奇偶性 课件

反思与感悟 奇偶性推广到一般的对称性后，要善于抓住特征识别 对称中心(或对称轴)，而应用对称性与应用奇偶性完全类似.
跟踪训练5 定义在R上的偶函数f(x)满足：f(x－4)＝－f(x)，且x∈[0,2]时， f(x)＝x.试画出f(x)的图象. 解 ∵f(x)是偶函数，∴f(x)的图象关于y轴对称. 又∵f(x－4)＝－f(x)＝－f(－x)，∴f(x)关于点C(－2,0)对称. 反复利用f(x)关于(－2,0)对称又关于y轴对称， 可画出的图象如图：
引申探究 区间[a，b]和[－b，－a]关于原点对称. (1)若f(x)为奇函数，且在[a，b]上有最大值M，则f(x)在[－b，－a]上有最 __小__值_－__M__.
解析 设x∈[－b，－a]，则－x∈[a，b]， ∴f(－x)≤M且存在x0∈[a，b]，使f(x0)＝M. ∵f(x)为奇函数，∴－f(x)≤M，f(x)≥－M， 且存在－x0∈[－b，－a]，使f(－x0)＝－M. ∴f(x)在[－b，－a]上有最小值－M.
反思与感悟 若f(x)在[a，b]上单调递增，则x1，x2∈[a，b]时，可由 f(x1)<f(x2)推知x1<x2.但是如果不知道x1或x2是否在[a，b]内呢？这时如果 已知函数奇偶性，可以借助奇偶性把x1，x2转化为在已知区间[a，b]内.
跟踪训练4 奇函数f(x)在[0，＋∞)上单调递减，解不等式f(x－1)＋f(2x
类型二 奇偶性对单调性的影响 命题角度1 由x的取值情况推导f(x)的取值情况 例3 设f(x)是偶函数，在区间[a，b]上是减函数，试证f(x)在区间 [－b，－a]上是增函数. 证明 设x1，x2是区间[－b，－a]上任意两个值，且有x1＜x2. ∵－b≤x1＜x2≤－a，∴a≤－x2＜－x1≤b. ∵f(x)在[a，b]上是减函数，∴f(－x2)＞f(－x1). ∵f(x)为偶函数，即f(－x)＝f(x)， ∴f(－x2)＝f(x2)，f(－x1)＝f(x1).∴f(x2)＞f(x1)，即f(x1)＜f(x2). ∴函数f(x)在区间[－b，－a]上是增函数.
知识点三 奇偶性的推广
一般地，对于定义域内任意x， (1)若f(a－x)＝2b－f(a＋x)，则f(x)的图象关于点(a，b)对称.当a＝b＝0时， 即为奇函数的定义. (2)若f(a－x)＝f(a＋x)，则f(x)的图象关于直线x＝a对称，当a＝0时，即 为偶函数的定义.
类型一 用奇偶性求解析式
知识点二 奇偶性与单调性
思考 观察偶函数y＝x2与奇函数y＝ 1 在(－∞，0)和(0，＋∞)上的单调 x
性，你有何猜想？
答案 偶函数y＝x2在(－∞，0)和(0，＋∞)上的单调性相反；奇函数y＝1 x
在(－∞，0)和(0，＋∞)上的单调性相同.
梳理 一般地，若函数f(x)为奇函数，则f(x)在关于原点对称的两个区间 [a，b]和[－b，－a]上具有相同的单调性；若函数f(x)为偶函数，则f(x)在 关于原点对称的两个区间[a，b]和[－b，－a]上具有相反的单调性.
命题角度1 已知区间[a，b]上的解析式，求[－b，－a]上的解析式 例1 函数f(x)是定义域为R的奇函数，当x>0时，f(x)＝－x＋1，求当 x<0时，f(x)的解析式.
解 设x<0，则－x>0， ∴f(－x)＝－(－x)＋1＝x＋1， 又∵函数f(x)是定义域为R的奇函数， ∴f(－x)＝－f(x)＝x＋1， ∴当x<0时，f(x)＝－x－1.
