人教版数学高二A版选修4-5自主训练3.3排序不等式

自主广场
我夯基我达标
1.已知a,b,c ∈R +，则a 3+b 3+c 3与a 2b+b 2c+c 2a 的大小关系是( )
A.a 3+b 3+c 3>a 2b+b 2c+c 2a
B.a 3+b 3+c 3≥a 2b+b 2c+c 2a
C.a 3+b 3+c 3<a 2b+b 2c+c 2a
D.a 3+b 3+c 3≤a 2b+b 2c+c 2a
思路解析：根据排序原理，取两组数a,b,c;a 2,b 2,c 2,不妨设a≥b≥c,所以a 2≥b 2≥c 2.所以a 2×a+b 2×b+c 2×c≥a 2b+b 2c+c 2a.
答案：B
2.设a 1,a 2,…,a n 都是正数，b 1,b 2,…,b n 是a 1,a 2,…,a n 的任一排列，则a 1b 1-1+a 2b 2-1+…+a n b n -1的最小值是( )
A.1
B.n
C.n 2
D.无法确定
思路解析：设a 1≥a 2≥…≥a n >0.可知a n -1≥a n -1-1≥…≥a 1-1，由排序原理，得a 1b 1-1+a 2b 2-1+…+a n b n -1≥a a
11-1+a 2a 2-1+…+a n a n -1≥n. 答案：B
3.已知a,b,c ∈R +,则a 2(a 2-bc)+b 2(b 2-ac)+c 2(c 2-ab)的正负情况是( )
A.大于零
B.大于等于零
C.小于零
D.小于等于零
思路解析：设a≥b≥c>0， 所以a 3≥b 3≥c 3,根据排序原理，得a 3·a+b 3×b+c 3×c≥a 3b+b 3c+c 3a. 又知ab≥ac≥bc,a 2≥b 2≥c 2,所以a 3b+b 3c+c 3a≥a 2bc+b 2ca+c 2ab.∴a 4+b 4+c 4≥a 2bc+b 2ca+c 2ab. 即a 2(a 2-bc)+b 2(b 2-ac)+c 2(c 2-ab)≥0.
答案：B
4.已知a,b,c 都是正数，则
b
a c a c
b
c b a +++++≥__________. 思路解析：设a≥b≥c≥0，所以b
a a c c
b +≥+≥+111,由排序原理,知a
b a a
c c c b b b a c a c b c b a +++++≥+++++,① b
a b a c a c b c b a c a c b c b a +++++≥+++++,② ①+②，得2
3≥+++++b a c a c b c b a . 答案：23 5.设a,b,c 都是正数，求证：a+b+c≤abc
c b a 4
44++. 证明：由题意不妨设a≥b≥c>0.
由不等式的性质，知a 2≥b 2≥c 2,ab≥ac≥bc.
根据排序原理，得
a 2bc+a
b 2c+ab
c 2≤a 3c+b 3a+c 3b.①
又由不等式的性质，知a 3≥b 3≥c 3,且a≥b≥c.
再根据排序原理，得
a 3c+
b 3a+
c 3b≤a 4+b 4+c 4.②
由①②及不等式的传递性，得
a 2bc+a
b 2c+ab
c 2≤a 4+b 4+c 4.
两边同除以abc 得证不等式成立.
6.设a,b,c ∈R +,求证：a 1+b 1+c
1≤3338
88c b a c b a ++. 证明：设a≥b≥c>0. 由不等式的单调性，知c 1≥b 1≥a 1,而333333111b
a a c c
b ≥≥. 由不等式的性质，知a 5≥b 5≥
c 5.
根据排序原理，知
32
3232335335335335335335b
c a b c a c b c b a b a c a b a c a c b c b a ++=++≥+++. 又由不等式的性质，知a 2≥b 2≥c 2,333111c
b c ≥≥. 由排序原理，得c b a c
c b b a a b c a b c a 111323232323232++=++≥++. 由不等式的传递性，知
a 1+
b 1+
c 1≤3338883
35335335
c b a c b a b a c a c b c b a ++=++. ∴原不等式成立.
我综合我发展
7.设a,b,c 为某三角形三边长，求证：a 2(b+c-a)+b 2(c+a-b)+c 2(a+b-c)≤3abc. 证明：不妨设a≥b≥c.易证a(b+c-a)≤b(c+a -b)≤c(a+b -c).
根据排序原理，得
a 2(b+c-a)+
b 2(c+a-b)+
c 2(a+b-c)
≤a×b(c+a -b)+b×c(a+b-c)+c×a(b+c-a)≤3abc.
8.设x 1≥x 2≥…≥x n ,y 1≥y 2≥…≥y n .求证：∑=-n i i i y x
12)(≤∑=-n
i i i z x 12)( . 其中z 1,z 2,…,z n 是y 1,y 2, …,y n 的任意一个排列.
证明：要证∑∑==-≤-n i i i n i i i z x y x
121
2)()( 只需证∑∑∑∑====-+≤=+n i i i n i i i n i i i n i i i z x z x y x y x
112211
22
)2()()2()(. 只要证∑∑==≥n i i i
n
i i i z x y x 11.
由题设及排序原理知上式显然成立.
9.设a,b,c是正实数，求证：a a b b c c≥(abc)3c
b
a+
+
.
证明：不妨设a≥b≥c>0,则lga≥lgb≥lgc,据排序不等式，有alga+blgb+clgc≥blga+clgb+algc;
alga+blgb+clgc≥clga+algb+blgc.
且alga+blgb+clgc=alga+blgb+clgc,
以上三式相加整理,得3(alga+blgb+c lgc)≥(a+b+c)(lga+lgb+lgc),
即lg(a a b b c c)≥
3c
b
a+
+
·lg(abc).
故a a b b c c≥(abc)3c
b
a+
+
.。