湖南省名校联盟2021-2022学年高二下学期3月大联考数学试题

湖南省名校联盟2021-2022学年高二下学期3月大联考数学
试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题 1．等比数列2，4的第6项为（ ） A ．32
B ．64
C ．78
D ．128
2．函数()[]()32
311,4f x x x x =-+∈-的最小值为（ ）
A ．3-
B ．1
C ．3
D ．17
3．已知函数()f x 的导数为()f x '，若()()32
312f x x f x x '=++，则()2f '=（ ）
A ．26
B ．12
C ．8
D ．2
4．已知数列{}n a 满足12a =，()
11
1n n a a n n +-=+，则10a =（ ）
A ．
238
B ．
289
C ．
2910
D ．
3211
5．已知函数()1
f x ax x
=+在点()()1,1f 处的切线与直线210x y -+=垂直，则=
a （ ） A ．－2
B ．－1
C ．2
D ．3
6．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且对任意的N n *∈，0n a ≠，若7112S S =，则6
4
a a =（ ） A ．
217 B ．32
C ．
722 D ．14
7．已知集合{}1,2,3,4,5M =，从M 的至少含有两个元素的所有子集中任取一个集合，记为S ，则S 中的元素恰好为连续整数的概率为（ ） A ．
513
B ．
213
C ．
516 D ．18
8．已知直线2y x m =-+与函数()y
f x =的图象相切，则函数()f x 不可能是（ ） A ．()1f x x
=
B ．()f x =
C ．()()
e 21
x x f x -=
D ．()e x
f x x =
二、多选题
9．对于()10
1x -的二项展开式，下列说法正确的有（ ） A ．二项展开式共有11个不同的项 B ．二项展开式的第5项为5510
C x - C ．二项展开式的各项系数之和为0
D ．二项展开式中系数最大的项为第6项
10．已知数列{}n a 的前n 项和为23n S n n =-，则（ ） A ．12a =-
B ．数列{}n a 是单调递增数列.
C ．数列{}n a 是公差为1的等差数列
D ．n S 的最小值为9
4
-
11．已知函数()ln x
f x x
=
，则（ ） A ．()f x 的极值点为e 1,e ⎛⎫
⎪⎝⎭
B ．()f x 的极大值为1
e
C ．()f x 的最大值为1
e
D ．()f x 只有1个零点
12．已知e 为自然对数的底数，函数()e x
f x =，()(),
g x kx b k b =+∈R ，则下列结论正
确的有（ ） A ．若曲线()y f x =与y
g x 相切于点()()1,1f ，则e =k ，0b =
B ．若1k =，1b =-，则曲线()y f x =与y g x 相切
C ．若1k b ==，则()()f x g x ≥恒成立
D ．若0k b +=，且()()y f x g x =-的最小值为0，则2e k =
三、填空题 13．函数()ln f x x x =-的单调减区间为___________.
14．某学校派出4名学生和2名老师参加一个活动，活动结束后他们准备站成一排拍照留念，则2名老师相邻的不同排法有___________种.（用数字作答）
15．某人每月15日发工资，2022年1月15日发工资后，他随即从工资中拿出1000元存入银行，以后每月领工资后，都于当天在工资中拿出1000元存入银行.若银行存款月利率为0.002，那么按照复利，一年后他可以从银行取出本息共__________元.（精确到1元）
四、双空题 16．在()10
12x y ++的展开式中，（1）不含x 的所有项的系数之和为___________；
（2）26x y 的系数为____________（用数字作答）
五、解答题 17．已知二项式8
1ax x ⎛⎫
- ⎪⎝
⎭（a ∈R 为常数）.
(1)当1a =时，求8
1ax x ⎛⎫
- ⎪⎝
⎭的二项展开式中的常数项；
(2)若8
1ax x ⎛⎫
- ⎪⎝
⎭的二项展开式中第六项的系数为7，求实数a 的值.
