《古典概型》课件

例5.一人有n把钥匙，其中只有一把可打开房门，随机逐个 试验钥匙，问“房门恰在第k次被打开”的概率是多少？
解析：解法一：n把钥匙按任意顺序开锁，共有 n!种开法，限定第k次成功，则第k次只能是确定 的一把，其他钥匙次序任意，共有（n-1）!种开 法，故p= （n-1）!/ n!= 1
n
解法二：只考虑第k次试验时的钥匙，第k次试验的 钥匙是任意一把时共有n种取法，第k次恰能打开房
解：（1） 记“甲不站正中间”事件A
P(A)

6 A66 A77

6 7
（2）记“甲、乙两人正好相邻”为事件B （3）记“甲、乙两人不相邻”为事件C
P(B) A66 A22 2
A77
7
P(C) A55 A62 5
A77
7
例4．甲、乙两人参加普法知识竞赛，共设有10个不同的 题目，其中选择题6个，判断题4个，甲、乙二人依次各抽一 题，计算
这种分析也与大量重复试验的结果
是一致的.
问：什么样的事件的概率可以不通过 重复试验，而通过对一次试验中可能 出现的结果的分析来计算其概率呢？
（1）所有结果出现的可能性都相等
（2）所出现的结果是有限的
⑴基本事件：一次试验连同其中可能出现的每一个结果称 为一个基本事件。
如抛掷硬币的试验中，由2个基本事件组成。抛掷一个均 匀的骰子的试验中，由6个基本事件组成。
2 5
。记“任取2件，都是次品”
P(A2)

C52 C2
100

1 495
答：2件都是次品的概率为 1
495
由种于，（在事3件C）12A00记3种的“结概任果率取中P2(，件A3取，) 到1件C1件C91是512合合0C0格51格品品1、1、99118件件次是19品次的品结”果为有事CA件3915
解 （2）按四位数字号码的最后一位数字，有10种按法。由于 最后一位数字是随意按下的，按下其中各个数字的可能性相等，
可得按下的正好是密码的最后一位数字的概率
P2

1 10
答：正好按对密码的概率是 1
10
例3．7名同学站成一排，计算：
（1）甲不站正中间的概率；
（2）甲、乙两人正好相邻的概率；
（3）甲、乙两人不相邻的概率
硬币抛掷俩次总共出现的结果有正正正1记一次正面向上一次反面向上为事件a则事件a包括正反反正2记至少一次正面向上为事件b则事件b包括正在2次抛掷中向上的数之和为5的结果有4种
3.2.1古典概型 （等可能事件的概
一.复习:随机事件及其概率
1.在一定的条件下必然要发生的事件;
叫必然事件;
2.在一定的条件下不可能发生的事件;
（1）甲抽到选择题，乙抽到判断题的概率是多少？
（2）甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的概率是多少 ？
解：（1）记“甲抽到选择题，乙抽到判断题”为事件A
P(A)

C61 C41 A120
4 15
（2）记“甲、乙二人中至少有一人抽到选择题”为事件B
P(B)A62C61A C12410C41C611153

。
C51
答：1件是合格品、1件是次品的概率为
198
例题
例题2：储蓄卡上的密码是一种四位数字号码，每位上的数字
可在0到9这10个数字中选取。
（1）使用储蓄卡时如果随意按下一个四位数字号码，正好按
对这张储蓄卡的密码的概率是多少？
（2）某人未记准储蓄卡的密码的最后一位数字，他在使用这
张储蓄卡时如果前三位号码仍按本卡密码，而随意按下密码的最
后一位数字，正好按对密码有概率是多少？
解：（1）由于储蓄卡的密码是一个四位数字号码，且每位上的
数字有从0到9这10种取法，根据分步计数原理，这种号码共有10 4个
。又由于是随意按下一个四位数字号码，按下其中哪一个号码的可
能性都相等，可得正好按对这张储蓄卡的密码的概率
P1

