苏科版八年级数学下册期中复习知识点

苏科版八年级数学下册期中复习知识点
一、选择题
1．一个不透明的盒子里有n个除颜色外其他完全相同的小球，其中有9个黄球，每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复摸球实验后发现，摸到黄球的频率稳定在30%，那么估计盒子中小球的个数n为（）
A．20 B．24 C．28 D．30
2．“明天会下雨”这是一个（）
A．必然事件B．不可能事件
C．随机事件D．以上说法都不对
3．下列成语故事中所描述的事件为必然发生事件的是（）
A．水中捞月B．瓮中捉鳖C．拔苗助长D．守株待兔
4．如图，在矩形ABCD中，AB＝4cm，AD＝12cm，点P在AD边上以每秒1cm的速度从点A向点D运动，点Q在BC边上，以每秒4cm的速度从点C出发，在CB间往返运动，两个点同时出发，当点P到达点D时停止（同时点Q也停止），在这段时间内，线段PQ平行于AB的次数是（）
A．2 B．3 C．4 D．5
5．如图，▱ABCD的周长为22m，对角线AC、BD交于点O，过点O与AC垂直的直线交边AD于点E，则△CDE的周长为（）
A．8cm B．9cm C．10cm D．11cm
6．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）
A．B．
C．D．
7．下列条件中，不能
．．判定平行四边形ABCD为矩形的是（）
A．∠A＝∠C B．∠A＝∠B C．AC＝BD D．AB⊥BC
8．若分式
5
x
x
的值为0，则（）
A．x＝0 B．x＝5 C．x≠0 D．x≠5 9．下列分式中，属于最简分式的是()
A．6
2a
B．
2
x
x
C．
1
1
x
x
-
-
D．
21
x
x+
10．如图，正方形ABCD中，点E、F、H分别是AB、BC、CD的中点，CE、DF交于G，连
接AG、HG，下列结论：①CE⊥DF；②AG=AD；③∠CHG=∠DAG；④HG=1
2
AD．其中正确
的有( )
A．①②B．①②④C．①③④D．①②③④
二、填空题
11．在平面直角坐标系中，点P（5，﹣3）关于原点对称的点的坐标是___．
12．在不透明的口袋中有若干个完全一样的红色小球，现放入10个仅颜色不同的白色小球，均匀混合后，有放回的随机摸取30次，有10次摸到白色小球，据此估计该口袋中原有红色小球个数为_____．
13．不透明的袋子里装有3只相同的小球，给它们分别标上序号1、2、3后搅匀．事件“从中任意摸出1只小球，序号为4”是_____事件（填“必然”、“不可能”或“随机”）．
14．不透明的袋子里装有6只红球，1只白球，这些球除颜色外都相同．搅匀后从中任意摸出1只球．摸出的是红球的可能性_____摸出的是白球的可能性（填“大于”、“小于”或“等于”）．
15．一个样本的50个数据分别落在5个小组内，第1、2、3、4组的数据的个数分别为2、8、15、5，则第5组的频率为______。

16．已知矩形ABCD，AB＝6，AD＝8，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转θ（0°＜θ＜360°）得到矩形AEFG，当θ＝_____°时，GC＝GB．
17．如图，BD是平行四边形ABCD的对角线，点E、F在BD上，要使四边形AECF是平行四边形，还需增加的一个条件是（填一种情况即
可）.
