最新济宁市汶上县中考数学二模试卷含答案 (3)

山东省济宁市汶上县中考数学二模试卷
一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）
1．下列成语所描述的事件是必然发生的是（）
A．水中捞月 B．拔苗助长 C．守株待兔 D．瓮中捉鳖
2．下列根式中能与合并的是（）
A． B．C． D．
3．小明在下面的计算中只做对了一道题，他做对的题目是（）
A．（）2=B．
C．D．
4．如图，某教学兴趣小组想测量一棵树CD的高度，他们先在点A处测得树顶C的仰角为30°，然后沿AD方向前行10m，到达B点，在B处测得树顶C的仰角高度为60°（A、B、D三点在同一直线上）则这棵树CD的高度为（）
A．10m B．5m C．5m D．10m
5．学校要组织足球比赛．赛制为单循环形式（每两队之间赛一场）．计划安排21场比赛，应邀请多少个球队参赛？设邀请x个球队参赛．根据题意，下面所列方程正确的是（）
A．x2=21 B．x（x﹣1）=21 C．x2=21 D．x（x﹣1）=21
6．二次函数y=x2﹣2x﹣2与坐标轴的交点个数是（）
A．0个B．1个C．2个D．3个
7．如图，正比例函数y1与反比例函数y2相交于点E（﹣1，2），若y1＞y2＞0，则x的取值范围在数轴上表示正确的是（）
A． B．C．
D．
8．如图，在▱ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E．若BF=6，AB=5，则AE的长为（）
A．4 B．6 C．8 D．10
9．如图，AB是半圆O（的）直径，半径OC⊥AB，连线AC，∠CAB的平分线AD分别交OC于点E，交于点D，连接CD、OD．以下结论错误的是（）
A．AC∥OD B．CD2=CE•CO C．S△ADC=2S△DOE D．AC=2CD
10．在平面直角坐标系中，正方形ABCD的位置如图所示，点A的坐标为（1，0），点D 的坐标为（0，2），延长CB交x轴于点A1，作正方形A1B1C1C；延长C1B1交x轴于点A2，作正方形A2B2C2C1；…，按这样的规律进行下去，第个正方形的面积为（）
A．5×（） B．5×（） C．5×（）2015D．5×（）4032
二、填空题（共5小题，每小题3分，满分15分）
11．分解因式：a3﹣4a=．
12．若﹣2x m﹣n y2与3x4y2m+n是同类项，则m﹣3n的立方根是．
13．如图，在正三角形ABC中，D，E，F分别是BC，AC，AB上的点，DE⊥AC，EF⊥AB，FD⊥BC，则△DEF的面积与△ABC的面积之比等于．
14．如图，在扇形OAB中，∠AOB=90°，半径OA=6．将扇形OAB沿过点B的直线折叠．点O恰好落在延长线上点D处，折痕交OA于点C，整个阴影部分的面积．
15．如图，双曲线y=经过Rt△OMN斜边上的点A，与直角边MN相交于点B，已知OA=2AN，
△OAB的面积为5，则k的值是．
三、解答题（共7小题，满分55分）
16．解方程：+=3．
17．已知：如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，AE∥BC，CE⊥AE，垂足为E．
（1）求证：△ABD≌△CAE；
（2）连接DE，线段DE与AB之间有怎样的位置和数量关系？请证明你的结论．
18．为了解2015年祁阳县体育达标情况，县教育局从全县九年级学生中随机抽取了部分学生进行了一次体育测试（把测试结果分为四个等级：A级：优秀；B级：良好；C级：及格；D级：不及格），并将测试结果绘成了如下两幅不完整的统计图．请根据统计图中的信息解答下列问题：
（1）本次抽样测试的学生人数是；
（2）扇形图中∠α的度数是，并把条形统计图补充完整；
（3）我县九年级有学生7200名，如果全部参加这次体育测试，请估计不及格的人数
为；
（4）测试老师想从4位同学（分别记为E、F、G、H，其中E为小明）中随机选择两位同学了解平时训练情况，请用列表或画树状图的方法求出选中小明的概率．
19．如图，点C是以AB为直径的圆O上一点，直线AC与过B点的切线相交于D，点E 是BD的中点，直线CE交直线AB于点F．
（1）求证：CF是⊙O的切线；
