江苏省扬州中学2023届高三下学期5月适应性考试数学试题

一、单选题
1. 过双曲线
的右焦点
作一条渐近线的垂线，垂足为，交另一条渐近线于
点，且，则该双曲线的离
心率为（ ）
A
．B
．C
．D
．
2. 《孔雀东南飞》中曾叙“十三能织素，十四学裁衣，十五弹箜篌，十六诵诗书.”箜篌历史悠久、源远流长，音域宽广、音色柔美清撤，表
现力强.如图是箜篌的一种常见的形制，对其进行绘制，发现近似一扇形，在圆弧的两个端点A ，B
处分别作切线相交于点，测得切线
，
，
，根据测量数据可估算出该圆弧所对圆心角的余弦值为（
）
A ．0.62
B ．0.56
C
．D
．
3. 在四棱锥
中，
，过直线
的平面将四棱锥截成体积相等的两个部分，设该平面与棱
交于点E
，则
（ ）
A
．B
．C
．D
．
4. 已知正数，，
满足
，，
，则（ ）
A
．B
．C
．
D
．
5.
已知等差数列
的前
项和为
，若
，则
（ ）
A ．2
B
．C
．D
．
6. 斜率为2的直线l
过双曲线
的右焦点，且与双曲线的左右两支分别相交，则双曲线的离心率e 的取值范围是
A
．B
．C
．
D
．
7.
已知抛物线:
的焦点为，准线为，和
是
上的两个动点，且
，
，设线段
的中点
在上
的射影为点，则
（ ）
A
．B
．
C ．1
D
．
8. 已知复数满足
（其中为虚数单位），则复数
（ ）
A
．B
．C
．D
．
江苏省扬州中学2023届高三下学期5月适应性考试数学试题
二、多选题
三、填空题
9.
已知
是离心率为的椭圆
()的右焦点，过坐标原点O 作直线l 交椭圆于A ，B 两点(点A 位于第一象限)，若
，则直线BF 的斜率等于（ ）
A
．
B
．
C
．
D
．
10. 已知函数
（
），
，对任意的
，关于的方程
在
有两个不
同的实数根，则实数
的取值范围（其中
为自然对数的底数）为（ ）
A
．B
．C
．
D
．
11. 给出如下四个命题：①若“且”为假命题，则
均为假命题；②命题“若
，则
”的否命题为“若
，则
”；③
命题“
，
”的否定是“
，
”；④在中，“”是“”的充要条件.其中正确的命题是（ ）
A ．②③④
B ．①③④
C ．①②④
D ．①②③
12. 设全集
，集合
，
，则
（ ）
A
．
B
．C
．D
．
13. 声音是由物体振动产生的声波,其中包含着正弦函数.纯音的数学模型是函数
,我们听到的声音是由纯音合成的,称之为复合音.若
一个复合音的数学模型是函数
,则下列结论正确的是（ ）
A
．
是的一个周期
B ．
在上有个零点C
．
的最大值为
D ．
在
上是增函数
14. 设是内部（不含边界）的一点，以下可能成立的是（ ）
A
．B
．C
．
D
．
15. 历史上第一个给出函数一般定义的是19世纪德国数学家狄利克雷(Dirichlet )，当时数学家们处理的大部分数学对象都没有完全的严格的定
义，数学家们习惯借助于直觉和想象来描述数学对象，狄利克雷在1829
年给出了著名函数：
(其中为有理数集，
为无
理数集)，狄利克雷函数的出现表示数学家们对数学的理解发生了深刻的变化，数学的一些“人造”特征开始展现出来，这种思想也标志着数学从研究“算”转变到了研究“概念､性质､结构”.