18．在△ABC 中，点D ，E 分别为BC ，AC 的中点，若DE ＝2，则AB 的长为_____． 19．已知1x ，2x ，…，10x 的平均数是a ；11x ，12x ，…，30x 的平均数是b ，则
1x ，2x ，…，30x 的平均数是_________．
20．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝5，AD ＝3，动点P 满足S △PAB ＝1
3
S 矩形ABCD ，则点P 到A 、B 两点距离之和PA +PB 的最小值为_____．
三、解答题
21．如图，在四边形ABCD 中，∠B=∠D ，∠1=∠2，求证：四边形ABCD 是平行四边形．
22．自2009年以来，“中国•兴化千垛菜花旅游节”享誉全国．“河有万湾多碧水，田无一垛不黄花”所描绘的就是我市发达的油菜种植业．为了解某品种油菜籽的发芽情况，农业部门从该品种油菜籽中抽取了6批，在相同条件下进行发芽试验，有关数据如表： 批次 1 2 3 4 5 6 油菜籽粒数 100
400
800
1000
2000
5000
发芽油菜籽粒数 a 318 652 793 1604 4005 发芽频率
0.850
0.795
0.815
0.793
b
0.801
（1）分别求a 和b 的值；
（2）请根据以上数据，直接写出该品种油菜籽发芽概率的估计值（精确到0.1）； （3）农业部门抽取的第7批油菜籽共有6000粒．请你根据问题（2）的结果，通过计算来估计第7批油菜籽在相同条件下进行发芽试验时的发芽粒数． 23．如图，在▱ABCD 中，E 为BC 边上一点，且AB ＝AE
（1）求证：△ABC≌△EAD；
（2）若∠B＝65°，∠EAC＝25°，求∠AED的度数．
24．如图所示的正方形网格中，△ABC的顶点均在格点上，请在所给直角坐标系中按要求画图和解答下列问题：
（1）以A点为旋转中心，将△ABC绕点A顺时针旋转90°得△AB1C1，画出△AB1C1．（2）作出△ABC关于坐标原点O成中心对称的△A2B2C2．
（3）作出点C关于x轴的对称点P．若点P向右平移x（x取整数）个单位长度后落在
△A2B2C2的内部，请直接写出x的值．
25．在Rt△ABC中，∠BAC=90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE 的延长线于点F，连接CF．
（1）求证：AF=BD．
（2）求证：四边形ADCF是菱形．
26．如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，BE平分∠ABC，试判断四边形DBFE的形状，并说明理由．
27．（数学实验）小明在学习轴对称一章角平分线一节后，做了一个实验：
第一步：如图1在一张纸上画了一个平角∠AOB；
第二步：如图2在平角∠AOB内画一条射线，沿着射线将平角∠AOB裁开；
第三步：如图3将∠AO'C'放在∠COB内部，使两边分别与OB、OC相交，且O'A＝O'C'；第四步：连接OO'，测量∠COB度数和∠COO'度数．
（数学发现与证明）通过以上实验，小明发现OO'平分∠COB．你能根据小明的实验给出的条件：（1）∠AO'C'与∠COB的关系是；（2）线段O'A与O'C'的关系是．
请您结合图3将小明的实验条件和发现结论完成下面“已知”“求证”，并给出证明．
已知：
求证：
证明：
28．已知四边形ABCD中，AB⊥AD，BC⊥CD，AB=BC，∠ABC=120゜，∠MBN=60゜，
∠MBN绕B点旋转，它的两边分别交AD，DC（或它们的延长线）于E，F．
(1)当∠MBN绕B点旋转到AE=CF时（如图1），试猜想线段AE、CF、EF之间存在的数量关系为．（不需要证明）；
(2)当∠MBN绕B点旋转到AE≠CF时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AE、CF、EF又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题
1．D
解析：D
【详解】
试题解析：根据题意得9
n
=30%，解得n=30，
所以这个不透明的盒子里大约有30个除颜色外其他完全相同的小球．
故选D．
考点：利用频率估计概率．
2．C
解析：C
【分析】
在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件．据此可得．
【详解】
解：“明天会下雨”这是一个随机事件，
故选：C．
【点晴】
本题主要考查随机事件，解题的关键是掌握随机事件的概念：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件．
3．B
解析：B
【解析】
试题分析：根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念可区别各类事件．
解：A、水中捞月是不可能事件，故A错误；
B、瓮中捉鳖是必然事件，故B正确；
C、拔苗助长是不可能事件，故C错误；
D、守株待兔是随机事件，故D错误；
故选B．
考点：随机事件．
4．C
解析：C
【分析】
当QP∥AB时，由AP∥BQ可得到ABQP为平行四边形，然后依据矩形的性质可得到AP＝BQ，然后求得AP＝BQ的次数即可．
【详解】
解：当QP∥AB时，