（2）若ED=3，cosF=，求⊙O的半径．
20．某商场有A，B两种商品，若买2件A商品和1件B商品，共需80元；若买3件A商品和2件B商品，共需135元．
（1）设A，B两种商品每件售价分别为a元、b元，求a、b的值；
（2）B商品每件的成本是20元，根据市场调查：若按（1）中求出的单价销售，该商场每天销售B商品100件；若销售单价每上涨1元，B商品每天的销售量就减少5件．
①求每天B商品的销售利润y（元）与销售单价（x）元之间的函数关系？
②求销售单价为多少元时，B商品每天的销售利润最大，最大利润是多少？
21．●观察计算
当a=5，b=3时，与的大小关系是．
当a=4，b=4时，与的大小关系是．
●探究证明
如图所示，△ABC为圆O的内接三角形，AB为直径，过C作CD⊥AB于D，设AD=a，BD=b．
（1）分别用a，b表示线段OC，CD；
（2）探求OC与CD表达式之间存在的关系（用含a，b的式子表示）．
●归纳结论
根据上面的观察计算、探究证明，你能得出与的大小关系是：．
●实践应用
要制作面积为1平方米的长方形镜框，直接利用探究得出的结论，求出镜框周长的最小值．
22．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，A点在原点左侧，B点的坐标为（4，0），与y轴交于C（0，﹣4）点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点．
（1）求这个二次函数的表达式．
（2）连接PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POP′C，那么是否存在点P，使四边形POP′C为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大？求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积．
山东省济宁市汶上县中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）
1．下列成语所描述的事件是必然发生的是（）
A．水中捞月 B．拔苗助长 C．守株待兔 D．瓮中捉鳖
【考点】随机事件．
【分析】必然事件就是一定发生的事件，即发生的概率是1的事件．
【解答】解：A，B选项为不可能事件，故不符合题意；
C选项为可能性较小的事件，是随机事件；
D项瓮中捉鳖是必然发生的．
故选：D．
2．下列根式中能与合并的是（）
A． B．C． D．
【考点】同类二次根式．
【分析】根据最简二次根式与同类二次根式的定义对各选项分析判断即可得解．【解答】解：A、=2，能与合并，故本选项正确；
B、不能与合并，故本选项错误；
C、=2不能与合并，故本选项错误；
D、=2不能与合并，故本选项错误．
故选A．
3．小明在下面的计算中只做对了一道题，他做对的题目是（）
A．（）2=B．
C．D．
【考点】分式的混合运算．
【分析】根据分式混合运算的法则对各选项进行逐一判断即可．
【解答】解：A、（）2=≠，故本选项错误；
B、+=≠，故本选项错误；
C、==x+y，故本选项正确；
D、=﹣≠﹣1，故本选项错误．
故选C．
4．如图，某教学兴趣小组想测量一棵树CD的高度，他们先在点A处测得树顶C的仰角为30°，然后沿AD方向前行10m，到达B点，在B处测得树顶C的仰角高度为60°（A、B、D三点在同一直线上）则这棵树CD的高度为（）
A．10m B．5m C．5m D．10m
【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．
【分析】首先利用三角形的外角的性质求得∠ACB的度数，得到BC的长度，然后在直角△BDC中，利用三角函数即可求解．
【解答】解：∵∠CBD=60°，∠CBD=∠A+∠ACB，
∴∠ACB=∠CBD﹣∠A=60°﹣30°=30°，
∵∠A=30°，
∴∠A=∠ACB，
∵AB=10，
∴BC=AB=10，
在R△BCD中，CD=BC•sin∠CBD=10×=5．
故选C．