18．第24届冬季奥运会于2022年2月4日至2月20日在北京举行，中国运动员通过顽强拼搏，获得了9枚金牌，列金牌榜第三名，为祖国争得了荣誉，也创造了冬奥会上新的辉煌.假设冬奥会上某项比赛共有包括中国队在内的6个国家代表队参加决赛，且每个代表队只有1名队员参赛.比赛时按预先编排的顺序依次出场，根据比赛成绩确定前三名，分别获得金牌、银牌和铜牌. (1)决赛时共有多少种不同的出场顺序?
(2)中国队不是第一个出场的比赛顺序有多少种?.
(3)若每名参赛队员获得奖牌的可能性相等，求中国队获得奖牌的概率.
19．如图，城市A 正东的B 地有一大型企业，A 、B 之间有一条100公里的普通公路相连.为了发展当地经济，减轻城市交通压力，经过C 地新修了一条高速公路，且在C 地设置了高速出口，现准备在A 、B 之间选择一点D （D 不与A 、B 两点重合）修建一条公路CD ，并同时将DB 段普通公路进行提质.若CA AB ⊥，且40CA =公里，公路CD 的建造费用为每公里40万元，DB 段公路的提质费用为每公里24万元，设
()20AD x x =≥公里，且公路AB 、CD 均为线段.
(1)求公路CD 与DB 的费用之和y 关于x 的函数关系式；
(2)如何选择点D 的位置，可以使总费用y 最小，并求出其最小值.
20．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，12n n S a λ-=+（2n ≥，λ为常数）.
(1)若1a ，2a ，3a 成等差数列，求λ的值；
(2)若4λ=，12n n n b a a +=-，求证：数列{}n b 为等比数列，并求数列{}n a 的通项公式.
21．已知*,n k ∈N ，且k n ≤，数列{}k a 的通项公式为C k
k n a k =⋅.
(1)当6n =时，求25a a +的值； (2)求数列{}k a 的前n 项和n S ； (3)若数列{}n S 的前n 项和为n T ，求n T .
22．已知函数()e x
f x =，()sin
g x x =.
(1)讨论函数()()()F x f x g x =的单调性；
(2)设函数()()()()G x f x g x ax a =+-∈R ，若()G x 在,2π⎡-+∞⎫
⎪⎢⎣⎭
上为增函数，求实数a
的取值范围.
参考答案：
1．B 【解析】 【分析】
由题可得2n n a =，即得. 【详解】
由题可得,,11224222n n
n a a a -===⨯=，
∴66264a ==. 故选：B. 2．A 【解析】 【分析】
利用导函数求函数的最值即得. 【详解】
∴函数()[]()32
311,4f x x x x =-+∈-，
∴()()[]()2
36321,4f x x x x x x '=-=-∈-，
∴[1,0)(2,4]x ∈-⋃时，()0f x '>，()0,2x ∈时，()0f x '<，
∴()f x 在[1,0)-上为增函数，在()0,2上为减函数，在(2,4]上为增函数， ∴函数()f x 在0x =时有极大值，在2x =时有极小值， 又()()13,23f f -=-=-，
∴函数()[]()32
311,4f x x x x =-+∈-的最小值为3-.
故选：A. 3．D 【解析】 【分析】
根据题意求出导函数()()2
3612f x x f x ''=++，进而可得()11f '=-，()f x '，即可得解.
【详解】
∴()()32
312f x x f x x '=++， ∴()()2
3612f x x f x ''=++，
所以()()13612f f ''=++，解得()11f '=-，
∴()2
362f x x x '=-+， ∴()2
2326222f '=⨯-⨯+=.
故选：D. 4．C 【解析】 【分析】 由题可得()1111
11
n n a a n n n n +-==-++，即得.
【详解】 ∴()1111
11
n n a a n n n n +-=
=-++，12a =，
∴10109982111111
11291239108921010
a a a a a a a a =-+-++-+=-+-+
+-+=-=.
故选：C. 5．B 【解析】 【分析】
求出()f x 的导数，可得切线的斜率，由两直线垂直的条件：斜率之积为−1，解方程即可得到所求值. 【详解】
函数()1
f x ax x
=+的导数为()21f x a x '=-，
∴()11f a '=-，即函数在1x =处的切线斜率为1a -， 由切线与直线210x y -+=垂直， 可得()1
112
a -⨯=-，
解得1a =-. 故选：B.