∵在在矩形ABCD，AD∥BC，
∴四边形ABQP为平行四边形，
∴AP＝BQ，
∵点P运动的时间＝12÷1＝12秒，
∴点Q运动的路程＝4×12＝48cm．
∴点Q可在BC间往返4次．
∴在这段时间内PQ与AB有4次平行．
故选：C．
【点睛】
本题考查了平行四边形的判定．注意能求出符合条件的所有情况是解此题的关键，注意掌握分类讨论思想的应用．
5．D
解析：D
【解析】
【分析】
由平行四边形的性质可得AB＝CD，AD＝BC，AO＝CO，可得AD+CD＝11cm，由线段垂直平分线的性质可得AE＝CE，即可求△CDE的周长＝CE+DE+CD＝AE+DE+CD＝AD+CD＝11cm．【详解】
解：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB＝CD，AD＝BC，AO＝CO，
又∵EO⊥AC，
∴AE＝CE，
∵▱ABCD的周长为22cm，
∴2（AD+CD）＝22cm
∴AD+CD＝11cm
∴△CDE的周长＝CE+DE+CD＝AE+DE+CD＝AD+CD＝11cm
故选：D．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质，线段垂直平分线的性质，熟练运用平行四边形的性质是本题的关键．
6．B
解析：B
【分析】
根据轴对称图形和中心对称图形的概念求解即可．
【详解】
解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
B、是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项正确；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；
D、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误．
故答案为B．
【点睛】
本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，掌握轴对称图形和中心对称图形的概念是解答本题的关键．
7．A
解析：A
【分析】
根据矩形的判定定理再结合平行四边形的性质对选项逐一进行推理即可．
【详解】
A、∠A=∠C不能判定这个平行四边形为矩形，故此项错误；
B、∵∠A=∠B，∠A+∠B=180°，
∴∠A=∠B=90°，可以判定这个平行四边形为矩形，故此项正确；
C、AC=BD，对角线相等，可推出平行四边形ABCD是矩形，故此项正确；
D、AB⊥BC，即∠B=90°，可以判定这个平行四边形为矩形，故此项正确；
故选：A．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质和矩形的判定，掌握知识点是解题关键．
8．B
解析：B
【分析】
直接利用分式的值为零则分子为零，分母不等于0，进而得出答案．
【详解】
解：∵分式
5
x
x
的值为0，
∴x﹣5＝0且x≠0，
解得：x＝5.
故选：B．
【点睛】
本题考查了分式，掌握“分式值为0”时的做题方法及分式有意义的条件是解题关键．9．D
解析：D
【解析】
【分析】
根据最简分式的概念判断即可．
【详解】
解：A. 6
2a
分子分母有公因式2，不是最简分式；
B. 2
x
x 的分子分母有公因式x ，不是最简分式； C. 11
x
x --的分子分母有公因式1-x ，不是最简分式; D.
21x
x +的分子分母没有公因式，是最简分式． 故选：D 【点睛】
本题考查的是最简分式，需要注意的公因式包括因数．
10．D
解析：D 【详解】
∵四边形ABCD 是正方形， ∴AB=BC=CD=AD ，∠B=∠BCD=90°， ∵点E 、F 、H 分别是AB 、BC 、CD 的中点， ∴△BCE ≌△CDF ， ∴∠ECB=∠CDF ， ∵∠BCE+∠ECD=90°， ∴∠ECD+∠CDF=90°， ∴∠CGD=90°， ∴CE ⊥DF ，故①正确；
在Rt △CGD 中，H 是CD 边的中点， ∴HG=
12CD=1
2
AD ，故④正确； 连接AH ，
同理可得：AH ⊥DF ， ∵HG=HD=
1
2
CD ， ∴DK=GK ， ∴AH 垂直平分DG ， ∴AG=AD ，故②正确； ∴∠DAG=2∠DAH ， 同理：△ADH ≌△DCF ， ∴∠DAH=∠CDF ， ∵GH=DH ， ∴∠HDG=∠HGD ，
∴∠GHC=∠HDG+∠HGD=2∠CDF ， ∴∠CHG=∠DAG ．故③正确． 故选D ．
【点睛】
运用了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质以及垂直平分线的性质等知识．此题综合性很强，难度较大，解题的关键是注意数形结合思想的应用．
二、填空题
11．（﹣5， 3）
【详解】
解：关于原点对称的点的坐标是横、纵坐标都互为相反数，从而点P（5，﹣3）关于原点对称的点的坐标是（﹣5， 3）．
故答案为: （﹣5， 3）．
解析：（﹣5， 3）
【详解】
解：关于原点对称的点的坐标是横、纵坐标都互为相反数，从而点P（5，﹣3）关于原点对称的点的坐标是（﹣5， 3）．
故答案为: （﹣5， 3）．
12．20
【分析】
利用频率估计概率，设原来红球个数为x个，根据摸取30次，有10次摸到白色小球结合概率公式可得关于x的方程，解方程即可得.