5．学校要组织足球比赛．赛制为单循环形式（每两队之间赛一场）．计划安排21场比赛，应邀请多少个球队参赛？设邀请x个球队参赛．根据题意，下面所列方程正确的是（）
A．x2=21 B．x（x﹣1）=21 C．x2=21 D．x（x﹣1）=21
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【分析】赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），x个球队比赛总场数=．即
可列方程．
【解答】解：设有x个队，每个队都要赛（x﹣1）场，但两队之间只有一场比赛，由题意得：
x（x﹣1）=21，
故选：B．
6．二次函数y=x2﹣2x﹣2与坐标轴的交点个数是（）
A．0个B．1个C．2个D．3个
【考点】抛物线与x轴的交点．
【分析】先计算根的判别式的值，然后根据b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数进行判断．【解答】解：∵△=（﹣2）2﹣4×1×（﹣2）=12＞0，
∴二次函数y=x2﹣2x﹣2与x轴有2个交点，与y轴有一个交点．
∴二次函数y=x2﹣2x﹣2与坐标轴的交点个数是3个．
故选D．
7．如图，正比例函数y1与反比例函数y2相交于点E（﹣1，2），若y1＞y2＞0，则x的取值范围在数轴上表示正确的是（）
A． B．C．
D．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题；在数轴上表示不等式的解集．
【分析】根据两函数的交点坐标，结合图象即可求出x的范围，再在数轴上表示出来，即可得出选项．
【解答】解：∵正比例函数y1与反比例函数y2相交于点E（﹣1，2），
∴根据图象可知当y1＞y2＞0时x的取值范围是x＜﹣1，
∴在数轴上表示为：，
故选A．
8．如图，在▱ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E．若BF=6，AB=5，则AE的长为（）
A．4 B．6 C．8 D．10
【考点】平行四边形的性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；作图—基本作图．
【分析】由基本作图得到AB=AF，加上AO平分∠BAD，则根据等腰三角形的性质得到AO⊥BF，BO=FO=BF=3，再根据平行四边形的性质得AF∥BE，所以∠1=∠3，于是得到
∠2=∠3，根据等腰三角形的判定得AB=EB，然后再根据等腰三角形的性质得到AO=OE，最后利用勾股定理计算出AO，从而得到AE的长．
【解答】解：连结EF，AE与BF交于点O，如图，
∵AB=AF，AO平分∠BAD，
∴AO⊥BF，BO=FO=BF=3，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AF∥BE，
∴∠1=∠3，
∴∠2=∠3，
∴AB=EB，
而BO⊥AE，
∴AO=OE，
在Rt△AOB中，AO===4，
∴AE=2AO=8．
故选C．
9．如图，AB是半圆O（的）直径，半径OC⊥AB，连线AC，∠CAB的平分线AD分别交OC于点E，交于点D，连接CD、OD．以下结论错误的是（）
A．AC∥OD B．CD2=CE•CO C．S△ADC=2S△DOE D．AC=2CD
【考点】相似三角形的判定与性质；圆周角定理．
【分析】根据等腰三角形的性质和角平分线的性质，利用等量代换求证∠CAD=∠ADO即可得到A正确，过点O作OG⊥AC，再根据直角三角形斜边大于直角边可证D错误；利用相似三角形的判定与性质以及等腰直角三角形的性质得出即可C正确；根据相似三角形的性质即可得到B正确．
【解答】证明：∵AB是半圆直径，
∴AO=OD，
∴∠OAD=∠ADO，
∵AD平分∠CAB交弧BC于点D，
∴∠CAD=∠DAO=∠CAB，
∴∠CAD=∠ADO，
∴AC∥OD，
∴故A选项正确．
如图1，过点O作OG⊥AC，
∵OG⊥AC，
∴，
∵半径OC⊥AB于点O，
∴==，
∴AG=GC=CD，
∴AC＜2CD，
∴故D选项错误．
如图2，过点E作EM⊥AC于点M，∵AO=CO，AO⊥CO，
∴∠CAO=∠ACO=45°，
