人教版七年级数学下册期考重难点突破、典例剖析与精选练习：相交线与相交线中的角(解析版)

人教版七年级数学下册期考重难点突破、典例剖析与精选练习：
相交线与相交线中的角
知识网络
重难突破
知识点一相交线
直线的位置关系：在同一平面内，不重合的两条直线之间的位置关系只有两种：相交或平行。

【典型例题】
1．（2020·漯河市期末）两条直线最多有1个交点，三条直线最多有3个交点，四条直线最多有6个交点，…那么六条直线最多有( )
A．21个交点B．18个交点C．15个交点D．10个交点
【答案】C
【解析】
试题分析：由题意两条直线最多有个交点，三条直线最多有个交点，四条直线最多有个交点，根据这个规律即可求得结果.
由题意得六条直线最多有个交点，故选C.
2．（2019·平顶山市期末）如图，对于直线AB，线段CD，射线EF，其中能相交的图是（）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】
根据直线、射线、线段的定义对各选项分析判断利用排除法求解．
解：A、直线AB与线段CD不能相交，故本选项错误；
B、直线AB与射线EF能够相交，故本选项正确；
C、射线EF与线段CD不能相交，故本选项错误；
D、直线AB与射线EF不能相交，故本选项错误．
故选B．
3．（2019·青岛市期末）在一平面中，两条直线相交有一个交点；三条直线两两相交最多有3个交点；四条直线两两相交最多有6个交点……当相交直线的条数从2至n变化时，最多可有的交点数m与直线条数n 之间的关系如下表：
则m与n的关系式为：___．
【答案】m=1
2
n（n-1）．
【详解】
∵3条直线相交最多有3个交点，4条直线相交最多有6个交点．而3=1+2，6=1+2+3，10=1+2+3+4，
∴可猜想，n条直线相交，最多有1+2+3+…+（n-1）=1
2
n（n-1）个交点．
即m=1
2
n（n-1），
故答案为：m=1
2
n（n-1）．
垂线的概念：当两条相交直线所成的四个角中，有一个角是直角，就说这两条直线互相垂直，其中一条直
线叫做另一条直线的垂线，交点叫做垂足。

表示方法：
如图，a ⊥ b，垂足为Ｏ．
记作：a ⊥ b于点Ｏ．
【注意事项】
1.线段与线段，线段与射线，线段与直线，射线与射线，射线与直线垂直，是特指它们所在的直线互相垂直。

