大学物理-转动惯量讲义

大学物理-转动惯量讲义
一、基本概念
惯量是一个常用的物理量，在负载被加速或减速的过程中中，是一个非常重要的参数。

转动惯量又可以称为惯性矩，它的的定义是：物体每一质点的质量与这一质点到旋转中心轴线的距离的二次方的乘积的总和，其数学表达式为：
＝。

（1） 在伺服控制系统中，大多数的传动机构具有圆柱状构件，因此，下面介绍几种圆柱状物体的转动惯量的计算。

图（1）和（2）分别描述了围绕着中心轴线旋转的空心圆柱体和实心圆柱体。

J m r J 2
1
m 2r R
L
L
1
R 2
R
图（1）空心圆柱体图（2）实心圆柱体
（1）空心圆柱体的转动惯量计算公式为：
＝
（＋）[牛米秒2
]（2）
（2）实心圆柱体的转动惯量计算公式为：
＝
[牛米秒2
]（3）
对于己知重量为的物体，用（/）代替公式（2）和（3）中的，为重力加速度，我们可以分别得到： （1）空心圆柱体的转动惯量计算公式为：
＝
[牛米秒2
]（4）
（2）实心圆柱体的转动惯量计算公式为：
＝
[牛米秒2
]（5）
如果重量不知道，但知道旋转物体的体积和密度，则可用（/）代替公/式（2）和（3）中的，我们可以得到：
（1）空心圆柱体的转动惯量计算公式为：
＝
[牛米秒
2
]（6）
（2）实心圆柱体的转动惯量计算公式为：
＝
[牛米秒
2
]（7）
J 2
1m 21R 2
2R ••J 2
1
m 2R ••G G g m g J g
R R G 2)
(2
221+••J g
GR 22
••V γV γg m J )(24142R R g
L -γ
π••J 42R g
L γ
π••
二、计算 举例说明
1.换向器的惯性矩
＝[克厘米秒
2
]。

换向器的几何尺寸：
换向器的外径＝0.6[厘米]； 换向器的内径＝0.38[厘米]； 换向器的轴向长度＝0.5[厘米]。

在几何尺寸和材料已知的情况下，换向器的惯性矩为：
＝＝
＝＝4.079×[克厘米秒2
]，
式中，是换向器材料的平均比重，取≈7.5[克/厘米
3
]。

若惯性矩的单位采用[牛米秒2
]，则换向器的惯性矩为：
＝[牛米秒
2
]。

＝
＝
＝≈4.0×[牛米秒
2
]。

2.转轴部分的惯性矩
K J K J 81
.910)(322
44
-⨯-⨯K K Ki
K l D D γπ
••K D Ki D K l K J K J 81
.910)(322
44
-⨯-⨯K K Ki
K l D D γπ
81
.9105.75.0)38.06.0(322
4
4-⨯⨯⨯-⨯π
510-••K γK γ••K J K J 74
410)(32
-⨯-⨯K K Ki K l D D γπ
••K J 74410)(32
-⨯-⨯K K Ki K l D D γπ
744105.75.0)38.06.0(32
-⨯⨯⨯-⨯π
910-••sha J
＝[克厘米秒
2
]。