【详解】
设原来红球个数为x个，
则有=，
解得，x=20，
解析：20
【分析】
利用频率估计概率，设原来红球个数为x个，根据摸取30次，有10次摸到白色小球结合概率公式可得关于x的方程，解方程即可得.
【详解】
设原来红球个数为x个，
则有
10
10
x
=
10
30
，
解得，x=20，
经检验x=20是原方程的根.
故答案为20.
【点睛】
本题考查了利用频率估计概率和概率公式的应用，熟练掌握概率的求解方法以及分式方程的求解方法是解题的关键.
13．不可能
【分析】
根据三只小球中没有序号为4的小球进行判断即可求解．
【详解】
解：∵三只小球中没有序号为4的小球，
∴事件“从中任意摸出1只小球，序号为4”是不可能事件，
故答案为：不可能．
【点
解析：不可能
【分析】
根据三只小球中没有序号为4的小球进行判断即可求解．
【详解】
解：∵三只小球中没有序号为4的小球，
∴事件“从中任意摸出1只小球，序号为4”是不可能事件，
故答案为：不可能．
【点睛】
本题考查了事件发生的可能性．一定不可能发生的事件是不可能事件；一定会发生的事件是必然事件；有可能发生，也有可能不发生的事件是随机事件．
14．大于
【分析】
分别计算出摸出的是红球和白球的概率，然后根据概率的大小进行判断．
【详解】
解：从中任意摸出1只球．摸出的是红球的概率＝，
摸出的是白球的概率＝，
所以摸出的是红球的可能性大于摸出的
解析：大于
【分析】
分别计算出摸出的是红球和白球的概率，然后根据概率的大小进行判断．
【详解】
解：从中任意摸出1只球．摸出的是红球的概率＝6
7
，
摸出的是白球的概率＝1
7
，
所以摸出的是红球的可能性大于摸出的是白球的可能性．
故答案为：大于．
【点睛】
本题考查的是概率的意义，以及求简单随机事件的概率，掌握以上知识是解题的关键．15．4
【解析】
【分析】
根据总数计算出第5组的频数，用第5组的频数除以数据总数就是第五组的频率．
【详解】
解：第5组的频数：50-2-8-15-5=20，
频率为：20÷50=0.4，
故答案为：
解析：4
【解析】
【分析】
根据总数计算出第5组的频数，用第5组的频数除以数据总数就是第五组的频率．
【详解】
解：第5组的频数：50-2-8-15-5=20，
频率为：20÷50=0.4，
故答案为：0.4．
【点睛】
本题考查频数和频率的求法，关键知道频数=总数×频率，从而可求出解．
16．60或300
【分析】
当GB＝GC时，点G在BC的垂直平分线上，分两种情况讨论，依据∠DAG＝60°，即可得到旋转角θ的度数．
【详解】
解：当GB＝GC时，点G在BC的垂直平分线上，
分两种情况
解析：60或300
【分析】
当GB＝GC时，点G在BC的垂直平分线上，分两种情况讨论，依据∠DAG＝60°，即可得到旋转角θ的度数．
【详解】
解：当GB＝GC时，点G在BC的垂直平分线上，
分两种情况讨论：
①当点G在AD右侧时，取BC的中点H，连接GH交AD于M，
∵GC＝GB，
∴GH⊥BC，
∴四边形ABHM是矩形，
∴AM＝BH＝1
2
AD＝
1
2
AG，
∴GM垂直平分AD，
∴GD＝GA＝DA，
∴△ADG是等边三角形，
∴∠DAG＝60°，
∴旋转角θ＝60°；
②当点G在AD左侧时，同理可得△ADG是等边三角形，
∴∠DAG＝60°，
∴旋转角θ＝360°﹣60°＝300°．
故答案为60或300
【点睛】
本题考查了旋转的性质，矩形的性质，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．17．BE=DF（答案不唯一）
【分析】
根据平行四边形的判定添加条件即可．
【详解】
解：如图，连接AC交BD于点O，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AO＝CO，BO＝DO，