6．C 【解析】 【分析】
利用等差中项的性质可求得结果. 【详解】 因为7112S S =，即()()171117112
a a a a +=+，即46722a a =，因此，
64722
a a =. 故选：C. 7．A 【解析】 【分析】
根据题意，求得所有集合的可能，找到满足题意的集合，利用古典概型的概率计算公式求解即可. 【详解】
因为集合M 中含有2个元素的子集有如下10个：
{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}1,2,1,3,1,4,1,5,2,3,2,4,2,5,3,4,3,5,4,5,
其中元素是连续整数的有4个，是{}{}{}{}1,2,?2,3
,?3,4,?4,5 含有3个元素的子集有如下10个：
{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}1,2,3,?1,2,4,?1,2,5,?1,3,4,?1,3,5,?1,4,5,?2,3,4,?2,3,5,?2,4,5,?3,4,5， 其中元素是连续整数的有3个，是{}{}{}1,2,3,?2,3,4
,?3,4,5 含有4个元素的子集有5个，{}{}{}{}{}1,2,3,4,?1
,2,3,5,1,2,4,5,1,3,4,5,2,3,4,5, 其中元素是连续整数的有2个，是{}{}1,2,3,4,2,3,4,5.
含有5个元素的子集有1个，是{}1,2,3,4,5，其满足元素是连续整数. 即S 的所有可能有：26种，满足元素是连续整数的有10种. 故满足题意的概率105
2613
P ==. 故选：A. 8．D 【解析】
【分析】
求导函数，判断()2f x '=-是否有解，即得. 【详解】
对于A ，∴()2
1f x x '=-
，且21
2x -=-有解，故A 有可能； 对于B ，∴()1343f x x '=，且1
34
23
x =-有解，故B 有可能；
对于C ，∴()()
()
2
e 231x x x
f x x ⋅-'=
-，
设()()()
()
2
2e 2321x x x h x f x x ⋅-=
-+'=+，
则函数()h x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上连续，且(),1
210204e 202h h ⎛⎫
=>=-+< ⎪⎝⎭，
故函数()h x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上存在零点，即()2f x '=-在10,2⎛⎫
⎪⎝⎭
上有解，故C 有可能；
对于D ，∴()()e 1x
f x x '=+，令()()e 1x
g x x =+，则()()e 2x g x x '=+，
∴当2x <-时函数()g x 为减函数，当2x >-时函数()g x 为增函数， ∴当2x =-时，函数()g x 有最小值，()2
1
22e g -=-
>-， ∴()2g x >-，即()2f x '=-无解，故D 不可能. 故选：D. 9．AC 【解析】 【分析】
利用二项展开式的项数可判断A 选项；利用二项展开式的通项可判断B 选项；利用二项展开式各项系数和可判断C 选项；利用二项式系数的基本性质可判断D 选项. 【详解】
对于A 选项，()10
1x -的展开式共有11个不同的项，A 对；
对于B 选项，二项展开式的第5项为()4
464610
10C 1C x x ⋅⋅-=⋅，B 错； 对于C 选项，二项展开式的各项系数之和为()10
110-=，C 对；
对于D 选项，展开式通项为()10110
C 1k k k k T x -+=⋅⋅-，令()10110C 1k
k k k T x -+=⋅⋅- 当k 为奇数时，()10
C 10k
k ⋅-<；当k 为偶数时，()10C 10k
k
⋅->. 结合二项式系数性质可知，二项展开式中系数最大的项为第5项或第7项，D 错. 故选：AC. 10．AB 【解析】 【分析】
利用n a 与n S 的关系，可求24n a n =-，进而可判断ABC ，利用二次函数的性质可判断D. 【详解】 ∴23n S n n =-，
∴当1n =时, 12a =-，故A 正确；
当2n ≥时，()()2
2
1313124n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=-----=-⎣⎦
，又12a =-满足此式， 所以12n n a a +-=，故数列{}n a 是公差为2的等差数列，故B 正确，C 错误；
又2
2393,N*24n S n n n n ⎛
⎫=-=--∈ ⎪⎝⎭，所以1n =或2n =时，n S 有最小值2-，故D 错误.