∴CM=ME，
∵AD平分∠CAB分别交OC于点E，EO⊥AO，EM⊥AC，
∴ME=EO，
∴CM=ME=EO，
∴CE=ME=EO，
由①得：∵AC∥OD，
∴△ACE∽△DOE，
∴=，
∴=（）2=2，
∴S△AEC=2S△DEO；故C错误，
∵OC⊥AB，OA=OC，
∴△AOC为等腰直角三角形，
∴∠DOB=∠COD=∠BAC=45°，
∵∠ADC与∠AOC都对，
∴∠ADC=∠AOC=45°，
∴∠ADC=∠COD，又∠OCD=∠DCE，∴△DCE∽△OCD，
∴，即CD2=CE•OC，
故B正确．
故选D．
10．在平面直角坐标系中，正方形ABCD的位置如图所示，点A的坐标为（1，0），点D 的坐标为（0，2），延长CB交x轴于点A1，作正方形A1B1C1C；延长C1B1交x轴于点A2，作正方形A2B2C2C1；…，按这样的规律进行下去，第个正方形的面积为（）
A．5×（） B．5×（） C．5×（）2015D．5×（）4032
【考点】正方形的性质；坐标与图形性质．
【分析】先求出正方形ABCD的边长和面积，再求出第一个正方形A1B1C1C的面积，得出规律，根据规律即可求出第个正方形的面积．
【解答】解：∵点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（0，2），
∴OA=1，OD=2，
∵∠AOD=90°，
∴AB=AD=，∠ODA+∠OAD=90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD=∠ABC=90°，S
==5，
正方形ABCD
∴∠ABA1=90°，∠OAD+∠BAA1=90°，
∴∠ODA=∠BAA1，
∴△ABA1∽△DOA，
∴，即，
∴BA1=，
∴CA1=，
∴正方形A1B1C1C的面积==5×，…，第n个正方形的面积为5×，
∴第个正方形的面积为5×（）2015．
故选C．
二、填空题（共5小题，每小题3分，满分15分）
11．分解因式：a3﹣4a=a（a+2）（a﹣2）．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．
【分析】原式提取a，再利用平方差公式分解即可．
【解答】解：原式=a（a2﹣4）
=a（a+2）（a﹣2）．
故答案为：a（a+2）（a﹣2）
12．若﹣2x m﹣n y2与3x4y2m+n是同类项，则m﹣3n的立方根是2．
【考点】立方根；合并同类项；解二元一次方程组．
【分析】根据同类项的定义可以得到m，n的值，继而求出m﹣3n的立方根．
【解答】解：若﹣2x m﹣n y2与3x4y2m+n是同类项，
∴，
解方程得：．
∴m﹣3n=2﹣3×（﹣2）=8．
8的立方根是2．
故答案为：2．
13．如图，在正三角形ABC中，D，E，F分别是BC，AC，AB上的点，DE⊥AC，EF⊥AB，FD⊥BC，则△DEF的面积与△ABC的面积之比等于1：3．
【考点】相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．
【分析】首先根据题意求得：∠DFE=∠FED=∠EDF=60°，即可证得△DEF是正三角形，又由直角三角形中，30°所对的直角边是斜边的一半，得到边的关系，即可求得DF：AB=1：，又由相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得结果．
【解答】解：∵△ABC是正三角形，
∴∠B=∠C=∠A=60°，
∵DE⊥AC，EF⊥AB，FD⊥BC，
∴∠AFE=∠CED=∠BDF=90°，
∴∠BFD=∠CDE=∠AEF=30°，
∴∠DFE=∠FED=∠EDF=60°，，
∴△DEF是正三角形，
∴BD：DF=1：①，BD：AB=1：3②，△DEF∽△ABC，
①÷②，=，
∴DF：AB=1：，
∴△DEF的面积与△ABC的面积之比等于1：3．
故答案为：1：3．
14．如图，在扇形OAB中，∠AOB=90°，半径OA=6．将扇形OAB沿过点B的直线折叠．点O恰好落在延长线上点D处，折痕交OA于点C，整个阴影部分的面积9π﹣12．
【考点】翻折变换（折叠问题）；扇形面积的计算．