∴当BE＝DF时，可得
解析：BE=DF（答案不唯一）
【分析】
根据平行四边形的判定添加条件即可．
【详解】
解：如图，连接AC交BD于点O，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AO＝CO，BO＝DO，
∴当BE＝DF时，可得OE＝OF，则四边形AECF为平行四边形，
∴可增加BE＝DF，
故答案为：BE＝DF（答案不唯一）．
【点睛】
本题考查了平行四边形的判定，是开放题，答案不唯一，熟练掌握判定定理是解题的关键．
18．4
【分析】
根据三角形中位线定理即可得到结论．
【详解】
解：∵在△ABC中，点D，E分别为BC，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴AB＝2DE，
∵DE＝2，
∴AB＝4，
故答案为：
解析：4
【分析】
根据三角形中位线定理即可得到结论．
【详解】
解：∵在△ABC中，点D，E分别为BC，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴AB＝2DE，
∵DE＝2，
∴AB ＝4，
故答案为：4．
【点睛】
本题主要考查中位线的定义和性质，解决本题的关键是要熟练掌握中位线的定义和性质．
19．【分析】
利用平均数的定义，利用数据x1，x2，…，x10的平均数为a ，x11，x12，…，x30的平均数为b ，可求出x1+x2+…+x10=10a，
x11+x12+…+x30=20b，进而即可求 解析：1(1020)30
a b + 【分析】
利用平均数的定义，利用数据x 1，x 2，…，x 10的平均数为a ，x 11，x 12，…，x 30的平均数为b ，可求出x 1+x 2+…+x 10=10a ，x 11+x 12+…+x 30=20b ，进而即可求出答案．
【详解】
解：因为数据x 1，x 2，…，x 10的平均数为a ，则有x 1+x 2+…+x 10=10a ，
因为x 11，x 12，…，x 30的平均数为b ，则有x 11+x 12+…+x 30=20b ，
∴x 1，x 2，…，x 30的平均数=
()1102030a b + 故答案为：
1(1020)30
a b +． 【点睛】
本题考查的是样本加权平均数的求法．平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．平均数是表示一组数据集中趋势的量数，它是反映数据集中趋势的一项指标．解答平均数应用题的关键在于确定“总数量”以及和总数量对应的总份数． 20．【分析】
已知S△PAB＝S 矩形ABCD ，则可以求出△ABP 的高，此题为“将军饮马”模型，过P 点作直线l∥AB，作点A 关于l 的对称点E ，连接AE ，连接BE ，则BE 的长就是所求的最短距离.
【详解
【分析】
已知S △PAB ＝13
S 矩形ABCD ，则可以求出△ABP 的高，此题为“将军饮马”模型，过P 点作直线l ∥AB ，作点A 关于l 的对称点E ，连接AE ，连接BE ，则BE 的长就是所求的最短距离.
【详解】
解：设△ABP 中AB 边上的高是h ．
∵S △PAB ＝13
S 矩形ABCD ，
∴12AB •h ＝13
AB •AD ， ∴h ＝
23AD ＝2， ∴动点P 在与AB 平行且与AB 的距离是2的直线l 上，如图，作A 关于直线l 的对称点E ，连接AE ，连接BE ，则BE 的长就是所求的最短距离．
在Rt △ABE 中，∵AB ＝5，AE ＝2+2＝4，
∴BE ＝22225441+=+=AB AE ，
即PA +PB 的最小值为41．
故答案为：41．
【点睛】
本题主要考查的是勾股定理以及“将军饮马”的模型，“将军饮马”模型主要是用来解决最小值问题，掌握这模型是解题的关键.
三、解答题
21．详见解析.