解 设x<0，则－x>0，因为f(x)是奇函数， 所以当x<0时， f(x)＝－f(－x)＝－[2(－x)－(－x)2]＝2x＋x2. 因为y＝f(x)是R上的奇函数，所以f(0)＝0. 所以 f(x)＝x22x＋－2xx2， ，xx≤ >00. ，
命题角度2 已知一奇一偶两函数之和，求这两个函数的解析式 例 2 设 f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且 f(x)＋g(x)＝x－1 1，求函数 f(x)， g(x)的解析式.
(2)若f(x)为奇函数，f(x)＋2在[a，b]上有最大值M，则f(x)＋2在[－b，－a] 上有最_小__值－__M__＋__4_.
解析 由(1)知，f(x)在[a，b]上有最大值M－2时， f(x)在[－b，－a]上有最小值－M＋2. ∴f(x)＋2在[－b，－a]上有最小值－M＋4.
反思与感悟 与求解析式一样，证哪个区间上的单调性，设x1，x2属 于哪个区间.同样，求哪个区间上的最值，也设x属于哪个区间.
反思与感悟 求给定哪个区间的解析式就设这个区间上的变量为x， 然后把x转化为－x，此时－x成为了已知区间上的解析式中的变量， 通过应用奇函数或偶函数的定义，适当推导，即可得所求区间上的 解析式.
跟踪训练1 已知y＝f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)＝2x－ x2，求y＝f(x)的解析式.
跟踪训练 3 已知奇函数 f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，且不等
式f(xx1)1－－fx(2x2)>0 对任意两个不相等的正实数 x1，x2 都成立，则下列不等
式中，正确的是
A.f(－5)>f(3)
B.f(－5)<f(3)
√C.f(－3)>f(－5)
D.f(－3)<f(－5)
命题角度2 由f(x)的取值情况推导x的取值情况 例4 已知偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递减，f(2)＝0.若f(x－1)>0，则 x的取值范围是_(－__1_,_3_)_. 解析 ∵f(x)为偶函数， ∴f(x－1)＝f(|x－1|)， 又f(2)＝0，∴f(x－1)>0， 即f(|x－1|)>f(2)， ∵|x－1|,2∈[0，＋∞)，且f(x)在[0，＋∞)上单调递减， ∴|x－1|<2，即－2<x－1<2， ∴x的取值范围是(－1,3).
数f(x)，g(x)的解析式.
解 ∵f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，
∴f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)，
由f(x)＋g(x)＝2x＋x2.
①
Hale Waihona Puke 用－x代替x，得f(－x)＋g(－x)＝－2x＋(－x)2，
∴f(x)－g(x)＝－2x＋x2，
②
(①＋②)÷2，得f(x)＝x2；
(①－②)÷2，得g(x)＝2x.
反思与感悟 f(x)＋g(x)＝x－1 1 对定义域内任意x都成立，所以可以对 x任意赋值，如x＝－x.
因为f(x)，g(x)一奇一偶，才能把－x的负号或提或消，最终得到关于
f(x)，g(x)的二元方程组，从中解出f(x)和g(x).
跟踪训练2 设f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝x2＋2x，求函
＋3)>0.
解 ∵f(x)在[0，＋∞)上单调递减且为奇函数，
∴f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减，
∴f(x－1)＋f(2x＋3)>0⇔f(x－1)>－f(2x＋3)＝f(－2x－3)⇔x－1<－2x－3，
解得 x<－23，∴原不等式的解集为xx<－23
.
类型三 对称问题
例5 定义在R上的奇函数f(x)满足：f(x－4)＝－f(x)，且当x∈[0,2]时， f(x)＝x，试画出f(x)的图象.
奇偶性的应用
1.掌握用奇偶性求解析式的方法. 2.理解奇偶性对单调性的影响并能用以解不等式. 3.了解函数的奇偶性的推广——对称性．
知识点一 用奇偶性求解析式
如果已知函数的奇偶性和一个区间[a，b]上的解析式，想求关于原点的 对称区间[－b，－a]上的解析式，其解决思路为： (1)“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式，x就应在哪个区间上设. (2)要利用已知区间的解析式进行代入. (3)利用f(x)的奇偶性写出－f(x)或f(－x)，从而解出f(x). 特别提醒：若函数f(x)的定义域内含0且为奇函数，则必有f(0)＝0，但若 为偶函数，未必有f(0)＝0.