【分析】连接OD交BC于点E，由翻折的性质可知：OE=DE=3，在Rt△OBE中，根据特殊锐角三角函数值可知∠OBC=30°，然后在Rt△COB中，可求得CO=2，从而可求得
△COB的面积=6，最后根据阴影部分的面积=扇形面积﹣2倍的△COB的面积求解即可．【解答】解：连接OD交BC于点E．
扇形的面积==9π，
∵点O与点D关于BC对称，
∴OE=OD=3，OD⊥BC．
在Rt△OBE中，sin∠OBE=，
∴∠OBC=30°．
在Rt△COB中，=tan30°，
∴．
∴CO=2．
∴△COB 的面积==6．
阴影部分的面积=扇形面积﹣2倍的△COB的面积
=9π﹣12．
故答案为：9π﹣12．
15．如图，双曲线y=经过Rt△OMN斜边上的点A，与直角边MN相交于点B，已知OA=2AN，△OAB的面积为5，则k的值是12．
【考点】反比例函数综合题．
【分析】过A点作AC⊥x轴于点C，易得△OAC∽△ONM，则OC：OM=AC：NM=OA：ON，而OA=2AN，即OA：ON=2：3，设A点坐标为（a，b），得到N点坐标为（a，b），由点A与点B都在y=图象上，
根据反比例函数的坐标特点得B点坐标为（a，b），由OA=2AN，△OAB的面积为5，△NAB的面积为，则△ONB的面积=5+=，根据三角形面积公式得NB•OM=，即×（b﹣b）×a=，化简得ab=12，即可得到k的值．
【解答】解：过A点作AC⊥x轴于点C，如图，
则AC∥NM，
∴△OAC∽△ONM，
∴OC：OM=AC：NM=OA：ON，
而OA=2AN，即OA：ON=2：3，设A点坐标为（a，b），则OC=a，AC=b，
∴OM=a，NM=b，
∴N点坐标为（a，b），
∴点B的横坐标为a，设B点的纵坐标为y，
∵点A与点B都在y=图象上，
∴k=ab=a•y，
∴y=b，即B点坐标为（a，b），
∵OA=2AN，△OAB的面积为5，
∴△NAB的面积为，
∴△ONB的面积=5+=，
∴NB•OM=，即×（b﹣b）×a=，
∴ab=12，
∴k=12．
故答案为：12．
三、解答题（共7小题，满分55分）
16．解方程：+=3．
【考点】解分式方程．
【分析】根据解分式方程的一般步骤，可得分式方程的解．
【解答】解：方程两边都乘以（x﹣1），得
2x﹣1=3x﹣3，
解得：x=2，
检验：将x=2代入最简公分母x﹣1≠0，
∴x=﹣2是原分式方程的解．
17．已知：如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，AE∥BC，CE⊥AE，垂足为E．
（1）求证：△ABD≌△CAE；
（2）连接DE，线段DE与AB之间有怎样的位置和数量关系？请证明你的结论．
【考点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；平行四边形的判定与性质．
【分析】（1）运用AAS证明△ABD≌△CAE；
（2）易证四边形ADCE是矩形，所以AC=DE=AB，也可证四边形ABDE是平行四边形得到AB=DE．
【解答】证明：（1）∵AB=AC，
∴∠B=∠ACD，
∵AE∥BC，
∴∠EAC=∠ACD，
∴∠B=∠EAC，
∵AD是BC边上的中线，
∴AD⊥BC，
∵CE⊥AE，
∴∠ADC=∠CEA=90°
在△ABD和△CAE中
∴△ABD≌△CAE（AAS）；
（2）AB=DE，AB∥DE，如右图所示，
∵AD⊥BC，AE∥BC，
∴AD⊥AE，
又∵CE⊥AE，
∴四边形ADCE是矩形，
∴AC=DE，
∵AB=AC，
∴AB=DE．
∵AB=AC，
∴BD=DC，
∵四边形ADCE是矩形，
∴AE∥CD，AE=DC，
∴AE∥BD，AE=BD，
∴四边形ABDE是平行四边形，
∴AB∥DE且AB=DE．
18．为了解2015年祁阳县体育达标情况，县教育局从全县九年级学生中随机抽取了部分学生进行了一次体育测试（把测试结果分为四个等级：A级：优秀；B级：良好；C级：及格；D级：不及格），并将测试结果绘成了如下两幅不完整的统计图．请根据统计图中的信息解答下列问题：
（1）本次抽样测试的学生人数是40；
（2）扇形图中∠α的度数是54°，并把条形统计图补充完整；