一般地，广义的狄利克雷函数可定义为：
(其中
，且
)
，以下对
说法错误的是（ ）
A
．定义域为B
．当时，
的值域为；当时，
的值域为
C
．为偶函数D ．是一个具有最小正周期的周期函数
16. 在复数范围内，下列命题不正确的是（ ）
A ．若是非零复数，则不一定是纯虚数
B ．若复数满足，则是纯虚数
C ．若
，则
且D
．若，为两个复数，则一定是实数
17. 正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E ，F 分别为BB 1，CD 的中点，则点F 到平面A 1D 1E 的距离为________．
四、填空题
五、解答题
六、解答题
18. 设
，，
，为球的球面上的四个点，满足
，
.若四面体
的表面积为，则球的表
面积为______.
19. 若
对任意
恒成立，则实数k 的取值范围是___________.
20. 某圆柱的高为2，底面周长为16，则其体积为_________，若该圆柱的三视图如图所示，圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ，圆柱
表面上的点N 在侧视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为
___________.
21. 棱长为2的正方体内切球的表面积为_______，棱长为3的正方体外接球的体积为_______
22. 某校高中“数学建模”实践小组欲测量某景区位于“观光湖”内两处景点，之间的距离，如图，
处为码头入口，处为码头，
为通往
码头的栈道，且，在B 处测得
，在处测得
（
均处于同一测
量的水平面内）
(1)求两处景点之间的距离；(2)
栈道
所在直线与
两处景点的连线是否垂直？请说明理由.
23. 已知函数
.
（1
）化简函数的表达式，并求函数的最小正周期；
（2）若点
是
图象的对称中心，且
，求点的坐标.
24.
（理）某学校高一年级学生某次身体素质体能测试的原始成绩采用百分制，已知所有这些学生的原始成绩均分布在
内，发布
成绩使用等级制各等级划分标准见下表，规定：
三级为合格等级，为不合格等级.
百分制85分及以上70分到84分60分到69分60分以下
等级
为了解该校高一年级学生身体素质情况，从中抽取了
名学生的原始成绩作为样本进行统计，按照
的分组作出频率分布直方图如图所示，样本中分数在80分及以上的所有数据的茎叶图
如图所示.
，
（1）求和频率分布直方图中的
的值；
七、解答题
八、解答题
九、解答题
（2）根据样本估计总体的思想，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，若在该校高一学生任选3人，求至少有1人成绩是合格等级的概率；
（3）在选取的样本中，从两个等级的学生中随机抽取了3名学生进行调研，记表示所抽取的名学生中为等级的学生人数，求随机
变量的分布列及数学期望.
25. 如图，在四棱锥
中，底面ABCD 为平行四边形，
，为锐角，平面
平面ABCD ，点M 为PC 上一
点．
（1）若平面MBD ，求证：点M 为PC 的中点；
（2）求证：平面
平面PCD ．
26. 已知函数
，不等式
的解集为
.
（1）求实数，的值；（2）若
，，，求证：
.
27. 冰壶是2022年2月4日至2月20日在中国举行的第24届冬季奥运会的比赛项目之一．冰壶比赛的场地如图所示，其中左端（投掷线MN 的左
侧）有一个发球区，运动员在发球区边沿的投掷线MN 将冰壶掷出，使冰壶沿冰道滑行，冰道的右端有一圆形的营垒，以场上冰壶最终静止时距离营垒区圆心O 的远近决定胜负，甲、乙两人进行投掷冰壶比赛，规定冰壶的重心落在圆O 中，得3分，冰壶的重心落在圆环A 中，得2分，冰壶的重心落在圆环B 中，得1分，其余情况均得0分．已知甲、乙投掷冰壶的结果互不影响，甲、乙得3分的概率分别为
，；甲、乙得2分的概率分别为，；甲、乙得1分的概率分别为，
．
(1)求甲、乙两人所得分数相同的概率；
(2)设甲、乙两人所得的分数之和为X ，求X 的分布列和期望．
28. 已知
的角A ，B ，C 对边分别为a ，b ，c ，
，
.
（1）求∠C ；（2）求
面积的最大值.。