1 10 4
答：正好按好这张储蓄卡的密码的概率只有
（2）等可能事件： 如果一次试验由n个基本事件组成，而且所有的基本事件
出现 的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是 1/n 。
事件A：试验中的一个事件，它由一个或几个基本 事件构成
新疆 王新敞
奎屯ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
问题3：抛掷一个骰子，求骰子落地时 向上的数是三的倍数的概率是多少呢？
（3）等可能事件概率：
如果一次试验中共有n种基本事件，而且所 有的基本事件出现的可能性都相等，其中事 件A包含的结果有m种，那 么事件A的概率 P（A）是m/n（m≤n）
（2）从3个黑球中摸出2个球，共有
C
2 3

3
种不同的结果，这些结果组成I的一个含有3 个元素的子集A，如图：
∴从口袋内摸出2个黑球有3种不同的 结果.
（3）由于口袋内4个球的大小相等 ，从中摸出2个球的6种结果是等可能 的，又在这6种结果中，摸出2个黑球 的结果有3种，因此从中摸出2个黑球
的概率P(A)= 3 1 62
1
10 4
例题
例题5：储蓄卡上的密码是一种四位数字号码，每位上的数字 可在0到9这10个数字中选取。
（1）使用储蓄卡时如果随意按下一个四位数字号码，正好按 对这张储蓄卡的密码的概率是多少？
（2）某人未记准储蓄卡的密码的最后一位数字，他在使用这 张储蓄卡时如果前三位号码仍按本卡密码，而随意按下密码的最 后一位数字，正好按对密码有概率是多少？
∴从口袋内摸出2个黑球的概率是 1
2
例2 掷一枚均匀的硬币俩次，那么
（1）出现一次正面向上，一次反面向上的概率 是多少？
（2）至少一次正面向上的概率是多少？
解：硬币抛掷俩次总共出现的结果有{（正，正），（正， 反），（反，正），（反，反）}
（1）记“一次正面向上，一次反面向上”为事件A,则
事件A包括{（正，反），（反，正）}
①1枚伍分，1枚贰分，3枚壹分共 C21C31C53种取法
②1枚伍分，4枚壹分,共 C21 C54种取法 ③3枚贰分，2枚壹分，共 C33 C52种取法 ④2枚贰分，3枚壹分，共 C32 C53种取法 ⑤1枚贰分，4枚壹分，共 C31 C54种取法
⑥5枚壹分共 C55种取法
P (A ) C 2 1 C 3 1 C 5 3 C 2 1 C 5 4 C 3 3 C C 1 5 5 2 0 C 3 2 C 5 3 C 3 1 C 5 4 C 5 5 1 2
也可理解为：在一次试验中，等可能出现的n个 结果组成一个集合I，这n个结果就是集合I的n 个元素，各基本事件均对应于集合I的含有1个 元素的子集，包含m个结果的事件A对应于I的 含有m个元素的子集A.
因此从集合的角度看，事件A的概率是子集A的元
素个数（记作card(A)）与集合I的元素个数（记作
card（I））的比
取2件，计算：
（1）2件都是合格品的概率；
（2）2件都是次品的概率；
（3）1件是合格品、1件是次品的概率。
解：从100件产品中任取2件可能出现的结果数，就是从100个
元素中任取2个的组合数C1200 。由于是任意抽取，这些结果出现的
可能性都相等。
（1）由于在100件产品中有95件合格品，取到2件合格品的结
即可以认为出现“正面向上”的概率是 1 2
出现“反面向上”的概率也是 1 2
.这与大量重复试验的结果是一致的.
问题2：抛掷一个骰子，它落地时向上的 数可能是……
可能是情形1，2，3，4，5，6之一. 即可能出现的结果有6种，且每种结果出现 的机会是 均等的（因为骰子是均匀的）
也就是说，出现每一种结果的概率都是 1 6
门，只有一种取法，故p= 1 n
练习