（3）我县九年级有学生7200名，如果全部参加这次体育测试，请估计不及格的人数为1440人；
（4）测试老师想从4位同学（分别记为E、F、G、H，其中E为小明）中随机选择两位同学了解平时训练情况，请用列表或画树状图的方法求出选中小明的概率．
【考点】列表法与树状图法；扇形统计图；条形统计图．
【分析】（1）用B级的人数除以所占的百分比求出总人数；
（2）用360°乘以A级所占的百分比求出∠α的度数，再用总人数减去A、B、D级的人数，求出C级的人数，从而补全统计图；
（3）用九年级所有得学生数乘以不及格的人数所占的百分比，求出不及格的人数；
（4）根据题意画出树状图，再根据概率公式进行计算即可．
【解答】解：（1）本次抽样测试的学生人数是：=40（人），
故答案为：40；
（2）根据题意得：360°×=54°；C级的人数是：40﹣6﹣12﹣8=14（人），
故答案为：54°；
如图所示：
（3）根据题意得：7200×=1440（人），
故答案为：1440人；
（4）根据题意画树形图如下：
共有12种情况，选中小明的有6种，则P（选中小明）==．
19．如图，点C是以AB为直径的圆O上一点，直线AC与过B点的切线相交于D，点E 是BD的中点，直线CE交直线AB于点F．
（1）求证：CF是⊙O的切线；
（2）若ED=3，cosF=，求⊙O的半径．
【考点】切线的判定与性质．
【分析】（1）连CB、OC，根据切线的性质得∠ABD=90°，根据圆周角定理由AB是直径得到∠ACB=90°，即∠BCD=90°，则根据直角三角形斜边上的中线性质得CE=BE，所以
∠BCE=∠CBE，所以OBC+∠CBE=∠OCB+∠BCE=90°，然后根据切线的判定定理得CF 是⊙O的切线；
（2）CE=BE=DE=3，在Rt△BFE中，利用cosF==，得出tanF==，可计算出BF=4，
再利用勾股定理可计算出EF=5，所以CF=CE+EF=8，然后在Rt△OCF中，利用正切定义可计算出OC．
【解答】（1）证明：连CB、OC，如图，
∵BD为⊙O的切线，
∴DB⊥AB，
∴∠ABD=90°，
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠BCD=90°，
∵E为BD的中点，
∴CE=BE，
∴∠BCE=∠CBE，
而∠OCB=∠OBC，
∴∠OBC+∠CBE=∠OCB+∠BCE=90°，
∴OC⊥CF，
∴CF是⊙O的切线；
（2）解：CE=BE=DE=3，
在Rt△BFE中，cosF=，tanF==，
∴BF=4，
∴EF==5，
∴CF=CE+EF=8，
在Rt△OCF中，tanF==，
∴OC=6，
即⊙O的半径为6．
20．某商场有A，B两种商品，若买2件A商品和1件B商品，共需80元；若买3件A商品和2件B商品，共需135元．
（1）设A，B两种商品每件售价分别为a元、b元，求a、b的值；
（2）B商品每件的成本是20元，根据市场调查：若按（1）中求出的单价销售，该商场每天销售B商品100件；若销售单价每上涨1元，B商品每天的销售量就减少5件．
①求每天B商品的销售利润y（元）与销售单价（x）元之间的函数关系？
②求销售单价为多少元时，B商品每天的销售利润最大，最大利润是多少？
【考点】二次函数的应用；二元一次方程组的应用．
【分析】（1）根据题意列方程组即可得到结论；
（2）①由题意列出关于x，y的方程即可；
②把函数关系式配方即可得到结果．
【解答】解：（1）根据题意得：，
解得：；
（2）①由题意得：y=（x﹣20）【100﹣5（x﹣30）】
∴y=﹣5x2+350x﹣5000，
②∵y=﹣5x2+350x﹣5000=﹣5（x﹣35）2+1125，
∴当x=35时，y
=1125，
最大
∴销售单价为35元时，B商品每天的销售利润最大，最大利润是1125元．
21．●观察计算
当a=5，b=3时，与的大小关系是＞．
当a=4，b=4时，与的大小关系是=．
●探究证明
如图所示，△ABC为圆O的内接三角形，AB为直径，过C作CD⊥AB于D，设AD=a，BD=b．
（1）分别用a，b表示线段OC，CD；
（2）探求OC与CD表达式之间存在的关系（用含a，b的式子表示）．
