-≤-≤，∴1610sin(2)263αϕ≤-+≤，∴4||6AB ≤≤， ∴||AB 的取值范围为[]4,6．
23. 解：(Ⅰ)⎩
⎨⎧>-+-≥32222x x x 解得37>x ⎩⎨
⎧>-+-<<32222
1x x x 解得φ∈x
⎩⎨⎧>-+-≤32221x x x 解得13x <…………………3分
不等式的解集为17
(,)(,)
33-∞+∞………………5分
(Ⅱ)时，2>a ⎪⎩⎪
⎨⎧≥--<<-+-≤++-=a
x a x a
x a x x a x x f ,2232,222,223)(；
时，2=a 36,2
()36,2x x f x x x -+≤⎧=⎨
->⎩；
时，2<a ⎪⎩⎪
⎨⎧≥--<<+-≤++-=2
,2232
,22,223)(x a x x a a x a
x a x x f ； ∴)(x f 的最小值为)()2(a f f 或；………………8分
则⎩
⎨
⎧≥≥1)2(1)(f a f ，解得1≤a 或3≥a .………………10分
2017-2018学年度高二第二学期期末考试文科数学试卷答案
一、选择题
1-5 DCABB 6-10 ABADB 11-12 DA
二、填空题
13．12
14．3635
15. 216 .
三、 解答题
17.解：（1）在△ABC 中，由，
由余弦定理：
a 2+
b 2﹣
c 2
=2abcosC ， 可得：2
acsinB=2abcosC ．
由正弦定理：2
sinCsinB=sinBcosC
∵0＜B ＜π，sinB ≠
0， ∴2sinC=cosC ，
即
tanC=，
∵0＜C ＜π， ∴C=
． （2）由bsin （π﹣A ）=acosB ， ∴sinBsinA=sinAcosB ， ∵0＜
A ＜π，sinA ≠0
，
∴sinB=cosB ，
∴
，
根据正弦定理，可得，
解得c=1 ∴
18．（1）证明：连接 BD ，交 AC 于点O ，设PC 连接OF ，EF ．
因为O ，F 分别为AC ，PC 的中点， 所以OF
PA ，且1
2
OF PA
，
因为DE PA ，且1
2
DE PA =
， 所以OF
DE ，且OF DE =．………………1分
所以四边形OFED 为平行四边形，所以OD
EF ，即BD
EF ．…………2分
因为PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以PA BD ⊥． 因为ABCD 是菱形，所以BD AC ⊥． 因为PA AC A =，所以BD ⊥平面PAC ．……………4分
因为BD
EF ，所以EF ⊥平面PAC ．………………5分
因为FE ⊂平面PCE ，所以平面PAC ⊥平面PCE ．……6分
（2）解法1：因为60ABC ∠=，所以△ABC 是等边三角形，所以2AC =．……7分
又因为PA ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，所以PA AC ⊥． 所以1
22
PAC S PA AC ∆=
⨯=．………8分 因为EF ⊥面PAC ，所以EF 是三棱锥E PAC -的高．……9分
因为EF DO BO ===10分
所以13P ACE E PAC PAC
V V
S EF --∆==⨯……11分123=⨯=．…12分 解法2：因为底面ABCD 为菱形，且︒=∠60ABC ，所以△ACD 为等边三角形．………7分
取AD 的中点M ，连CM ，则AD CM ⊥，且3=
CM ．…8分
因为⊥PA 平面ABCD ，所以CM PA ⊥，又A AD PA = ，
所以CM ⊥平面PADE ，所以CM 是三棱锥C PAE -的高．……………9分 因为1
22
PAE S PA AD ∆=
⨯=．……10分 所以三棱锥ACE P -的体积1
3
P ACE C PAE PAE V V S CM --∆==
⨯…………11分
1
233
=⨯=．………………12分 19．解：（1）由已知数据可得2456855x ++++==，34445
45
y ++++==．………
1分
因为
5
1
()()(3)(1)000316i
i
i x x y
y =--=-⨯-++++⨯=∑，……2分
，52310)1()3()
(222225
12
=+++-+-=-∑=i i
x x ……………………3分
==…………………4分
所以相关系数
()()
0.95n
i
i x
x y y r --=
=
=≈∑．………………5分
因为0.75r >，所以可用线性回归模型拟合y 与x 的关系．…………6分 （2）记商家周总利润为Y 元，由条件可得在过去50周里：
当>70时，共有10周，此时只有1台光照控制仪运行， 周总利润Y =1×3000-2×1000=1000元．……………………8分 当50≤≤70时，共有35周，此时有2台光照控制仪运行， 周总利润Y =2×3000-1×1000=5000元．………………………9分 当<50时，共有5周，此时3台光照控制仪都运行， 周总利润Y =3×3000=9000元．………………10分 所以过去50周周总利润的平均值10001050003590005