故选：AB. 11．BCD 【解析】 【分析】
利用导函数可得()2
1ln x
f x x -'=，进而可求函数的极值，可判断ABC ，利用对数函数的性质可判断D. 【详解】 ∴函数()ln ,0x
f x x x
=>， ∴()2
1ln x
f x x -'=
， 由()2
1ln 0x
f x x
-'=
>，得()0,e x ∈，由()0f x '<，得()e,x ∈+∞， ∴函数()f x 在()0,e 上单调递增，在()e,+∞上单调递减，
∴e 是函数()f x 的极大值点，函数()f x 在e x =上取得极大值，()1
e e
f =，且为()f x 函数
的最大值，故Ａ错误，BC 正确； 又因为()10f =，且当01x <<时，()ln 0x
f x x =<，当1x >时，()ln 0x f x x
=>，故D 正确.
故选：BCD. 12．ACD 【解析】 【分析】
利用导数的几何意义，以及利用导数求函数的单调性，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择. 【详解】
对()e x
f x =，'()f x e x =，
对A ：当1x =时，'(1)f e =，又()1e f =，故在()()1,1f 处的切线方程为()e e 1y x -=-， 即e y x =，故此时e 0k b ==，，故A 正确；
对B ：令'()f x 1=，解得0x =，又()01f =，故此时()f x 在0x =处的切线方程为：1y x -=，
即1y x =+，此时1,1k b ==，故B 错误；
对C ：令()()()e 1x
h x f x g x x =-=--，则'()h x e 1x =-，
则当0x <时，'()h x 0<，()h x 单调递减；当0x >时，'()h x 0>，()h x 单调递增. 故()()00h x h ≥=，故()()f x g x ≥，则C 正确； 对D ：若0k b +=，则()()()h x f x g x =-e x kx k =-+，
'()h x e x k =-，当0k ≤时，'()h x 0>恒成立，故()h x 单调递增，不存在最小值，故舍去； 当0k >时，当ln x k <时，'()h x 0<，()h x 单调递减；当0x >时，'()h x 0>，()h x 单调递增.
故()()ln ln h x h k k k k k ≥=-+，又其最小值为0 故2ln 0k k k -=，解得2e k =，故D 正确.
【点睛】
本题考察导数的几何意义，以及利用导数研究函数的单调性和最值，属综合基础题. 13．(]0,1
【解析】
【分析】
首先求出函数的定义域为()0,∞+，再求出()f x '，令()0f x '≤，解不等式即可求解.
【详解】
函数()ln f x x x =-的定义域为()0,∞+，
且()111x f x x x
-'=-
=， 令()0f x '≤，即10x x -≤，解不等式可得01x <≤， 所以函数的单调递减区间为(]0,1.
故答案为：(]0,1
【点睛】
本题考查了利用导数研究函数的单调性，解题的关键是求出导函数，属于基础题. 14．240
【解析】
【分析】
利用捆绑法即得.
【详解】
因为2名老师相邻，把他们捆绑看作一个元素与4名学生排共有55A 种排法，再排其内部顺序又2
2A 种，
所以4名学生和2名老师站成一排拍照，2名老师相邻的不同排法有5252240A A =种. 故答案为：240.
15．12157
【解析】
利用等比数列的求和公式可求得结果.
【详解】
2022年1月15日存入的1000元，到2023年1月15日的本息和为121000 1.002⨯， 2022年2月15日存入的1000元，到2023年1月15日的本息和为111000 1.002⨯， 2022年3月15日存入的1000元，到2023年1月15日的本息和为101000 1.002⨯，
，
2022年12月15日存入的1000元，到2023年1月15日的本息和为1000 1.002⨯，
因此，一年后他可以从银行取出本息共()2121000 1.002 1.002 1.002⨯+++
()
1210021 1.002121571 1.002⨯-=≈-（元）.
故答案为：12157.