转轴的几何尺寸：
转轴的外径＝0.6[厘米]； 转轴的长度＝5.95[厘米]。

转轴部分的惯性矩为：
＝＝
＝＝3.76×[克厘米秒2
]，
式中，是转轴的比重，取≈7.8[克/厘米3
]。

若惯性矩的单位采用[牛米秒2
]，则转轴部分的惯性矩为：
＝[牛米秒
2
]。

＝
＝
＝＝3.689×[牛米秒
2
]。

3.电枢杯部分的惯性矩
＝
[克厘米秒
2
]。

电枢杯部分的几何尺寸： 电枢杯的外径＝1.96[厘米]； 电枢杯的内径＝1.846[厘米]；
sha J 81
.910322
4
-⨯⨯sha sha
sha l D γπ
••sha D sha l sha J sha J 81
.910322
4
-⨯⨯sha sha
sha l D γπ
81
.9108.795.53.0322
4
-⨯⨯⨯⨯π
510-••sha γsha γ••sha J sha J 74
1032
-⨯⨯sha sha sha l D γπ
••sha J 741032
-⨯⨯sha sha sha l D γπ
74108.795.53.032
-⨯⨯⨯⨯π
910-••cup J cup J 81
.910)(32
2
44
-⨯-⨯cup cup cupi
cupo
l D
D
γπ
••cupo D cupi D
电枢杯的轴向长度＝3.5[厘米]。

电枢杯部分的惯性矩为：
＝
＝
＝＝4.129×[克厘米秒2
]，
式中，是转轴的比重，取≈3.75[克/厘米3
]。

若惯性矩的单位采用[牛米秒2
]，则电枢杯部分的惯性矩
为：
＝[牛米秒
2
]。

＝
＝
＝＝4.057×[牛米秒2
]。

4.电枢杯支架部分的惯性矩
＝
[克厘米秒
2
]。

电枢杯支架部分的几何尺寸：
电枢杯支架部分的外径≈＝1.846[厘米]； 电枢杯支架部分的内径≈＝0.38[厘米]； 电枢杯支架部分的轴向长度≈0.3[厘米]。

电枢杯支架部分的惯性矩为：
＝
＝
cup l cup J cup J 81
.910)(32
2
44-⨯-⨯cup cup cupi
cupo
l D
D
γπ
81
.91075.3)846.196.1(322
4
4-⨯⨯-⨯π
310-••cup γcup γ••cup J cup J 74
410)(32
-⨯-⨯cup cup cupi cupo l D D γπ
••cup J 74410)(32
-⨯-⨯cup cup cupi cupo l D D γπ
81
.91075.3)846.196.1(322
4
4-⨯⨯-⨯π
710-••hol J hol J 81
.910)(32
2
44
-⨯-⨯hol hol holi
holo
l D
D
γπ
••holo D cupi D holo D Ki D hol l hol J hol J 81
.910)(32
2
44-⨯-⨯hol hol holi
holo
l D
D
γπ
＝＝6.26×[克厘米秒2
]，
式中，是电枢杯支架部分的比重，取≈1.8[克/厘米
3
]。

若惯性矩的单位采用[牛米秒2
]，则电枢杯支架部分的惯性矩为：
＝[牛米秒
2
]。

＝
＝
＝＝0.6×[牛米秒
2
]。

5转子的惯性矩
＝＋＋＋＝
＝4.079×＋3.76×＋4.129×＋6.26×＝ 4.8334×[克厘米秒2
]。

若惯性矩的单位采用[牛米秒2
]，则转子的惯性矩为：
＝4.0×＋3.689×＋4.057×＋0.6×＝
＝0.473×[牛米秒2
]。

三、测试
1.悬挂转子摆动法 （1）单钢丝扭转摆动法
用密度均匀的金属材料制成简单圆柱体的假转子，按下式计算其转动惯量：
81
.9108.13.0)38.0846.1(322
4
4-⨯⨯⨯-⨯π
410-••hol γhol γ••hol J hol J 74
410)(32
-⨯-⨯hol hol holi holo l D D γπ
••hol J 74410)(32
-⨯-⨯hol hol holi holo l D D γπ
744108.13.0)38.0846.1(32
-⨯⨯⨯-⨯π
710-••J J K J sha J cup J hol J 510-510-310-410-310-••••J J 910-910-710-710-610-••1J
＝
[公斤米2
]，（1）
式中，是假转子的质量，[公斤]；
是假转子的直径，[米]。

按图（3）所示，悬挂假转子。

然后,扭转300
，测量假转子往返摆动的次数和所需的时间，由此，计算假转子摆动周期的平均值：
＝
（2）
然后,以被测电动机的转子代替假转子，重复上述试验，测取和计算被测转子的摆动周期的平均值。

