2021年高中数学第二章推理与证明2.1.1合情推理学案新人教A版选修1-2

1
1
＋
) 2 × 3－1
2 × 2－1
1
1
1
≥3×( ＋
1 ；
) ＋2 × 3
2 ×1 2 ×2
…
猜测第 n 个不等式为
1
11
1
( n＋1 1＋
) 2n－1
＋ ＋…＋
35
11 1 1
1
≥
(n∈N＋)．
(n ＋ ＋…＋
＋
2n)
246
命题方向❷
图形中的归纳推理
典例 2 下图是用同样规格的灰、白两色正方形瓷砖铺设的若干图案，则按此规 律，第 n 个图案中需用灰色瓷砖__4n＋8__块(用含 n 的代数式表示)．
＝n(n－1)， 2
即 an＝n(n－1)＋1．
故 a50＝50×49＋1＝2 451，
即第(50)个图案由 2 451 个点组成．故选 B．
5．设 f(n)＝n2＋n＋41，n∈N*，计算 f(1)、f(2)、f(3)、f(4)、…、f(10)的值，同时作出归
纳推理，并用 n＝40 验证猜想的结论是否正确．
× ＋＋ ≥× ＋＋＋ ，
( 5 1＋
7) 4 (
8)
35
246
试写出第 n 个不等式．
[思路分析] 观察各式不难发现，左侧括号内是连续奇数的倒数之和，右侧括号内是连续
偶数的倒数之和，而另一个数与项数有关，从而得出一般性结论．
1
1
1
1
[解析] 第 1 个不等式为 ×1≥1× ，即 ×1≥1×
；
2
2 1＋1
1－cos2α 1＋cos 2α ＋60° sin 2α ＋30° －sin30°
＝
＋
＋
2
2
2
cos 2α ＋60° －cos2α 1
1
＝1＋
＋ sin(2α ＋30°)－
2
2
4
31
1
3
＝ － sin(30°＋2α )＋ sin(2α ＋30°)＝ ．
42
2
4
3 所以 sin2α ＋cos2(α ＋30°)＋sinα cos(α ＋30°)＝ 成立．
3
8
15
24
35
[思路分析] 要在括号里填上适当的数，必须正确地判断出每列数所具有的规律，为此必
f(7)＝72＋7＋41＝97，f(8)＝82＋8＋41＝113，
f(9)＝92＋9＋41＝131，f(10)＝102＋10＋41＝151.由此猜想，n 为任意正整数时，f(n)＝n2＋
n＋41 都是质数．
当 n＝40 时，f(40)＝402＋40＋41＝41×41，所以 f(40)为合数，因此猜想的结论不正确．
命题方向❸
数列中的归纳推理
典例 3 下面各列数都依照一定规律排列，在括号里填上适当的数： (1)1,5,9,13,17，( 21 )；
Earlybird
晨鸟教育
3 1 7 10
13
(2) ，1,1 ，1 ，2 ，( 3 )；
4 3 9 27
81
2
3
4
5
6
(3) 2＋ ， 3＋ ， 4＋ ， 5＋ ，( 6＋ )．
4
『规律方法』 1.归纳推理的一般步骤
(1)观察：通过观察个别事物发现某些相同性质．
(2)概括、归纳：从已知的相同性质中概括、归纳出一个明确表述的一般性命题．
(3)猜测一般性结论．
2．归纳推理的基本逻辑形式是：
S1 是(或不是或具有性质)P， S2 是(或不是或具有性质)P， S3 是(或不是或具有性质)P， …
组成，第(4)个图案由 13 个点组成，第(5)个图案由 21 个点组成，…，根据图案中点的排列规
律，组成第(50)个图案的点的个数是( B )
Earlybird
晨鸟教育
A．2 450
B．2 451
C．2 452
D．2 453
[解析] 设组成第(n)个图案的点的个数为 an，由题意可得 a1＝1，a2＝3，a3＝7，a4＝13， a5＝21，
互动探究·攻重难
互动探究解疑
Earlybird
晨鸟教育
命题方向❶
数与式的归纳
典例 1 观察以下各等式： 3
sin230°＋cos260°＋sin30°cos60°＝ ， 4 3
sin220°＋cos250°＋sin20°cos50°＝ ， 4 3
sin215°＋cos245°＋sin15°cos45°＝ ． 4
四色猜想经历了归纳、猜想等推理活动，最后获得了圆满证明．同学们，你想知道推理 与证明的有关知识吗？就让我们步入本章的学习吧！
2.1 合情推理与演绎推理 2.1.1 合情推理
Earlybird