●归纳结论
根据上面的观察计算、探究证明，你能得出与的大小关系是：．
●实践应用
要制作面积为1平方米的长方形镜框，直接利用探究得出的结论，求出镜框周长的最小值．
【考点】相似三角形的判定与性质；几何不等式；圆周角定理．
【分析】●观察计算：分别代入计算即可得出与的大小关系；
●探究证明：
（1）由于OC是直径AB的一半，则OC易得．通过证明△ACD∽△CBD，可求CD；（2）分a=b，a≠b讨论可得出与的大小关系；
●实践应用：通过前面的结论长方形为正方形时，周长最小．
【解答】解：●观察计算：＞，=．
●探究证明：
（1）∵AB=AD+BD=2OC，
∴
∵AB为⊙O直径，
∴∠ACB=90°．
∵∠A+∠ACD=90°，∠ACD+∠BCD=90°，
∴∠A=∠BCD．
∴△ACD∽△CBD．
∴．
即CD2=AD•BD=ab，
∴．
（2）当a=b时，OC=CD，=；
a≠b时，OC＞CD，＞．
●结论归纳：．
●实践应用
设长方形一边长为x米，则另一边长为米，设镜框周长为l米，则≥．当，即x=1（米）时，镜框周长最小．
此时四边形为正方形时，周长最小为4米．
22．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，A点在原点左侧，B点的坐标为（4，0），与y轴交于C（0，﹣4）点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点．
（1）求这个二次函数的表达式．
（2）连接PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POP′C，那么是否存在点P，使四边形POP′C为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大？求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积．
【考点】二次函数综合题．
【分析】（1）将B、C的坐标代入抛物线的解析式中即可求得待定系数的值；
（2）由于菱形的对角线互相垂直平分，若四边形POP′C为菱形，那么P点必在OC的垂直平分线上，据此可求出P点的纵坐标，代入抛物线的解析式中即可求出P点的坐标；
（3）由于△ABC的面积为定值，当四边形ABPC的面积最大时，△BPC的面积最大；过P 作y轴的平行线，交直线BC于Q，交x轴于F，易求得直线BC的解析式，可设出P点的横坐标，然后根据抛物线和直线BC的解析式求出Q、P的纵坐标，即可得到PQ的长，以PQ为底，B点横坐标的绝对值为高即可求得△BPC的面积，由此可得到关于四边形ACPB
的面积与P点横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可求出四边形ABPC的最大面积及对应的P点坐标．
【解答】解：（1）将B、C两点的坐标代入得：
，
解得：；
所以二次函数的表达式为：y=x2﹣3x﹣4；
（2）存在点P，使四边形POP′C为菱形；
设P点坐标为（x，x2﹣3x﹣4），PP′交CO于E
若四边形POP′C是菱形，则有PC=PO；
如图1，连接PP′，则PE⊥CO于E，
∵C（0，﹣4），
∴CO=4，
又∵OE=EC，
∴OE=EC=2
∴y=﹣2；
∴x2﹣3x﹣4=﹣2
解得：x1=，x2=（不合题意，舍去），
∴P点的坐标为（，﹣2）；
（3）如图2，过点P作y轴的平行线与BC交于点Q，与OB交于点F，设P（x，x2﹣3x ﹣4），设直线BC的解析式为：y=kx+d，
则，
解得：，
∴直线BC的解析式为：y=x﹣4，
则Q点的坐标为（x，x﹣4）；
当0=x2﹣3x﹣4，
解得：x1=﹣1，x2=4，
∴AO=1，AB=5，
S
=S△ABC+S△BPQ+S△CPQ
四边形ABPC
=AB•OC+QP•BF+QP•OF
=×5×4+（4﹣x）[x﹣4﹣（x2﹣3x﹣4）]+x[x﹣4﹣（x2﹣3x﹣4）]
=﹣2x2+8x+10
=﹣2（x﹣2）2+18
当x=2时，四边形ABPC的面积最大，
此时P点的坐标为：（2，﹣6），四边形ABPC的面积的最大值为18．
6月16日。