2016高考数学 1.2综合法与分析法课件 北师大版选修2-2
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∠ACB=90°,
∴BC⊥AC,又 SA⊥平面 ABC,
∴BC⊥SA,由于 SA∩AC=A,
∴BC⊥平面 SAC.故命题①正确,由已知推不出②③命题.
答案:①
4
5
1
2
3
4
5
4.已知 sin α 是 sin θ,cos θ 的等差中项,sin β 是 sin θ,cos θ 的等比中项.求
证:cos 4β-4cos 4α=3.
+ + +
即
+
+
>6.
三式相加得 + + + + + >6,
+ + +
+
+
>6.
1
2
2.分析法
从求证的结论出发,一步一步地探索保证前一个结论成立的充分条件,
直到归结为这个命题的条件,或者归结为定义、公理、定理等,我们把这种
思维方法称为分析法.
△ABC 的内角,这是一个隐含条件,明确表示出来是 A+B+C=π;a,b,c 成等比
数列转化为符号语言就是 b2=ac.此时,如果能把角和边统一起来,那么就可
以进一步寻找角和边之间的关系,进而判断三角形的形状,余弦定理正好可
满足要求.
证明:由 A,B,C 成等差数列,得 2B=A+C.
①
因为 A,B,C 为△ABC 的内角,
温馨提示
1.分析法思考起来比较自然,容易寻找到解题的思路和方法,但思路逆
行,叙述较烦琐.
2.用分析法证明题时,过程必须遵循分析法的模式,不要把结论当条件,
而条件成了要证明的结论.
3.分析法证明数学问题是“执果索因”,而综合法证明数学问题是
“由因索果”,两种方法对立统一,相辅相成,对较复杂问题往往先从结论进
只需证 BC⊥SA(因为 AB⊥BC).
由 SA⊥平面 ABC 可知,BC⊥SA.
所以 AF⊥SC.
探究一
探究二
探究三
点评
在分析法证明中,从结论出发的每一个步骤所得到的判断都是结论成
立的充分条件,最后一步归结到已被证明了的事实.因此,从最后一步可以倒
推回去,直到结论,但这个倒推过程可以省略.
探究一
“要证……只需证……”或用“⇐ ”.
探究一
探究二
探究三
典例提升 2
设 a>0,b>0 且 a≠b,求证:a3+b3>a2b+ab2.
思路分析:分析法是“执果索因”,一步步寻求上一步成立的充分条件.
探究一
探究二
探究三
证明:要证 a3+b3>a2b+ab2 成立,
只需证(a+b)(a2-ab+b2)>(a+b)ab 成立.
+
=1,
+
∴ + + 1 +
即
1
1
+
+ +
格式导致了逻辑错误.其证明的模式(步骤)以论证“若 A,则 B”为例:
要证命题 B 成立,只需证命题 B1 成立,只需证命题 B2 成立,……,只需证
A 成立.由已知 A 成立,故 B 必成立.
探究一
探究二
探究三
正确证法:要证不等式 3 + 6 < 4 + 5成立,
只需证 3+2 18+6<4+2 20+5 成立,
只需证明(a-c)2≥4(a-b)(b-c)成立,
由于 a-c=(a-b)+(b-c),因此,该不等式显然成立.
≥
4
.
-
探究一
探究二
探究三
典例提升 3
如图,SA⊥平面 ABC,AB⊥BC,过点 A 作 SB 的垂线,垂足为 E,过 E 作 SC
的垂线,垂足为 F.求证:AF⊥SC.
思路分析:本例所给的已知条件中,垂直关系较多,我们不容易确定如何
1-
=-lg
=-f(x),
1+
1-
∴f(-a)=-f(a)=-b.
答案:B
2
3
4
5
(
)
1
2
3
4
3.已知三棱锥 S-ABC 的三视图如图所示,在原三棱锥中给出下列命题:
①BC⊥平面 SAC;②平面 SBC⊥平面 SAB;③SB⊥AC.
其中命题正确的是
(填序号).
5
1
2
3
解析:由三视图知在三棱锥 S-ABC 中,底面 ABC 为直角三角形且
3.综合法从条件推出结论,较简洁地解决问题,但不便于思考.
1
2
做一做 1
已知 a,b,c 是不相等的正实数,试用综合法证明
证明:∵a,b,c 是不相等的正实数,
∴ 与 , 与 , 与 全不相等,
∴ + >2, + >2, + >2,
在证明中使用它们,因而用综合法比较困难.这时,可以从结论出发,逐步反
推,寻求使要证结论成立的充分条件.