晨鸟教育
自主预习·探新知
情景引入 人们仿照鱼类的外形和它们在水中的沉浮原理，发明了潜水艇；为了回答“火星上是否 有生命”这个问题，科学家把火星与地球作类比，发现火星具有一些与地球类似的特征，如 火星也是围绕太阳运行，绕轴自转的行星，也有大气层，在一年中也有季节的变更，而且火 星上大部分时间的温度适合地球上某些已知生物的生存等等，由此，科学家们猜测火星上也 可能有生命存在．
晨鸟教育
(3)提炼出等式(或不等式)的综合特点．
(4)运用归纳推理得出一般结论．
┃┃跟踪练习 1__■
观察下列不等式：
1
1
×1≥1× ，
2
2
1
1 1 11
×
≥× ＋ ，
3 (1＋3 ) 2 ( 4 )
2
1
11 1 111
× ＋ ≥× ＋＋ ，
( 4 1＋ 5) 3 ( 6)
3ห้องสมุดไป่ตู้
24
1
111 1 1111
则正确的是①④，
故选 A．
13
1 15
1 1 17
3．观察式子：1＋ ＜ ，1＋ ＋ ＜ ，1＋ ＋ ＋ ＜ ，…，则可归纳出式子( C )
22 2
22 32 3
22 32 42 4
11
11
A．1＋ ＋ ＋…＋ ＜
22 32
n2 2n－1
11
11
(n≥2)
B．1＋ ＋ ＋…＋ ＜ (n≥2)
22 32
Earlybird
晨鸟教育
[思路分析] 分析给出的 3 个图形中灰色瓷砖数目、白色瓷砖数目以及它们的和之间的关 系，猜测一般结论．
[解析] 第(1)，(2)，(3)，…个图案灰色瓷砖数依次为 15－3＝12,24－8＝16,35－15＝ 20，…
由此可猜测第 n 个图案灰色瓷砖数为(n＋2)(n＋4)－n(n＋2)＝4(n＋2)＝4n＋8． 『规律方法』 通过一组平面或空间图形的变化规律，研究其一般性结论，通常需形状 问题数字化，展现数字之间的规律、特征，然后进行归纳推理．解答该类问题的一般策略是：
新知导学
1．归纳推理 由某类事物的__部分对象__具有某些特征，推出该类事物的__全部对象__都具有这些特 征的推理，或者由__个别事实__概括出__一般结论__的推理，称为归纳推理(简称归纳)．简言 之，归纳推理是由__部分__到__整体__、由__个别__到__一般__的推理． 2．金导电、银导电、铜导电、铁导电，金、银、铜、铁都是金属，因此可猜想所有金属 都导电，这种推理形式为__归纳推理__． 3．类比推理 由两类对象具有__某些类似特征__和其中一类对象的__某些已知特征__，推出另一类对 象也具有__这些特征__的推理称为类比推理(简称类比)．简言之，类比推理是由__特殊到特殊 __的推理． 4．合情推理 归纳推理和类比推理都是根据__已有的事实__，经过__观察、分析、比较、联想__，再 进行__归纳__、__类比__，然后提出__猜想__的推理．我们把它们称为合情推理．通俗地说， 合情推理是指“合乎情理”的推理． 5．归纳推理是由部分到__整体__，由具体到__抽象__，由特殊到__一般__，从个别事实 中概括出__一般结论__的思维模式． 类比推理是在__两类不同__的事物之间进行对比，找出若干相同或相似之处之后，推测 在其他方面也可能存在__相同或相似__之处的一种推理模式． 类比推理是由__特殊__到__特殊__的推理．
故 a2－a1＝2，a3－a2＝4，a4－a3＝6，a5－a4＝8，…， 由此可推得当 n≥2 时，an－an－1＝2(n－1)， 以上(n－1)个式子相加可得：
(a2－a1)＋(a3－a2)＋(a4－a3)＋…＋(an－an－1) ＝2＋4＋6＋…＋2(n－1)，
化简可得 an－a1＝
n－1 2＋2n－2
[解析] 首先分析题目的条件，并对 n＝1、2、3、4、5、6、7、8、9、10 的结果进行归
纳推测，发现它们之间的共同性质，猜想出一个明确的一般性命题．
f(1)＝12＋1＋41＝43，f(2)＝22＋2＋41＝47，
f(3)＝32＋3＋41＝53，f(4)＝42＋4＋41＝61，
f(5)＝52＋5＋41＝71，f(6)＝62＋6＋41＝83，
分析上述各式的共同特点，猜想出反映一般规律的等式，并对等式的正确性作出证明．
[思路分析] 观察三个等式的左右两边的特点，包括三角函数名称及角的大小的规律，写