根据物理学中关于摆动周期的二次方与物体的转动惯量成正比的原理，可得：
1J 8
1
m 2D •m D N i t 1T 1T N
t 1
2T
＝，
式中，是假转子的转动惯量；
是被测转子的转动惯量； 是假转子摆动周期的平均值；
是被测转子摆动周期的平均值；
是悬挂用夹具的转动惯量。

故被测转子的转动惯量为：
＝（＋）－，（2）
当＜＜时，可以忽略不计。

（2）双钢丝扭转摆动法
按图（4）用双钢丝悬挂被测电动机的转子。

201J J J J ++2
1
22T T 1J 2J 1T 2T 0J 2J 2J 1J 0J 2
1
2
2T T 0J 0J 2J 0J l S
钢丝
钢丝
l
转子
图（4）双钢丝法测量转子的转动惯量
扭转转子，使其以轴线为中心摆动，扭转角应不大干100
，测取若干次摆动所需的时间。

然后，求其摆动周期的平均值，并测出转子的质量，细金属丝的长度，以及两条钢丝之间的距离，则转子转动惯量按下式计算：
＝
（2）
式中，是摆动周期的平均值，[秒]；
是钢丝之间的距离，[米]；
是钢丝的长度，[米]；
是被测转子的质量，[公斤]；
是重力加速度，[9.81米/秒2
]。

2.辅助摆锤法（钟摆法）
用质量尽可能小的臂杆将一个质量已知的辅助摆锤固定于被测电动机的轴伸端面的中心上，臂杆应与转轴中心线垂直，如图（5）所示。

当转轴上装有联轴器或皮带轮时，摆锤也可以固定在它们的上面。

对于具有换向器或集电环的电动机而言，应将全部电刷提起；对于永磁电动机而言，应在永磁体被充磁之前进行测试。

T m l S J J 2
22)4( mg l S T T S l m g
图（5）辅助摆锤法示意图
试验时，使摆锤自其静止位置偏转一个不大于1500的角度，放手任其摆动，以摆锤经过原静止位置的瞬间作为测量的起始点，测2或3摆动周期的总时间，然后，计算其
平均值，则被试电动机的转动惯量按下式计算：
＝（） 式中，是摆锤的质量，[公斤]；
是辅助摆锤重心到电动机转轴中心线的距离，[米]； 是重力加速度，[9.81米/秒2
] 是辅助摆锤摆动周期的平均值，[秒]。

此法适用于测定具有滚动轴承的电动机的转动惯量。

为了提高测量精确度，可选几个不同质量的摆锤重复进行测量，以便互相校核。

3.重物自由降落法
在被测电动机的轴伸端或固定在轴上的联轴器（或皮带轮）上绕若干圈细绳索,绳索的一端固定在轴伸或轮上，另一端系一重物，如图（6）所示。

J J m r r g T -2
24πm r g T m
b
图（6）重物自由降落法
当重物自由下落时，带动电动机的转子转动，准确记录重物下落的高度，及其相应的时间间隔，则可按下式计算
被测电动机的转动惯量：
＝（）（） 式中，是重物的质量，[公斤]；
是轴伸或轮的，[米]；
是重力加速度，[9.81米/秒2
]； 是重物下落的高度，[米]；
是重物下落的时间间隔，[秒]。

测量时，应尽可能使下落高度的值大一些。

对于有刷直流
h h t J J 4
1m 2b D 122 h gt h m h D g h h t
电动机及绕线转子异步电动机而言，应将全部电刷提起；对于永磁电动机而言，应在永磁体被充磁之前进行测试。

同时，要将轴承内的润滑油脂洗净，改用润滑油，以减少摩擦，提高测试精确度。

四、机械时间常数的计算
[秒]，
式中，＝[1/秒]； 是电动机的理想空载转速，[转/分]；
是电动机的起动力矩，[牛米]。

St M J T 0
ω=0ωπ
20n 0n st M •。