山西省长治二中、忻州一中、 临汾一中、康杰中学、晋

2017届高三第一次五校联考理科数学试题
(考试时间120分钟 满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.已知集合{}3,2,1,0,1,2--=A ,集合{
}
24x y x B -=
=,则B A I 等于
A. []2,2-
B. {}1,0,1-
C. {}2,1,0,1,2--
D.{}3,2,1,0 2.已知复数z 满足
i z i
i
4311+=⋅-+，则z = A. 62 B. 7 C. 25 D. 5 3.下列命题正确的个数为
①“R x ∈∀都有02≥x ”的否定是“R x ∈∃0使得02
0≤x ”; ②“3≠x ”是“3≠x ”成立的充分条件; ③命题“若2
1
≤
m ，则方程0222=++x mx 有实数根”的否命题 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 4.某几何体的三视图如图所示，则该三视图的体积为 A.
3π B. π34 C. 2π D. π3
8 5.函数x
x
y sin =
的图象大致是
6.阅读右边的程序框图，运行相应的程序，当输入N=6时，输出的s=
正视图
侧视图
俯视图
A. 62
B. 64
C. 126
D. 124
7.已知双曲线E:12222=-b y a x 的右焦点为F ，圆C ：4222
2
c y c x =+⎪⎭⎫ ⎝
⎛-与
双曲线的渐近线交于A ，B ，O 三点（O 为坐标原点）.若ABF ∆为等边 三角形，则双曲线E 的离心率为
A. 3
B. 2
C. 5
D. 3
8.向量,a b r r =+且()0a b a -⋅=r r r ,则,a b r r
的夹角的
余弦值为
A. 0
B.
13 C. 1
2
D. 2
9.已知n
x x ⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+3
1的展开式中没有常数项，则n 不能是 A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
10.不透明的袋子内装有相同的五个小球，分别标有1-5五个编号，现有放回的随机摸取三次，则摸出的三个小球的编号乘积能被10整除的概率为 A.
12542 B. 12518 C. 256 D. 125
12
11.已知函数()⎪⎭⎫
⎝
⎛
-=6sin πωx x f （ω> 0）,若()⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=20πf f 且在⎪⎭⎫
⎝⎛2,0π上有且仅有三个零点，则ω= A.
32 B. 2 C. 326 D. 3
14
12.已知函数()()x x x x x f ++++=1ln
sin 22
，若不等式()()3393-⋅+-x
x
x
m f f < 0对任意
R ∈x 均成立，则m 的取值范围为
A. ()132,-∞-
B. ()132,+-∞-
C. ()132,132-+-
D. ()
∞++-，
132 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答卷纸的相应位置上) 13.抛物线()02
≠=a ax
y 的准线方程为 .
14.设函数()x f 是定义在R 上的奇函数，且对任意的()()
x f x f R x 1
2,=
+∈,当[)0,2-∈x 时，
()2log (3)f x x =+，则())2015(2017f f -= .
15.已知y x ,满足约束条件⎪⎩
⎪
⎨⎧≥+-≤--≤-+02202202y x y x y x ，若02≥++k y x 恒成立，则实数k 的取值范围
为 .
16.已知ΔABC 是斜三角形，角A ，B ，C 所对的边分别为,,a b c ,若21,cos 3sin ==
c C a A c 且
()A A B C 2sin 5sin sin =-+，则ΔABC 的面积为 .
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分12分)
已知数列{}n a 的前n 项和n n a S -=1，其中*∈N n . （I ）求{}n a 的通项公式；
（II ）若n n na b =，求{}n b 的前n 项和n S .
18. (本小题满分12分)
如图，菱形ABCD 的中心为O,四边形ODEF 为矩形，平面ODEF ⊥平面ABCD ，DE=DA=DB=2
（I ）若G 为DC 的中点，求证：EG//平面BCF;
（II ）若HC DH 2=,求二面角O EH D --的余弦值.
19. (本小题满分12分)
甲、乙两人组成“火星队”参加投篮游戏，每轮游戏中甲、乙各投一次，如果两人都投中，则“火星队”得4分；如果只有一人投中，则“火星队”得2分；如果两人都没投中，则“火星队”得0分.已知甲每次投中的概率为
54，乙每次投中的概率为4
3
；每轮游戏中甲、乙投中与否互不影响，假设“火星队”参加两轮游戏，求： （I ）“火星队”至少投中3个球的概率；
（II ）“火星队”两轮游戏得分之和X 的分布列和数学期望EX.
20. (本小题满分12分)已知椭圆C :()012222>>=+b a b y a x 的左焦点为F,⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛221，A 为椭圆上一
点,AF 交y 轴于点M,且M 为AF 的中点.