2.两条直线互相垂直，则它们之间所形成的四个角为直角；若两条直线的夹角为直角，则这两条直线互相垂直。

垂线的性质：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。

垂线的画法：一落、二移、三画。

注意：经过一点画射线或线段的垂线，是指它们所在直线的垂线，垂足的位置不固定，可能会出现在射线的反向延长线或线段的延长线上。

垂线段最短定理：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。

注意：
1、垂线是一条直线，而垂线段是一条线段。

2、经过直线外一点到这条直线的垂线段有且只有一条。

点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离
【典型例题】
1．（2020·连云港市期末）点P为直线L外一点，点A、B、C为直线上三点，PA=6cm，PB=8cm，PC=4cm，
则点P到直线l的距离为（）
A．4cm B．6cm C．小于4cm D．不大于4cm
【答案】D
【详解】
当PC⊥l时，PC是点P到直线l的距离，即点P到直线l的距离4cm，
当PC不垂直直线l时，点P到直线l的距离小于PC的长，即点P到直线l的距离小于4cm，
综上所述：点P到直线l的距离不大于4cm.
故答案选：D.
2．（2020·湖南雅礼中学初一期末）如图，计划把河水引到水池A中，可以先引AB⊥CD，垂足为B，然后沿AB开渠，则能使所开的渠最短，这样设计的依据是（）
A．垂线段最短B．两点之间，线段最短
C．两点确定一条直线D．两点之间，直线最短
【答案】A
【详解】
根据垂线段定理，连接直线外一点与直线上所有点的连线中，垂线段最短，
∴沿AB开渠，能使所开的渠道最短，
故选A．
3．（2018·漯河市期末）下列说法中不正确的是（）
①过两点有且只有一条直线
②连接两点的线段叫两点的距离
③两点之间线段最短
④点B在线段AC上，如果AB=BC，则点B是线段AC的中点
A．①B．②C．③D．④
【答案】B
【解析】①过两点有且只有一条直线，正确；
②连接两点的线段的长度叫两点间的距离，错误
③两点之间线段最短，正确；
④点B在线段AC上，如果AB=BC，则点B是线段AC的中点，正确；
故选：B．
4．（2019·张掖市期末）我们定义：如果两个角的差的绝对值等90°，就可以称这两个角互为垂角，例如：
∠1＝120°，∠2＝30°，|∠1﹣∠2|＝90°，则∠1和∠2互为垂角(本题中所有角都是指大于0°且小于180°的角)，如图，OC⊥AB于点O，OE⊥OD，图中所有互为垂角的角有( )
A．2对B．3对C．4对D．6对
【答案】C
【详解】
解：∵OC⊥AB，OE⊥OD，
|∠EOB-∠DOB|=90°，|∠EOB-∠EOC|=90°，|∠AOD-∠COD|=90°，
|∠AOD-∠AOE|=90°；
所以互为垂角的角有4对：∠EOB与∠DOB，∠EOB与∠EOC，∠AOD与∠COD，∠AOD与∠AOE；故选：C.
5．（2019·呼伦贝尔市期末）下列日常现象：①用两根钉子就可以把一根木条固定在墙上；②把弯曲的公路改直，就能够缩短路程；③体育课上，老师测量某个同学的跳远成绩；④建筑工人砌墙时，经常先在两端立桩拉线，然后沿着线砌墙．其中，可以用“两点确定一条直线”来解释的现象是( )
A．①④B．②③
C．③D．④
【答案】A
【详解】
①用两根钉子就可以把一根木条固定在墙上，利用了两点确定一条直线，故①正确；
②把弯曲的公路改直，就能够缩短路程，利用“两点之间线段最短”，故②错误；
③体育课上，老师测量某个同学的跳远成绩，利用了点到直线的距离，故③错误；
④建筑工人砌墙时，经常先在两端立桩拉线，然后沿着线砌墙，利用了两点确定一条直线，故④正确．
故选A．
6．（2019·合肥市期末）下列作图能表示点A到BC的距离的是()
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】B 【详解】
A 、BD 表示点
B 到A
C 的距离，故此选项错误； B 、A
D 表示点A 到BC 的距离，故此选项正确； C 、AD 表示点D 到AB 的距离，故此选项错误； D 、CD 表示点C 到AB 的距离，故此选项错误； 故选：B ．
知识点二 相交线中的角 邻补角与对顶角的知识点
两直线相交所成的四个角中存在几种不同关系的角，它们的概念及性质如下表： 图形 顶点 边的关系 大小关系 对顶角
∠1与∠2
有公共顶点 ∠1的两边与∠2的两边互为反向延长线
对顶角相等 即∠1=∠2
邻补角
∠3与∠4
有公共顶点
∠3与∠4有一条边公共，另一边互为反向延长线.
∠3+∠4=180°
注意点：
（1）对顶角是成对出现的，对顶角是具有特殊位置关系的两个角；
（2）如果∠α与∠β是对顶角，那么一定有∠α=∠β；反之如果∠α=∠β，那么∠α与∠β不一定是对顶角； （3）如果∠α与∠β互为邻补角，则一定有∠α+∠β=180°；反之如果∠α+∠β=180°，则∠α与∠β不一定是邻补角；
1 2
4
3
（4）两直线相交形成的四个角中，每一个角的邻补角有两个，而对顶角只有一个.
同位角、内错角与同旁内角的知识点
同位角：在两条直线的上方，又在直线EF的同侧，具有这种位置关系的两个角叫同位角。