【解析】
试题分析：根据已知易证∠DAC=∠ACB ，根据平行线的判定可得AD ∥BC ，AB ∥CD ，由两组对边分别平行的四边形是平行四边形即可判定四边形ABCD 是平行四边形．
试题解析：证明：∵∠1+∠B+∠ACB=180°，∠2+∠D+∠CAD=180°，∠B=∠D ，∠1=∠2， ∴∠DAC=∠ACB ，
∴AD ∥BC ，
∵∠1=∠2，
∴AB ∥CD ，
∴四边形ABCD 是平行四边形．
考点：平行四边形的判定．
22．（1）85a
，0.802b =；（2）0.8；（3）4800
【分析】
（1）用油菜籽粒数乘以发芽频率求得a 的值，用发芽油菜籽粒数除以油菜籽总数即可求得b 的值．
（2）观察大量重复试验发芽的频率稳定到哪个常数附近即可用哪个数表示发芽概率． （3）用油菜籽总数乘以发芽概率即可求得发芽粒数．
【详解】
（1）1000.85085a =⨯=，16040.8022000
b ==； （2）∵观察表格发现发芽频率逐渐稳定到0.8附近，
∴该品种油菜籽发芽概率的估计值为0.8；
（3）60000.8=4800⨯，
故估计第7批油菜籽在相同条件下进行发芽试验时的发芽粒数为4800．
【点睛】
本题考查统计与概率，解题关键在于信息筛选能力，对频率计算公式的理解，其次注意计算仔细即可．
23．（1）见解析；（2）∠AED ＝75°．
【分析】
（1）先证明∠B ＝∠EAD ，然后利用SAS 可进行全等的证明；
（2）先根据等腰三角形的性质可得∠BAE ＝50°，求出∠BAC 的度数，即可得∠AED 的度数．
【详解】
（1）证明：∵在平行四边形ABCD 中，AD ∥BC ，BC ＝AD ，
∴∠EAD ＝∠AEB ，
又∵AB ＝AE ，
∴∠B ＝∠AEB ，
∴∠B ＝∠EAD ，
在△ABC 和△EAD 中，
AB AE ABC EAD BC AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△ABC ≌△EAD （SAS ）．
（2）解：∵AB ＝AE ，
∴∠B ＝∠AEB ，
∴∠BAE ＝50°，
∴∠BAC ＝∠BAE+∠EAC ＝50°+25°＝75°，
∵△ABC ≌△EAD ，
∴∠AED ＝∠BAC ＝75°．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质，注意掌握平行四边形的对边平行且相等的性质．
24．（1）图见解析；（2）图见解析；（3）x 的值为6或7．
【分析】
（1）分别作出B 、C 的对应点B 1，C 1即可解决问题；
（2）分别作出A 、B 、C 的对应点A 2、B 2、C 2即可解决问题；
（3）观察图形即可解决问题.
【详解】
（1）作图如下：△AB 1C 1即为所求；
（2）作图如下：△A 2B 2C 2即为所求；
（3）P 点如图，x 的值为6或7.
【点睛】
本题考查旋转、中心对称图形，格点作图，熟练掌握对称、旋转及网格作图的特征是解题关键.
25．（1）见解析；（2）见解析.
【分析】
（1）由“AAS”可证△AFE ≌△DBE ，从而得AF=BD
（2）由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可得四边形ADCF 是平行四边形，由直角三角形的性质的AD ＝DC ，即可证明四边形ADCF 是菱形．
【详解】
（1）∵AF ∥BC ，
∴∠AFE=∠DBE
∵△ABC 是直角三角形，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 的中点，
∴AE=DE ，BD=CD
在△AFE 和△DBE 中，
AFE DBE AEF BED AE DE ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩
＝＝＝，
∴△AFE ≌△DBE （AAS ））
∴AF=BD
（2）由（1）知，AF=BD ，且BD=CD ，
∴AF=CD ，且AF ∥BC ，
∴四边形ADCF 是平行四边形
∵∠BAC=90°，D 是BC 的中点，
∴AD ＝12
BC ＝DC ∴四边形ADCF 是菱形
【点睛】
本题考查了菱形的判定、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质．证明AD ＝DC 是解题的关键．
26．菱形，理由见解析
【分析】
根据平行四边形的判定得出四边形BDEF 是平行四边形，再利用平行四边形的性质和等腰三角形的判定得出DE ＝BD ，进而利用菱形的判定解答即可．
【详解】
四边形DBFE 是菱形，理由如下：
∵DE ∥BC ，EF ∥AB ，
∴四边形DBEF 是平行四边形，