460050
Y ⨯+⨯+⨯=
=元，
所以商家在过去50周周总利润的平均值为4600元．………12分 20. 解：（1
）由已知得
2213
14c a a b
=+=， 解得2
2
4,1a b ==，∴椭圆E 的方程为2
214
x y +=； （2）把y kx m =+代入E 的方程得：
()()2
2
2148410k x
kmx m +++-=，
设()()1122,,,P x y Q x y ，则()2121222
418,1414m km
x x x x k k
--+==++，① 由已知得()()1221
121221121212
2OF OQ kx m x kx m x y y y x y x k k x x x x x x +++++=
+===，
∴()()1212210k x x m x x -++=，② 把①代入②得
()()222
2811801414k m km k k
---=++， 即2
1m k +=，③
又(
)(
)
22
2
1641164k m k k ∆=-+=+，
由224010
k k m k ⎧+>⎨=-≥⎩，得14k <-或01k <≤，
由直线l 与圆2
2
1x y +=
1=④
③④联立得0k =（舍去）或1k =-，∴2
2m =， ∴直线l
的方程为y x =-±．
21．解：（1）h （）=f （）﹣g （）=2﹣2aln ，＞0
所以 h ′（）
=
当a ≤0，h ′（）＞0，此时h （）在（0，+∞）上单调递增，无极值， 当a ＞0时，由h ′（）＞0，即2﹣a ＞0，解得：a
＞
或＜﹣
，（舍去）
由h ′（）＜0，即2﹣a ＜0，解得：0
＜＜
，
∴h （）在（0
，
）单调递减，在（
，+∞）单调递增， ∴h （）的极小值为h
（）=a ﹣
2aln
=a ﹣alna ，无极大值；
（2）当a=e 时，由（1）知
min ()h x =h
（
）=h
（）=e ﹣elne=0
∴f （）﹣g （）≥0， 也即 f （）≥g （），当且仅当
=时，取等号；
以（1)e +为公共切点，
f
′（
）=g
′（
）=
所以y=f （）与y=g （）有公切线，切线方程
y=2+1﹣e ，
构造函数
2()()1)(h x f x e x =--+=，显然()0h x ≥
1()e f x ∴+-≤
构造函数
()1)()2ln k x e g x e x e =+--=--(0)x >
()k x '= 由()0k x '> 解得
x >
()0k x '< 解得 0x <<
所以()k x 在上递减，在)+∞上递增
min ()0k x k ∴==，即有1)()e g x +-≥
从而 ()1()g x x e f x ≤+-≤，此时1k m e ==-
22. 解：（Ⅰ）因为曲线C 的极坐标方程为2
4cos 6sin 40ρρθρθ--+=，
所以曲线C 的普通方程为2
2
4640x y x y +--+=，
即22
(2)(3)9x y -+-=， 所以曲线C 的参数方程为23cos 33sin x y ϕ
ϕ
=+⎧⎨
=+⎩（ϕ为参数）．
（Ⅱ）把代入1cos 1sin x t y t αα
=+⎧⎨
=+⎩代入22
(2)(3)9x y -+-=，
并整理得2
2(cos 2sin )40t t αα-+-=， 设A ，B 对应的参数分别为1t ，2t ， 所以122(cos 2sin )t t αα+=+，124t t =-，
所以1212||||||||AB t t t t =+=-==
==
=
设4cos 5ϕ=
，3
sin 5
ϕ=，
∴||AB =
∵1sin(2)1αϕ-≤-≤，∴1610sin(2)263αϕ≤-+≤，∴4||6AB ≤≤， ∴||AB 的取值范围为[]4,6．
23. 解：(Ⅰ)⎩
⎨⎧>-+-≥32222x x x 解得37>x
⎩⎨
⎧>-+-<<322221x x x 解得φ∈x
⎩⎨⎧>-+-≤32221x x x 解得13x <…………………3分
不等式的解集为17
(,)(,)
33-∞+∞………………5分
(Ⅱ)时，2>a ⎪⎩⎪
⎨⎧≥--<<-+-≤++-=a
x a x a
x a x x a x x f ,2232,222,223)(；
时，2=a 36,2
()36,2x x f x x x -+≤⎧=⎨
->⎩；
时，2<a ⎪⎩⎪
⎨⎧≥--<<+-≤++-=2
,2232
,22,223)(x a x x a a x a
x a x x f ； ∴)(x f 的最小值为)()2(a f f 或；………………8分
则⎩
⎨
⎧≥≥1)2(1)(f a f ，解得1≤a 或3≥a .………………10分。