（同旁同侧）如：∠1和∠5。

内错角：在在两条直线之间，又在直线EF的两侧，具有这种位置关系的两个角叫内错角。

（内部异侧）如：∠3和∠5。

同旁内角：在在两条直线之间，又在直线EF的同侧，具有这种位置关系的两个角叫同旁内角。

（同旁内侧）如：∠3和∠6。

三线八角:指的是两条直线被第三条直线所截而形成的八个角，其中同位角4对，内错角有2对，同旁内角有2对，同旁内角有2对。

【典型例题】
1．（2019·上海市光明中学初一期中）如图，下列判断中，正确的是（）
A．∠2和∠4是同位角B．∠1和∠B是内错角
C．∠3和∠5是同旁内角D．∠5和∠B是同旁内角
【答案】D
【详解】
A、∠2和∠4无关系；
B、∠1和∠B无关系；
C、∠3和∠5是内错角；
D、∠5和∠B是同旁内角，正确，故选D.
2．（2017·唐山市期中）在图中，∠1与∠2不是同旁内角的是（）.
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】
选项A、C、B中，∠1与∠2在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，是同旁内角；选项D中，∠1与∠2的两条边都不在同一条直线上，不是同旁内角．
故选D．
3．（2019·杭州市建兰中学初一期中）如图，射线AB、AC被直线DE所截，则∠1与∠2是（）
A．同位角B．内错角C．同旁内角D．对顶角
【答案】A
【详解】
解：射线AB、AC被直线DE所截，则∠1与∠2是同位角，
故选A．
4．（2019·合肥市期末）若∠α与∠β同旁内角，且∠α=50°时，则∠β的度数为（）
A．50°B．130°C．50°或130°D．无法确定
【答案】D
【详解】
同旁内角只是一种位置关系，并没有一定的大小关系，只有两直线平行时，同旁内角才互补,
故选D.
5．（2019·安康市期中）如图，描述同位角、内错角、同旁内角关系不正确．．．
的是（ ）
A ．1∠与4∠是同位角
B ．2∠与3∠是内错角
C ．3∠与4∠是同旁内角
D ．2∠与4∠是同旁内角
【答案】D 【解析】
解：A ．∠1与∠4是同位角，故A 选项正确； B ．∠2与∠3是内错角，故B 选项正确； C ．∠3与∠4是同旁内角，故C 选项正确； D ．∠2与∠4是同旁内角，故D 选项错误． 故选D ．
6．（2019·河南信阳市一中初一期末）下列所示的四个图形中，∠1和∠2是同位角的是（ ）
A ．②③
B ．①②③
C ．①②④
D ．①④
【答案】C 【详解】
图①、②、④中，∠1与∠2在截线的同侧，并且在被截线的同一方，是同位角； 图③中，∠1与∠2的两条边都不在同一条直线上，不是同位角． 故选C ．
7．（2019·广东省台山一中大江实验中学初一期末）如图所示，直线a 与b 相交，如果145∠=︒，那么2∠=（ ）
A ．45°
B ．135°
C ．30°
D ．90°
【答案】B 【详解】
解：根据题意，∠1与∠2是邻补角， ∴12180∠∠+=︒， ∴218045135∠=︒-︒=︒； 故选择：B.
8．（2019·宝鸡市期末）如图所示，已知直线AB 、CD 相较于O ，OE 平分∠COB ，若∠EOB=55°，则∠BOD 的度数是（ ）
A ．20
B ．25°
C ．30°
D ．70°
【答案】D 【详解】
∵OE 平分∠COB ，若∠EOB=55°， ∴∠COB=2∠EOB=110°， ∵∠BOD 与∠COB 是邻补角， ∴∠BOD=180°-∠COB=70°， 故选D.
9．（2019·青岛市期中）如图，直线AB 、CD 、EF 相交于一点，∠1=50°，∠2=64°，则∠COF=（ ）度．
A．66 B．50 C．64 D．76
【答案】A
【详解】
∵∠1=50°，∠2=64°
∴∠DOE=180°−∠1−∠2=66°
∴∠COF=∠DOE=66°
故选A.
10．（2018·泾川县丰台乡中学初一期末）如图所示，直线AB，CD相交于点O，OE⊥AB于点O，OF平分∠AOE，∠1＝15°30′，则下列结论中不正确的是( )
A．∠2＝45°B．∠1＝∠3
C．∠AOD与∠1互为邻补角D．∠1的余角等于75°30′
【答案】D
【详解】
A、由OE⊥AB，可知∠AOE=90°，OF平分∠AOE，则∠2=45°，正确；
B、∠1与∠3互为对顶角，因而相等，正确；
C、∠AOD与∠1互为邻补角，正确；
D、∵∠1+75°30′=15°30′+75°30′=91°，
∴∠1的余角等于75°30′，不成立．
故选D．
11．（2019·会昌县期中）如图，∠1=100°，∠2=145°，那么∠3=( ).
A．55°B．65°C．75°D．85°
【答案】B
【解析】
试题解析：