G
E
O
D
C
B F
（I ）求椭圆C 的方程；
（II ）直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点A ，平行于OA 的直线交l 于P ,交椭圆C 于不同的两点D,E ，问是否存在常数λ，使得PE PD PA ⋅=λ2
，若存在，求出λ的值，若不存在，请说明理由.
21. (本小题满分12分)已知函数x ax x x f 2ln )(2
--=.
（I ）若函数)(x f 在⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡∈241，x 内单调递减，求实数a 的取值范围； （II ）当41-=a 时，关于x 的方程b x x f +-=2
1)(在]4,1[上恰有两个不相等的实数根，求实数b 的取值范围.
请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分. 22. (本小题满分10分)如图，已知AB 为圆O 的直径，D C ,是 圆O 上的两个点，C 是劣弧BD 的中点,AB CE ⊥于E ,BD 交AC 于G ，交CE 于F . （I ） 求证：FG CF =
（II ）求证：CE AG AC DG ⋅=⋅.
23. (本小题满分10分)在直角坐标系xoy 中，直线l 的参数方程
为为参数）t t y t x (2
2222
1⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
+=+=， 以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为θρsin 4=. （I ）写出直线l 的普通方程和曲线2C 的直角坐标方程； （II ）直线l 与曲线2C 交于B A 、两点，求AB . 24. (本小题满分10分)已知函数12)(-++=x x x f （I ）求不等式5)(>x f 的解集；
（II ）若对于任意的实数x 恒有1)(-≥a x f 成立，求实数a 的取值范围.
2017届高三第一次五校联考理科数学试题答案
一、选择题 CDBAC ABBDA DA 二．填空题 13. a
y 41
-
= 14.-2 15. 6≥k 16. 534
17.（I ）当1=n 时,111a S -=,解得2
1
1=a .…………1分 当2≥n 时, n n n n n n n a a a a S S a -=---=-=---111)1()1(
化简整理得
)2(2
1
1≥=-n a a n n …………4分 因此，数列{}n a 是以
21为首项，2
1
为公比的等比数列. 从而，n n a )2
1
(= .…………6分
（II ）由（I ）可得，n
n n S ⎪⎭
⎫
⎝⎛⋅++⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+⋅=21214213212211432Λ
1
432212132122121+⎪⎭⎫
⎝⎛⋅++⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+⎪⎭⎫ ⎝⎛=n n n S Λ …………8分
n
n n n n n n S n S ⎪⎭
⎫
⎝⎛⋅-⎪
⎭
⎫
⎝⎛-=∴⎪
⎭⎫ ⎝⎛⋅-⎪
⎭⎫
⎝⎛-=
∴-++21212212
121212
11
1
1
.…………12分
18.解: (1) 证明：连接OE,OG,由条件G 为中点
∴ OG//BC 又EF//OB EF=OB ∴四边形EFBO 为平行四边形 ∴ EO//FB 平面 EOG//平面FBC ∴ EG//平面BCF …………5分 (2) ABCD 为菱形，所以OB ⊥OC ，又平面ODEF ⊥平面ABCD ， 四边形ODEF 为矩形 所以OF ⊥平面ABCD 可建立如图的空间直角坐标系， ………6分
设O （0，0，0），B （1，0，0），C （0，3，0），E(-1,0,2)
F （0，0，2），H （3
1-，33
2，0）， D （-1，0，0）， 223((0,0,2)3DH DE ==u u u u r u u u r 设),,(111z y x =是面DEG 的一个法向量，
G
E
O
D
C
B
F
则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00n DE n DH 即⎪⎩
⎪⎨⎧==+0033232111z y x ，取)0,1,3(-=n . …………8分
同理取平面OEH 的一个法向量是)1,3
3
,
2(=m , …………10分 所以851
3
1
4233
32,cos =++⋅-
=n m , ∴二面角D —EH —O 的余弦值为85. …………12分
19.解：（Ⅰ）设事件i A 为“甲第i 次投中”,事件i B 为“乙第i 次投中”由事件的独立性和互斥性
)
()()()()(321212121212121212121B B A A P B B A A P B B A A P B B A A P B B A A P P ++++=球）（至少投进50
39)4341545443435451(243435454=⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅= 答：“星队”至少投中3个球的概率为
50
39
. （每一种情形给1分）………5分 （Ⅱ）X 的所有可能的取值为0，2,4，6，8， ……………6分
400
1
51415141)0(=
⋅⋅⋅==X P , ,
200
7
4001451415441514151432)2(=
=⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅==）（X P ,
40073
544154415143514351435441514154432)4(=
⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅==）（X P
50
21
40016854415443514354432)6(==⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅==）（X P
25
9
40014454435443)8(==⋅⋅⋅==X P …………………………………………10分
∴X 的分布列为
X 0
2
4
6
8
P
4001 2007 40073 5021 25
9
…………11分
5
314001448400168640073440014240010=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯
=EX …………12分 20.解:（Ⅰ）设椭圆的右焦点是1F ， 在1AFF ∆中，1//AF OM ,
1=∴c …………2分
12222==∴=∴b a a b 所以椭圆的方程为12
22=+y x …………4分 （Ⅱ）设直线DE 的方程为t x y +=
2
2
，解方程组 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=12
2222
y x t x y 消去y 得到01222=-++t tx x 若()()2211,,y x E y x D 则1,
222121-=⋅-=+t x x t x x ，其中02-42>=∆t …………6分
()21212
21222
3))22(
1(x x x x x x x x x x PE PD P P P P ++-=-⋅-+=⋅ 又直线l 的方程为
1222=+y x ,直线DE 的方程为t x y +=2
2， …………8分 所以P 点坐标2
222,222t
y t x P P +=
-=
, 22
2
2
2432222221222,
4
3
t t t AP t PE PD =⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-
++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--==⋅∴ 所以存在常数1=λ使得PD PE PA ⋅=λ2
…………12分
21．解:（1）f '(x)=1x -2ax -2=-2ax 2
-2x+1
x
……1分
由题意0)(≤'x f 在x ∈[1
4,2]时恒成立,即21)11(2122--=-≥x
x x a 在x ∈[14,2]时恒成立,即max 2
]1)11[(2--≥x
a ， ……4分
当x=14时，1)11(2
--x
取最大值8，∴实数a 的取值范围是a ≥ 4. ……6分
（2）当a= -1
4时,b x x f +-=2
1)(可变形为0ln 23412=-+-b x x x .
令)0(ln 2341)(2>-+-=
x b x x x x g ,则x
x x x g 2)1)(2()(--='. ……8分 列表如下:
∴22ln )2()(--==b g x g 极小值，4
5
)1(--=b g ， ……10分 又22ln 2)4(--=b g ，
∵方程0)(=x g 在]4,1[上恰有两个不相等的实数根，∴⎪⎩
⎪
⎨⎧≥<≥0)4(0)2(0)1(g g g ， ……11分
得4
5
22ln -≤<-b . ……12分 22.【解析】
（I ）C Θ是劣弧BD 的中点 CAB DAC ∠=∠∴ 在AEC RT ADG RT ∆∆与中，ο
90=∠=∠AEC ADB
ACE DGA ∠=∠∴,又CGF DGA ∠=∠,所以CGF ACE ∠=∠. 从而，在CGF ∆中，FG CF
=. ……5分
（II ）在AEC RT ADG RT ∆∆与中，,CAB DAC ∠=∠ 因此，ADG RT ∆∽AEC RT ∆，由此可得AC
CE
AG DG =,即CE AG AC DG ⋅=⋅……10分 23.【解析】
（I ）直线l 的普通方程为01=+-y x ,曲线2C 的直角坐标方程为4)2(2
2
=-+y x ; ……5分
（II ）解法一、曲线2C ：4)2(2
2
=-+y x 是以点（0,2）为圆心，2为半径的圆，圆心（0,2）
x 1
(1,2)
2
)4,2(
4 )(x g ' -
+
)(x g
4
5
-
-b ↘
极小值
↗
22ln 2--b
到直线
1=+-y x 的距离
2
2=
d ，则
142
1
42=-
=AB . ……10分 解法二、由⎩⎨
⎧=-+=+-0
4012
2y y x y x 可解得A,B 两点的坐标为
⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++273,271,273,271，由两点间距离公式可得14=AB . 解法三、设B A 、两点所对应的参数分别为B A t t ,
将为参数）t t y t
x (2
2222
1⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
+=+= 代入0422=-+y y x 并化简整理可得
0322=-+t t ，从而⎩⎨⎧-=-=+3
2
B A B
A t t t t 因此，144)(2
=-+=B A B A t t t t AB .
24.解析】（Ⅰ）不等式5)(>x f 即为512>-++x x ，
等价于⎩⎨
⎧>+----<5122x x x 或⎩⎨⎧>+-+≤≤-51212x x x 或⎩
⎨⎧
>-++>5121x x x ，
解得23>-<x x 或. 因此，原不等式的解集为{}23>-<x x x 或. ……5分
（Ⅱ）3)1()2(12)(=--+≥-++=x x x x x f
要使
1)(-≥a x f 对任意实数R x ∈成立，须使31≤-a ，
解得42≤≤-a . ……10分。