某人有5把钥匙，但忘记开房门的是哪能一把，逐把试开， 问：⒈恰好第三次打开房门锁的概率是多少？⒉三次内打 开房门锁的概率是多少？⒊如5把内有2把房门钥匙，三次 内打开的概率是多少？
〔答：⒈ 1/5 ⒉ 3/5 ⒊ 9/10 〕
练习
袋中有硬币10枚，其中2枚是伍分的，3枚是贰分的 5枚是壹分的，现从中任取5枚，求钱数不超过壹角的概率 解：设A=取出5枚对应的钱数不超过壹角
13 20
答：甲不担任第一种工作，乙不担任第二种工作的 概率是13/20
1
∴P(A)=
2
（2）记“至少一次正面向上”为事件B ,则事件B包括{（正， 正），（正，反），（反，正）}
∴P(B)=3/4
例3将骰子先后抛掷2次，计算： （1）一共有多少种不同的结果？ （2）其中向上的数之和是5的结果有多少种？ 解（：3（）1向）上将的骰数子之抛和掷是1次5的，概它率落是地多时少向？上 数有1，2，3，4，5，6这6种结果，根据分 步计数原理，先后将这种玩具抛掷2次，一 共有6×6=36种不同的结果.
答：钱数不超过壹角的概率是1/2
练习
分配5个人担任5种不同的工作，求甲不担任第一种
工作，乙不担任第二种工作的概率。
解：5个人担任5种不同的工作的结果数为
A
5 5
；甲不
担任第一种工作，乙不担任第二种工作的结果数为
A5 52A4 4A3 3 ，故满足条件的概率是
PA5 5
2A4 4 A5 5
A3 3
（2）在上面所有结果中，向上的数之和为 5的结果有（1，4），（2，3），（3，2）， （4，1）4种，其中括弧内的前、后2个数 分 别为第1、2次抛掷后向上的数.
∴在2次抛掷中，向上的数之和为5的结果有4种.
（3）由于骰子是均匀的，将它抛掷2次的所有
36种结果是等可能出现的.
其中向上的数之和是5的结果（记为事件A）
2） 如果事件A与事件B互斥，则 P（A∪B）=P（A）+P（B）
3）如果事件A与事件B是对立事件时，有 P（A）=1- P（B）
对于随机事件，我们是否只 能通过大量重复试验才能求 其概率呢
有的情况下的大量重复的试验 是否可以避免？
问题1：抛一枚均匀的硬币，可能出现的结果
有： 正面向上反面向上
由于硬币是均匀的，可以认为出现这2种结果 的可能性是，相等的
叫不可能事件；
3.在一定的条件下可能发生也可能不发生的事件; 叫随机事件.
4.随机事件的概率
m
在大量重复进行同一试验时，事件A发生的频率 n 总是接近
于某个常数，在它附近摆动，这时就把这个常数叫做事件A的概
率,记作P(A).
5.随机事件的概率性质
1) 0≤P(A)≤1, 不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1.
值，即：P(A)=
card(A) m. card(I) n
例1一个口袋内装有大小相等的1个白球和已编有 不同号码的3个黑球，从中摸出2个球.
（1）共有多少种不同的结果？ （2）摸出2个黑球有多少种不同的结果？ （3）摸出2个黑球的概率是多少？
解有结： ：果（ C组124）成=从的6装种集有不合4个同I球含的的有结口6果袋个内，元摸即素出由2.∴个所球共有，共 有6种不同的结果.
有4种，因此，所求的概率P(A)=4 1
36 9
∴抛掷骰子2次，向上的数之和为5的概率是
1 9
例4.袋中有4个白球和5个黑球，连续从中取 出3个球，计算：
（1）“取后放回，且顺序为黑白黑”的概率；
（2）“取后不放回，且取出2黑1白”的概率。
例题
例题1：在100件产品中，有95件合格品，5件次品。从中任
果数，就是从95个元素中任取2个的组合数
C
2 95
，记“任取2件，都
是合格品”为事件AP1 (，A那1)么事CC1件2920A501
的概率
893 990
答：2件都是合格品的概率为893
990
例题
（2）由于在100件产品中有5件次品，取到2件次品的结果数，
就是从5个元素中任取2个的组合数 C
为事件A2 ，那么事件A2 的概率