∵∠1=100°，∠2=145°，
∴∠4=180°-∠1=180°-100°=80°，
∠5=180°-∠2=180°-145°=35°，
∵∠3=180°-∠4-∠5，
∴∠3=180°-80°-35°=65°．
故选B．
巩固训练
一、选择题（共10小题）
1．（2017·江苏南京师大附中初一期末）下列说法不正确的是（）
A．过任意一点可作已知直线的一条平行线
B．在同一平面内两条不相交的直线是平行线
C．在同一平面内，过直线外一点只能画一条直线与已知直线垂直
D．直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短
【答案】A
【解析】试题分析：平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故A不正确；
在同一平面内两条不相交的直线是平行线，这是平行线的概念，故B正确；
在同一平面内，过直线外一点只能画一条直线与已知直线垂直，故C正确；
直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，故D正确；
故选：A.
2．（2018·兰州市第三十一中学初一期末）如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥AB，垂直为点O，∠BOD ＝50°，则∠COE＝（）
A．30°B．140°C．50°D．60°
【答案】B
【解析】
试题解析：EO⊥AB，
∴∠=o
90,
AOE
Q
∠=∠=o
AOC BOD
50,
o o o
5090140.
∴∠=∠+∠=+=
COE AOC AOE
故选B.
3．（2019·石景山区期末）已知：如图，直线BO⊥AO于点O，OB平分∠COD，∠BOD＝22°．则∠AOC 的度数是( )
A．22°B．46°C．68°D．78°
【答案】C
【详解】
解：∵BO⊥AO，
∴∠AOB=90°，
∵OB平分∠COD，
∴∠BOC=∠BOD=22°，
∴∠AOC=90°-22°=68°.
故选C.
4．（2018·龙岩市第五中学初一期中）两条直线被第三条直线所截，就第三条直线上的两个交点而言形成了“三线八角”为了便于记忆，同学们可仿照图用双手表示“三线八角”(两大拇指代表被截直线，食指代表截线)下
列三幅图依次表示( )
A．同位角、同旁内角、内错角B．同位角、内错角、同旁内角
C．同位角、对顶角、同旁内角D．同位角、内错角、对顶角
【答案】B
【详解】
解:根据同位角、内错角、同旁内角的概念,可知
第一个图是同位角,第二个图是内错角,第三个图是同旁内角.
所以B选项是正确的,
5．（2019·北碚区期末）如图，P是直线l外一点，A，B，C三点在直线l上，且PB⊥l于点B，∠APC＝90°，则下列结论：①线段AP是点A到直线PC的距离；②线段BP的长是点P到直线l的距离；③PA，PB，PC 三条线段中，PB最短；④线段PC的长是点P到直线l的距离，其中，正确的是( )
A．②③B．①②③C．③④D．①②③④
【答案】A
【详解】
①线段AP是点A到直线PC的距离，错误；
②线段BP的长是点P到直线l的距离，正确；
③P A，PB，PC三条线段中，PB最短，正确；
④线段PC的长是点P到直线l的距离，错误．
故选A．
6．（2019·中山市期末）如图，下列各组角中，互为对顶角的是（）
A．∠1和∠2 B．∠1和∠3 C．∠2和∠4 D．∠2和∠5
【答案】A
【详解】
观察图形可知互为对顶角的是：∠1和∠2，
故选A．
7．（2019·达州市期末）如图，直线a，b被直线c所截，那么∠1的同位角是（）
A．∠2 B．∠3 C．∠4 D．∠5
【答案】C
【解析】
由同位角的定义可知，∠1的同位角是∠4．
故选C．
8．（2019·泰安市期中）如图，直线AB、CD相交于点O，EO⊥CD，下列说法错误的是（）
A．∠AOD＝∠BOC B．∠AOE＋∠BOD＝90°
C．∠AOC＝∠AOE D．∠AOD＋∠BOD＝180°
【答案】C
【详解】
A、∠AOD与∠BOC是对顶角，所以∠AOD=∠BOC，此选项正确；
B、由EO⊥CD知∠DOE=90°，所以∠AOE+∠BOD=90°，此选项正确；
C、∠AOC与∠BOD是对顶角，所以∠AOC=∠BOD，此选项错误；
D、∠AOD与∠BOD是邻补角，所以∠AOD+∠BOD=180°，此选项正确；
故选C．
9．（2018·杭州市期末）如图，直线AD，BE 相交于点O，CO⊥AD 于点O，OF 平分∠BOC．若∠AOB=32°，则∠AOF 的度数为（）
A．29°B．30°C．31°D．32°【答案】A
【详解】
∵CO⊥AD 于点O，
∴∠AOC=90︒，
∵∠AOB=32︒，