16． 1024 5040
【解析】
【分析】
（1）令0x =，1y =可得出不含x 的所有项的系数之和；
（2）写出展开式通项，令x 的指数为2，y 的指数为6，求出参数的值，代入展开式通项可得出结果.
【详解】
解：()()N n a b c n *++∈的展开式通项为()1C r
r n r r n A a b c -+=⋅+， ()()N r b c r *
+∈的展开式通项为1C k r k k k r B b c -+=⋅， 故()()N n a b c n *++∈的展开式通项为1,1C C r k n r r k k r k n r M a b c --++=，
故()1012x y ++的展开式通项为()1,110C C 2010,,N r k
r k r k k r k r T x y k r k r --++=⋅≤≤≤∈， （1）在()1012x y ++中，令0x =，1y =，可知展开式中所有不含x 项的系数和为
1021024=；
（2）在展开式的通项()1,110C C 2010,,N r k r k r k k r k r T x y k r k r --++=⋅≤≤≤∈中，
令26r k k -=⎧⎨=⎩，可得86
r k =⎧⎨=⎩， 因此，展开式中26x y 的系数为862108C C 25040⋅=.
故答案为：（1）1024；（2）5040.
17．(1)70； (2)12
-. 【解析】
【分析】
（1）利用二项展开式的通项公式可得()4
44181T C +=-，即得； （2）由题可得()5
35817a C -=，即求. (1)
当1a =时，81x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项展开式的通项为()88218811r
r r r r r r T C x C x x --+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭， 令820r -=，得4r =， ∴8
1ax x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项展开式中的常数项为()44418170T C +=-=； (2) ∴81ax x ⎛⎫- ⎪⎝
⎭的二项展开式的通项为()()888218811r
r r r r r r r T C ax a C x x ---+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭， 又81ax x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项展开式中第六项的系数为7， ∴()535817a C -=，解得12
a =-， ∴实数a 的值为12
-. 18．(1)720;
(2)600； (3)1
2.
【解析】
【分析】
（1）由题可知6个队员的全排列；
（2）先排中国队有15A 种，再排其他队有55A 种，即得；
（3）由题可得获奖的所有结果数及中国队获得奖牌的结果数，即求.
(1)
由题可知决赛时不同的出场顺序共有66720A =种.
(2)
先排中国队有15A 种，再排其他队有5
5A 种，
故中国队不是第一个出场的比赛顺序有155********A A =⨯=种； (3)
由题可知获奖的所有结果共有36120A =种，
其中中国队获得奖牌的结果有123560A A =种， 所有中国队获得奖牌的概率为6011202
P ==.
19．(1)242400y x =+，其中20100x ≤<
(2)当30AD =公里时，总费用y 最小，且最小费用为3680万元.
【解析】
【分析】
（1）求出CD ，根据4024y CD BD =+可得出所求函数解析式，并标出x 的取值范围；
（2）利用导数求出函数242400y x =+的最小值及其对应的x 值，即可得出结论.
(1)
解：由勾股定理可得CD =20100x ≤<，
所以，()24100242400y x x =-=+，其中20100x ≤<.
(2)
解：
24y '=-=，
由0y '<可得2030x ≤<；由0y '>可得30100x <<.
所以，函数242400y x =+在[)20,30上单调递减，在()30,100上单调递增， 故当30x =
时，函数242400y x =+取最小值， 即min 4050243024003680y =⨯-⨯+=（万元），
因此，当30AD =公里时，总费用y 最小，且最小费用为3680万元. 20．
(1)1λ=(2)证明见解析，()2312n n a n -=-⋅.
【解析】
【分析】
（1）根据1a ，2a ，3a 成等差数列列方程，化简求得λ的值.
（2）利用11,1,2n n
n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，结合等比数列的定义证得{}n b 为等比数列，求得n b ，利用凑配法求得n a .
