2020秋高中数学1.2.3基本初等函数的导数及导数的运算法则二达标练习含解析人教A版选修2_2

第一章 导数及其应用
1.2 导数的计算
1.2.3 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则（二）
A 级 基础巩固
一、选择题
1．若f (x )＝sin π
3－cos x ，则f ′(α)等于( )
A ．sin α
B ．cos α
C ．sin π
3
＋cos α
D ．cos π
3
＋sin α
解析：由f (x )＝sin π
3－cos x ，得f ′(x )＝sin x ，
所以f ′(α)＝sin α. 答案：A
2．已知f (x )＝ax 3
＋9x 2
＋6x －7，若f ′(－1)＝4，则a 的值等于( ) A.193
B.163
C.103
D.133
解析：因为f (x )＝3ax 2
＋18x ＋6，所以由f ′(－1)＝4得，3a －18＋6＝4，即a ＝163.
答案：B
3．已知函数f (x )＝x －sin x ，且f (x )的导数为f ′(x )，若a ＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，b ＝f ′⎝ ⎛⎭
⎪⎫π3，c ＝f ′⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2
，则a ，b ，c 的大小关系为( )
A ．c <b <a
B ．a >b >c
C ．a <b <c
D ．b <a <c
解析：因为f ′(x )＝1－cos x ，所以f ′(x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2上单调递增，所以f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π6<f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π3<f ′⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2，即a <b <c .
答案：C
4．下列函数中，导函数是奇函数的是( ) A ．y ＝sin x B ．y ＝e x
C ．y ＝ln x
D ．y ＝cos x －1
2
解析：由y ＝sin x 得y ′＝cos x 为偶函数，所以A 错；
由y ＝e x
得，y ′＝e x
为非奇非偶函数，所以B 错；C 中y ＝ln x 的定义域为{x |x ＞0}，所以C 错；D 中y ＝cos x －1
2
，y ′＝－sin x 为奇函数，所以选D.
答案：D
5．已知y ＝f (x )是可导函数，如图，直线y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，g ′(x )是g (x )的导函数，则g ′(3)＝( )
A ．－1
B ．0
C ．2
D ．4
解析：由题图可知曲线y ＝f (x )在x ＝3处切线的斜率等于2－10－3＝－1
3，所以f ′(3)＝－
1
3
， 因为g (x )＝xf (x )，所以g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )， 所以g ′(3)＝f (3)＋3f ′(3)，又由题图可知f (3)＝1，
所以g ′(3)＝1＋3×⎝ ⎛⎭
⎪⎫－13＝0. 答案：B 二、填空题
6．已知f (x )＝x 2
，g (x )＝ln x ，若f ′(x )－g ′(x )＝1，则x ＝____． 解析：f ′(x )－g ′(x )＝2x －1x
＝1，即2x 2
－x －1＝0.
解得x ＝－1
2或x ＝1，又x ＞0，所以x ＝1.
答案：1
7．设曲线y ＝e ax
在点(0，1)处的切线与直线x ＋2y ＋1＝0垂直，则a ＝________． 解析：令y ＝f (x )，则曲线y ＝e ax
在点(0，1)处的切线的斜率为
f ′(0)，又切线与直线x ＋2y ＋1＝0垂直，所以f ′(0)＝2.因为f (x )＝e ax ，所以f ′(x )＝
(e ax
)′＝e ax
·(ax )′＝a e ax
，所以f ′(0)＝a e 0
＝a ，故a ＝2.
答案：2
8．已知函数f (x )＝ax ＋b e x
图象上在点P (－1，2)处的切线与直线y ＝－3x 平行，则函数f (x )的解析式是__________________．
解析：由题意可知，f ′(－1)＝－3，所以a ＋b e －1
＝－3， 又f (－1)＝2，所以－a ＋b e －1
＝2，解之得a ＝－52
，
b ＝－12e ，故f (x )＝－52x －12
e x ＋1.
答案：f (x )＝－52x －12e x ＋1
三、解答题
9．求下列函数的导数：
(1)y ＝x e x
；(2)y ＝(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)；(3)y ＝2x
x 2
＋1
； (4)y ＝x sin x －
2
cos x
. 解：(1)y ′＝x ′·e x
＋x ·(e x
)′＝e x
＋x e x
＝(1＋x )e x
.
(2)因为(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)＝(x 2
＋3x ＋2)(x ＋3)＝x 3
＋6x 2
＋11x ＋6. 所以y ′＝[(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)]′＝(x 3
＋6x 2
＋11x ＋6)′＝3x 2
＋12x ＋11. (3)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x x 2＋1′＝（2x ）′（x 2
＋1）－2x （x 2
＋1）′（x 2＋1）2
＝ 2（x 2
＋1）－4x 2
（x 2＋1）2＝2－2x
2
（x 2＋1）2.
(4)y ′＝(x sin x )′－⎝
⎛⎭
⎪⎫2cos x ′＝sin x ＋x cos x －2sin x cos 2
x .
10．设函数f (x )＝ax －b
x
，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0，求实数a ，b 的值．
解：函数f (x )＝ax －b x 的导数为f ′(x )＝a ＋b x
2，可得y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线
斜率为a ＋b 4，切点为⎝
⎛⎭⎪⎫2，2a －b 2，由切线方程7x －4y －12＝0，可得a ＋b 4＝74，2a －b 2＝12， 解得a ＝1，b ＝3.
B 级 能力提升
1．若f (x )＝x 2
－2x －4ln x ，则f ′(x )＞0的解集为( ) A ．(0，＋∞) B ．(－1，0)∪(2，＋∞) C ．(2，＋∞)
D ．(－1，0)
解析：由f (x )＝x 2
－2x －4ln x 得f ′(x )＝2x －2－4x ＞0，整理得（x ＋1）（x －2）x
＞0，
解得－1＜x ＜0或x ＞2，又因为f (x )的定义域为{x |x ＞0}，所以选项C 正确．
答案：C
2．已知f (x )＝x 2
＋2xf ′(1)，则f ′(0)＝________．
解析：因为f ′(x )＝2x ＋2f ′(1)，所以f ′(1)＝2＋2f ′(1)， 所以f ′(1)＝－2，所以f ′(x )＝2x ＋2f ′(1)＝2x －4， 所以f ′(0)＝－4. 答案：－4
3．已知函数f (x )＝ax 3
＋bx 2
＋cx 的图象过点(1，5)，其导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，求函数f (x )的解析式．
解：因为f ′(x )＝3ax 2
＋2bx ＋c ，f ′(1)＝0，f ′(2)＝0， f (1)＝5，所以⎩⎪⎨⎪⎧3a ＋2b ＋c ＝0，12a ＋4b ＋c ＝0，a ＋b ＋c ＝5，解得⎩⎪⎨⎪
⎧a ＝2，b ＝－9，c ＝12.
故函数f (x )的解析式是f (x )＝2x 3
－9x 2
＋12x .。