∴∠BOC=122︒，
∵OF 平分∠BOC，
∴∠BOF=1
BOC61
2
∠=︒，
∴∠AOF=∠BOF-∠AOB=61︒-3229
︒=︒.
故选A.
10．（2018·唐山市期末）如图，直线AB、CD相交于点O，∠DOF=90°，OF平分∠AOE，若∠BOD=32°，则∠EOF的度数为（）
A．32°B．48°C．58°D．64°
【答案】C
【解析】
∵∠DOF=90°，∠BOD=32°，
∴∠AOF=90°-32°=58°，
∵OF平分∠AOE，
∴∠AOF=∠EOF=58°．
故选C．
二、填空题（共5小题）
11．（2019·安康市期中）如图，直线AB，CD交于点O，OE⊥AB，OD平分∠BOE，则∠AOC＝________.
【答案】45
【详解】
因为，直线AB，CD交于点O，OE⊥AB，
所以，BOE=∠90〬,
因为，OD平分∠BOE，
所以，∠BOD=1
2
∠BOE=45〬，
所以，∠AOC＝∠BOD=45〬
故答案为45
12．（2018·杭州市期末）如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠AOD，OF⊥OC，∠1与∠3的度数之比为3：4，则∠EOC=___________，∠2=_________．
【答案】153°54°
【详解】
∵OF⊥OC，∴∠DOF=∠COF=90°．
∵OE平分∠AOD，∴∠AOD=2∠1．
∵∠1与∠3的度数之比为3：4，∴∠AOD：∠3=3：2．
∵∠3+∠AOD=90°，∴∠3=36°，∠AOD=54°，∴∠2=∠AOD=54°，∠1
1
2
∠AOD=27°，∴∠EOC=180°－
∠1=180°－27°=153°．
故答案为：153°，54°．
13．（2020·长春市期末）如图，点A，B，C在直线l上，PB⊥l，PA=6cm，PB=5cm，PC=7cm，则点P到直线l的距离是_____cm.
【答案】5.
【详解】
解：∵PB⊥l，PB=5cm，
∴P到l的距离是垂线段PB的长度5cm，
故答案为：5．
14．（2018·深圳市期末）如图，直线AB，CD相交于O，OE平分∠AOD，FO⊥OD于O，∠1=40°，则∠2=_____度，∠4=_____度．
【答案】（1）50；（2）65．
【解析】
∵直线AB，CD相交于O，
∴∠1+∠COF+∠2=180°，∠AOD=∠BOC，
∵FO⊥OD于O，OE平分∠AOD，
∴∠COF=90°，∠4=1
2
∠AOD，
又∵∠1=40°，
∴∠2=180°-90°-40°=50°，∠BOC=40°+90°=130°，∴∠AOD=130°，
∴∠4=65°.
故答案为：（1）50；（2）65.
15．（2019·简阳市期末）如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥AB于点O，∠EOD=50°，则∠BOC的度数为_____．
【答案】140°
【解析】
∵直线AB，CD相交于点O，EO⊥AB于点O，
∴∠EOB=90°，
∵∠EOD=50°，
∴∠BOD=40°，
则∠BOC的度数为：180°-40°=140°．
故答案为：140°．
三、解答题（共2小题）
16．（2018·无锡市期末）如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分，，图中的余角是______把符合条件的角都填出来；
如果，那么根据______可得______度；
如果，求和的度数．
【答案】（1）∠BOC、∠AOD（2）对顶角相等，160（3）26°
【解析】
（1）图中∠AOF的余角是∠BOC、∠AOD（把符合条件的角都填出来）；
（2）如果∠AOC=160°，那么根据对顶角相等可得∠BOD=160度；
（3）∵OE平分∠AOD，
∴∠AOD=2∠1=64°，
∴∠2=∠AOD=64°，∠3=90°﹣64°=26°．
17．（2018·宁波市期末）如图，直线AB，CD相交于点O．OF平分∠AOE，OF⊥CD于点O．
(1)请直接写出图中所有与∠AOC相等的角：______.
(2)若∠AOD＝150°，求∠AOE的度数．
【答案】(1)∠BOD，∠DOE；(2)∠AOE＝120°．
【详解】
解：(1)∵直线AB，CD相交于点O，
∴∠AOC＝∠BOD，
∵OF平分∠AOE，
∴∠AOF＝∠EOF，
∵OF⊥CD，
∴∠COF＝∠DOF＝90°，
∴∠DOE＝∠AOC，
∴与∠AOD相等的角有∠BOD，∠DOE，
故答案为：∠BOD，∠DOE.
(2)∵OF⊥CD，
∴∠DOF＝90°，
∵∠AOD＝150°，
∴∠AOF＝60°，
∵OF平分∠AOE，
∴∠AOE＝2∠AOF＝120°．。