(1)
依题意，11a =，12n n S a λ-=+，
2n =时，12122,1a a a a λλ+=+=+，
当3n =时，2123232,a a a a a λλ++=+=，
由于1a ，2a ，3a 成等差数列，
所以()22211,210λλλλ+=+--=，
解得1λ=
(2)
若4λ=，则11a =，()1224n n S a n -=+≥，
2n =时，121224,5a a a a +=+=，
()1224n n S a n -=+≥，124n n S a +=+，
两式相减并化简得()11442n n n a a a n +-=-≥，
()()112222n n n n a a a a n +--=-≥，
所以数列{}n b 是首项为2123a a -=，公比为2的等比数列，
所以11132,232n n n n n b a a --+=⋅-=⋅，
11232n n n a a -+=+⋅，两边除以12n +得113224
n n n n a a ++=+， 所以数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为1122a =，公差为34的等差数列， 所以()231312312244
n n n
n n a n n a n ---=⇒=⋅=-⋅. 21．(1)60；
(2)12n n S n -=⋅；
(3)()121n n T n =-+.
【解析】
【分析】
（1）由题可得6k k a k C =⋅，即求；
（2）利用倒序相加法及二项式定理即得；
（3）利用错位相减法即求.
(1)
∴C k k n a k =⋅，
当6n =时，256265625,30,30k k a k C a C a C =⋅=⨯=⨯==，
∴2560a a +=；
(2)
由题可得()1231231n n n n n n n n C C C n C nC S -=+++
+-+， ∴()()123211232n n n n n n n n n n n C n C C C C nC S --=-+-+++++，
∴()()
1231222222n n n n n n n n n C C C C n n n n S -=+++++=-+=⋅， 所以12n n S n -=⋅；
(3)
由题可知01211222322n n T n -=⨯+⨯+⨯++⋅，
∴12321222322n n T n =⨯+⨯+⨯++⋅， ∴1211212222221212
n n n n n n n T n n n ---=++++-⋅=-⋅=--⋅-， ∴()121n n T n =-+.
22．(1)函数()F x 在()32,2Z 44k k k ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭上单调递增，在()372,2Z 44k k k ππππ⎛⎫++∈ ⎪⎝
⎭上单调递减； (2)2e a π
-≤.
【解析】
【分析】
（1）由题可得()sin 4x F x x π⎛⎫'=+ ⎪⎝
⎭，再利用函数的单调性与导数的关系及正弦函数的性质即得；
（2）由题可得e cos x a x ≤+在,2π⎡-+∞⎫⎪⎢⎣⎭
上恒成立，再利用导数求函数的最值即可. (1)
由题可得()()()e sin x F x f x g x x ==，
∴()()e sin cos sin 4x x F x x x x π⎛⎫'=+=+ ⎪⎝
⎭， 由()0F x '>可得，224k x k π
πππ<+<+，即322,Z 44
k x k k π
πππ-<<+∈， 由()0F x '<可得，2224k x k πππππ+<+<+，即3722,Z 44
k x k k ππππ+
<<+∈， ∴函数()F x 在()32,2Z 44k k k ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭上单调递增，在()372,2Z 44k k k ππππ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭上单调递减；
(2)
由题知()()()e sin x G x f x g x ax x ax =+-=+-，
∴()e cos x G x x a '=+-，又()G x 在,2π⎡-+∞⎫⎪⎢⎣⎭
上为增函数， ∴()e cos 0x G x x a '=+-≥在,2π⎡-+∞⎫⎪⎢⎣⎭上恒成立，即e cos x a x ≤+在,2π⎡-+∞⎫⎪⎢⎣⎭
上恒成立， 设()=e cos x h x x +，则()=e sin x h x x '-，
当,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦
π时，[][]sin 1,0,e 0,sin 0,1x x x ∈->-∈，故()=e sin 0x h x x '->， 当,()0x ∈+∞时，[]sin 1,1,e 1x x ∈->，故()=e sin 0x h x x '->， 所以在,2π⎡-+∞⎫⎪⎢⎣⎭
上()=e sin 0x h x x '->， ∴函数()=e cos x h x x +在,2
π⎡-+∞⎫⎪⎢⎣⎭上单调递增，()22min =e cos e 2h x πππ--⎛⎫+-= ⎪⎝⎭
， ∴2e a π
-≤，
故实数a 的取值范围为2e a π
-≤.。