∴DE ∥BC ，
∴∠DEB ＝∠EBF ，
∵BE 平分∠ABC ，
∴∠DBE ＝∠EBF ，
∴∠DBE ＝∠DEB ，
∴BD ＝DE ，
∴平行四边形DBEF 是菱形．
【点睛】
此题考查菱形的判定，关键是根据平行四边形的判定得出四边形BDEF 是平行四边形解答．
27．（1）互补；（2）相等；证明见解析
【分析】
根据题意写出已知、求证，过O '作O D '⊥OC 于D ，O E '⊥OB 于E ，证明
Rt △Rt AO D '≅△C O E ''，推出O D O E '='，利用角平分线的判定定理即可证明'OO 平分∠COB ．
【详解】
（1）∠AO'C'与∠COB 的关系是互补；（2）线段O'A 与O'C'的关系是相等．
已知：AO C ∠''+∠COB=180︒，O'A=O'C'，
求证：'OO 平分∠COB ．
证明：过O '作O D '⊥OC 于D ，O E '⊥OB 于E ，
∵O C B O OB C O O ∠=∠+∠'''''，∠AO C ''+∠COB=180︒，
∴AO O ∠'+'AOO ∠ =180︒-(O OB C O O ∠+∠''')，
即O C B O OB C O O ∠=∠+∠'''''=180︒-(AO O ∠'+'AOO ∠)，
又OAO ∠'=180︒-(AO O ∠'+'AOO ∠)，
∴O C B OAO ∠=∠'''，
∵O'A=O'C'，
∴Rt △Rt AO D '≅△C O E ''，
∴O D O E '='，
∵O D '⊥OC ，O E '⊥OB ，
∴'OO 平分∠COB ．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的判定，三角形内角和定理，三角形的外角性质，作出合适的辅助线构造全等三角形是解题的关键．
28．（1）AE+CF=EF ；（2）如图2，（1）中结论成立，即AE+CF=EF ；如图3，（1）中结论不成立，AE=EF+CF ．
【分析】
（1）根据题意易得△ABE ≌△CBF ，然后根据全等三角形的性质可得∠ABE=∠CBF=30°，进而根据30°角的直角三角形及等边三角形的性质可求解；
（2）如图2，延长FC 到H ，使CH=AE ，连接BH ，根据题意可得△BCH ≌△BAE ，则有BH=BE ，∠CBH=∠ABE ，进而可证△HBF ≌△EBF ，推出HF=EF ，最后根据线段的等量关系可求解；如图3，在AE 上截取AQ=CF ，连接BQ ，根据题意易得△BCF ≌△BAQ ，推出BF=BQ ，∠CBF=∠ABQ ，进而可证△FBE ≌△QBE ，推出EF=QE 即可．
【详解】
解：（1）如图1，AE+CF=EF ，理由如下：
∵AB ⊥AD ，BC ⊥CD ，
∴∠A=∠C=90°，
∵AB=BC ，AE=CF ，
∴△ABE ≌△CBF （SAS ），
∴∠ABE=∠CBF ，BE=BF ，
∵∠ABC=120°，∠MBN=60°，
∴∠ABE=∠CBF=30°，
∴
11
,
22
AE BE CF BF
==，
∵∠MBN=60°，BE=BF，∴△BEF是等边三角形，
∴
11
22
AE CF BE BF BE EF +=+==，
故答案为AE+CF=EF；
（2）如图2，（1）中结论成立；理由如下：
延长FC到H，使CH=AE，连接BH，
∵AB⊥AD，BC⊥CD，
∴∠A=∠BCH=90°，
∴△BCH≌△BAE（SAS），
∴BH=BE，∠CBH=∠ABE，
∵∠ABC=120°，∠MBN=60°，
∴∠ABE+∠CBF=120°-60°=60°，
∴∠HBC+∠CBF=60°，
∴∠HBF=∠MBN=60°，
∴∠HBF=∠EBF，
∴△HBF≌△EBF（SAS），
∴HF=EF，
∵HF=HC+CF=AE+CF，
∴EF=AE+CF，
如图3，（1）中的结论不成立，为AE=EF+CF，理由如下：在在AE上截取AQ=CF，连接BQ，
∵AB⊥AD，BC⊥CD，
∴∠A=∠BCF=90°，
∵AB=BC，
∴△BCF≌△BAQ（SAS），
∴BF=BQ，∠CBF=∠ABQ，
∵∠MBN=60°=∠CBF+∠CBE，
∴∠CBE+∠ABQ=60°，
∵∠ABC=120°，
∴∠QBE=120°-60°=60°=∠MBN，
∴∠FBE=∠QBE，
∴△FBE≌△QBE（SAS），
∴EF=QE，
∵AE=QE+AQ=EF+CE，
∴AE=EF+CF．
【点睛】
本题主要考查全等三角形的性质与判定、含30°角的直角三角形的性质及等边三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质与判定、含30°角的直角三角形的性质及等边三角形的性质是解题的关键．。