《公式法》教案3

《公式法》教案2
教学目标
一、知识与技能
了解平方差公式、完全平方公式的特点，掌握平方差公式与完全平方公式的结构特征，会用提公因式法、平方差公式和完全平方公式将多项式因式分解。

二、过程与方法
培养学生的观察和联想能力，进一步了解换元的思想方法，通类比的方法，运用平方差公式与完全平方公式因式分解。

三、情感态度和价值观
积极参加探索活动，并在此过程中培养自己勇于挑战的勇气和战胜困难的自信心。

教学重点：
正确熟练地运用平方差公式与完全平方公式因式分解。

教学难点：
把多项式进行适当的变形，灵活运用平方差公式与完全平方公式因式分解。

教学方法：
采取引导发现法进行教学
课前准备：
多媒体课件
课时安排：
2课时
教学过程：
一、导入新课
在前两节课中我们学习了因式分解的定义，即把一个多项式分解成几个整式的积的形式，还学习了提公因式法分解因式，即在一个多项式中，若各项都含有相同的因式，即公因式，就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成几个因式乘积的形式．如果一个多项式的各项，不具备相同的因式，是否就不能分解因式了呢？当然不是，只要我们记住因式分解是多项式乘法的相反过程，就能利用这种关系找到新的因式分解的方法，本节课我们就来学习另外的一种因式分解的方法——公式法．
二、新课学习
（一）探究平方差公式因式分解
1．请看乘法公式：
（a+b ）（a －b ）=a 2－b 2（1）
左边是整式乘法，右边是一个多项式，把这个等式反过来就是：
a 2－
b 2=（a+b ）（a －b ）（2）
左边是一个多项式，右边是整式的乘积．大家判断一下，第二个式子从左边到右边是否是因式分解？
［生］符合因式分解的定义，因此是因式分解．
［师］对，是利用平方差公式进行的因式分解．第（1）个等式可以看作是整式乘法中的平方差公式，第（2）个等式可以看作是因式分解中的平方差公式．
2．公式讲解
［师］请大家观察式子a 2－b 2，找出它的特点．
［生］是一个二项式，每项都可以化成整式的平方，整体来看是两个整式的平方差． ［师］如果一个二项式，它能够化成两个整式的平方差，就可以用平方差公式分解因式，分解成两个整式的和与差的积．
如x 2－16=（x ）2－42=（x+4）（x －4）．
9m 2－4n 2=（3m ）2－（2n ）2=（3m +2n ）（3m －2n ）
3．例题讲解
［例1］把下列各式分解因式：
（1）25－16x 2； （2）9a 2－4
1b 2． ［例2］把下列各式分解因式： （1）9（m+n ）2－（m －n ）2
； （2）2x 3－8x ．
说明：例1是把一个多项式的两项都化成两个单项式的平方，利用平方差公式分解因式；例2的（1）是把一个二项式化成两个多项式的平方差，然后用平方差公式分解因式，例2的（2）是先提公因式，然后再用平方差公式分解因式，由此可知，当一个题中既要用提公因式法，又要用公式法分解因式时，首先要考虑提公因式法，再考虑公式法．
（二）探究完全平方公式因式分解
在前面我们不仅学习了平方差公式（a+b ）（a －b ）=a 2－b 2
而且还学习了完全平方公式（a±b）2=a 2±2ab+b 2
1．推导用完全平方公式分解因式的公式以及公式的特点．
［师］由因式分解和整式乘法的关系，大家能否猜想出用完全平方公式分解因式的公式呢？
［生］可以．
将完全平方公式倒写：
a2+2ab+b2=（a+b）2； a2－2ab+b2=（a－b）2．
便得到用完全平方公式分解因式的公式．
［师］很好．那么什么样的多项式才可以用这个公式分解因式呢？请大家互相交流，找出这个多项式的特点．
［生］从上面的式子来看，两个等式的左边都是三项，其中两项符号为“+”，是一个整式的平方，还有一项符号可“+”可“－”，它是那两项乘积的两倍．凡具备这些特点的三项式，就是一个二项式的完全平方，将它写成平方形式，便实现了因式分解．［师］左边的特点有（1）多项式是三项式；
（2）其中有两项同号，且此两项能写成两数或两式的平方和的形式；
（3）另一项是这两数或两式乘积的2倍．
右边的特点：这两数或两式和（差）的平方．
用语言叙述为：两个数的平方和，加上（或减去）这两数的乘积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方．
形如a2+2ab+b2或a2－2ab+b2的式子称为完全平方式．
由分解因式与整式乘法的关系可以看出，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做运用公式法．
2．例题讲解
［例3］把下列完全平方式分解因式：
（1）x2+14x+49；（2）（m+n）2－6（m+n）+9．
［师］分析：大家先把多项式化成符合完全平方公式特点的形式，然后再根据公式分解因式．公式中的a，b可以是单项式，也可以是多项式．
解：（1）x2+14x+49=x2+2×7x+72=（x+7）2
（2）（m+n）2－6（m +n）+9=（m+n）2－2（m+n）×3+32=［（m+n）－3］2=（m+n－3）2．［例4］把下列各式分解因式：
（1）3ax2+6axy+3ay2；（2）－x2－4y2+4xy．
［师］分析：对一个三项式，如果发现它不能直接用完全平方公式分解时，要仔细观察它是否有公因式，若有公因式应先提取公因式，再考虑用完全平方公式分解因式．如果三项中有两项能写成两数或式的平方，但符号不是“+”号时，可以先提取“－”号，然后再用完全平方公式分解因式．
解：（1）3ax2+6axy+3ay2=3a（x2+2xy+y2）=3a（x+y）2
（2）－x2－4y2+4xy=－（x2－4xy+4y2）=－［x2－2·x·2y+（2y）2］=－（x－2y）2三、结论总结
我们已学习过的因式分解方法有提公因式法和运用平方差公式法与完全平方公式法．如果多项式各项含有公因式，则第一步是提公因式，然后看是否符合平方差公式与完全平方公
式的结构特点，若符合则继续进行．第一步分解因式以后，所含的多项式还可以继续分解，则需要进一步分解因式，直到每个多项式都不能分解为止．
四、课堂练习
1、判断下列分解因式是否正确．
（1）(a+b)2－c 2=a 2+2ab+b 2－c 2． （2）a 4－1=（a 2）2－1=（a 2+1）（a 2－1）．
2、下列各式是不是完全平方式？
（1）a 2－4a+4； （2）x 2+4x+4y 2； （3）4a 2+2ab+
41b 2； （4）a 2－ab+b 2； （5）x 2－6x －9； （6）a 2+a+0.25
3、把下列各式分解因式．
（1）36（x+y ）2－49（x －y ）2；
（2）（x －1）+b2（1－x ）；
（3）（x2+x+1）2－1．
4、把下列各式分解因式：
（1）4a 2－4ab+b 2； （2）a 2b 2+8abc+16c 2
； （3）（x+y ）2
+6（x+y ）+9； （4）1442m －6mn +n 2； （5）4（2a+b ）2
－12（2a+b ）+9； （6）51x 2y －x 4－1002y 五、作业布置
P100习题 4.4、P103习题 4.5
六、板书设计
用公式法因式分解
一、定义：
利用乘法公式把某些多项式因式分解，这种因式分解的方法叫做公式法．
二、平方差公式：
(a+b)(a-b)=a 2-b 2
三、完全平方差公式：
a 2+2ab+
b 2 =(a+b)2；a 2-2ab+b 2 =(a-b)2。