出反映一般规律的等式，最后对其进行证明．
3 [解析] 猜想：sin2α ＋cos2(α ＋30°)＋sinα cos(α ＋30°)＝ ．
4 证明：sin2α ＋cos2(α ＋30°)＋sinα cos(α ＋30°)
预习自测
Earlybird
晨鸟教育
1．鲁班发明锯子的思维过程为：带齿的草叶能割破行人的腿，“锯子”能“锯”开木材，
它们在功能上是类似的．因此，它们在形状上也应该类似，“锯子”应该是齿形的．该过程
体现了( B )
A．归纳推理
B．类比推理
C．没有推理
D．以上说法都不对
[解析] 推理是根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断的思维过程，上述过程是
晨鸟教育
第二章 推理与证明
人人都熟悉地图，可并不是人人都知道，绘制一张地图最少要用几种颜色，才能把相邻 的国家或不同的区域区分开来．这个地图着色问题，是一个著名的数学难题，它曾经吸引了 好几代优秀的数学家为之奋斗，并且从中获得了一个又一个杰出的成就，为数学的发展增添 了光彩．在地图上区分两个相邻的国家或地区，要用不同的颜色来涂这两个国家或区域．显 然，用两种颜色是区分不开的，不过有时三种颜色就够了．A，B，C 三国各用一色，D 国和 B 国用同样的颜色．还有另外一种情况，如果地图中的四个国家中任何两个都有公共边界，必 须用四种颜色才能把它们区分开．于是，有的数学家猜想，任何地图着色只需四种颜色就足 够了．正式提出地图着色问题的时间是 1852 年．但这个问题迟迟未得到解决．直到 1976 年 9 月，《美国数学会通告》宣布了一件震撼全球数学界消息：美国伊利诺斯大学的两位教授阿贝 尔和哈根，利用电子计算机证明了地图的四色猜想是正确的！他们将地图的四色问题化为 2 000 个特殊的图的四色问题，然后在电子计算机上计算了 1 200 个小时，终于证明了四色问 题．
n2 2n＋1
11
1 2n－1
C．1＋ ＋ ＋…＋ ＜
22 32
n2 n
(n≥2)
11
1 2n
D．1＋ ＋ ＋…＋ ＜ (n≥2)
22 32
n2 2n＋1
11
1
2n－1
[解析] 由题意可知，当 n≥2 时，第 n 个式子左边是 1＋ ＋ ＋…＋ ，右边为
，
22 32
n2
n
故选 C．
4．如图，第(1)个图案由 1 个点组成，第(2)个图案由 3 个点组成，第(3)个图案由 7 个点
推理，由性质类比可知是类比推理．
2．下列表述正确的是( A )
①归纳推理是由部分到整体的推理；
②归纳推理是由一般到一般的推理；
③类比推理是由特殊到一般的推理；
④类比推理是由特殊到特殊的推理．
A．①④
B．①③
C．②③
D．②④
[解析] 根据题意，归纳推理，就是由部分到整体的推理．故①对②错；
类比推理是由特殊到特殊的推理．故④对③错，
Sn 是(或不是或具有性质)P． ∵ S1、S2、S3、…、Sn是 S 类的对象，∴ 所有 S 都是(或都不是或都具有性质)P． 3．由已知数、式进行归纳推理的方法
(1)要特别注意所给几个等式(或不等式)中项数和次数等方面的变化规律．
(2)要特别注意所给几个等式(或不等式)中结构形式的特征．
Earlybird
┃┃跟踪练习 2__■ 有两种花色的正六边形地面砖，按下图的规律拼成若干个图案，则第六个图案中有菱形 纹的正六边形的个数是( B )
A．26
B．31
C．32
D．36
[解析] 有菱形纹的正六边形个数如下表：
图案 第一个 第二个
个数
6
11
第三个 …
16
…
由表可以看出有菱形纹的正六边形的个数依次组成一个以 6 为首项，以 5 为公差的等差 数列，所以第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是 6＋5×(6－1)＝31.故选 B．
1
1 1 11
) 第 2 个不等式为 × 3 ≥ ×
，
( 3 1＋ 2 (＋4 )
2
2 ×1
1
1
1
1
1
即×
≥×
＋
；
( ) ( 2＋1 1＋2 × 2－1 2
) 2 × 2
2 ×1
1
11 1 111
第 3 个不等式为 ×
( ) ＋ ≥3× ＋ 6 ，
( 4 1＋ 5) 3
＋ 24
1 即×
( 3＋1 1＋