探究一
探究二
探究三
证明:要证 AF⊥SC,
只需证 SC⊥平面 AEF,
只需证 AE⊥SC(因为 EF⊥SC),
只需证 AE⊥平面 SBC,
只需证 AE⊥BC(因为 AE⊥SB),
只需证 BC⊥平面 SAB,
同理 sin B>cos C,
sin C>cos A,
由①+②+③,得
sin A+sin B+sin C>cos A+cos B+cos C.
①
②
③
探究一
探究二
探究三
探究二分析法
分析法的思维特点是从结论出发,倒着分析,逐步逼近已知条件,分
析法的推理过程是寻找上一步成立的充分条件.常用的书面表达方式为
此式即分析中要证的等式,即原式得证.
3
4
5
1
方法二:∵△ABC 三个内角 A,B,C 成等差数列,
∴∠B=60°.
由余弦定理,有 b2=c2+a2-2cacos 60°,
得 c2+a2=ac+b2,
两边加 ab+bc 得 c(b+c)+a(a+b)=(a+b)(b+c),
两边除以(a+b)(b+c)得
=
1+cos4
.
2
∴cos 4β-4cos 4α=3.
1
2
5.△ABC 的三个内角 A,B,C 成等差数列,其对边分别为 a,b,c.
求证:(a+b)-1+(b+c)-1=3(a+b+c)-1.
证明:方法一:要证(a+b)-1+(b+c)-1=3(a+b+c)-1,
1
1
3
+
=
,
+ +
++
++ ++
即证
+
=3,
+
+
即证
+
=1,
+ +
只需证
即证 c(b+c)+a(a+b)=(a+b)(b+c),
即证 c2+a2=ac+b2.
∵△ABC 三个内角 A,B,C 成等差数列,∴∠B=60°.
由余弦定理,得 b2=c2+a2-2cacos 60°,
即 b2=c2+a2-ac,c2+a2=ac+b2,
探究一
探究二
探究三
探究三易错辨析
易错点:因不按分析法的格式证题而致误
典例提升 4
求证: 3 + 6 < 4 + 5.
错证:由不等式 3 + 6 < 4 + 5.
平方得 9+6 2<9+4 5.
即 3 2<2 5.
则 18<20.
因为 18<20,所以 3 + 6 < 4 + 5.
①
②
③
④
错因分析:由于上述分析证法的过程是①⇒ ②⇒ ③⇒ ④,因而上述书写
即证 18 < 20成立,
即证 18<20 成立.
由于 18<20 是成立的,故 3 + 6 < 4 + 5.
1Leabharlann 1.要证 a2+b2-1-a2b2≤0,只要证明(
A.2ab-1-a2b2≤0
2
B.a +b
2
4 +
-12
2
(+)
C.
2
4
≤0
-1-a2b2≤0
D.(a2-1)(b2-1)≥0
)
探究二
探究三
变式训练 3如图所示,在四面体 P-ABC 中,PA,PB,PC 两两垂直,
且 PH⊥底面 ABC 于 H.求证:H 是△ABC 的垂心.
探究一
探究二
探究三
证明:要证 H 是△ABC 的垂心,
只需证 BC⊥AH,且 AC⊥HB,
只需证 BC⊥平面 PHA,且 AC⊥平面 PHB,
只需证 BC⊥PH,且 BC⊥PA,AC⊥PH,且 AC⊥PB.
思路分析:考虑锐角三角形中三内角的特点,先构造角的不等式,再用函
数的单调性转化为三角函数的不等式.
探究一
探究二
探究三
π
2
π
2
证明:∵锐角三角形中,A+B> ,∴A> -B.
π
π
∴0<2-B<A<2.
又正弦函数在 0,
∴sin A>sin
π
-
2
π
2
上是增加的,
=cos B.
即 sin A>cos B,
∴ + >2, + >2, + >2.
∴ + + + + + >6,原命题得证.
+ + +
+
+
>6.
探究一
探究二
探究三
探究一综合法
综合法就是从已知条件出发,从“已知”过渡到“可知”,关键是充分
挖掘已知条件,合理地选择和利用相关公式、定理等.如果是几何问题,要注
意挖掘几何图形的性质,充分利用性质定理去推证.
典例提升 1
在△ABC 中,三个内角 A,B,C 对应的边分别为 a,b,c,且角 A,B,C 成等差
数列,边 a,b,c 成等比数列,求证:△ABC 为等边三角形.
探究一
探究二
探究三
思路分析:将 A,B,C 成等差数列转化为符号语言就是 2B=A+C,A,B,C 为
所以 A+B+C=π.
π
由①②,得 B= .
3
由 a,b,c 成等比数列,有 b2=ac.
由余弦定理及③,可得 b2=a2+c2-2accos B=a2+c2-ac.
再由④,得 a2+c2-ac=ac,即(a-c)2=0,因此 a=c,从而有 A=C.
π
3
由②③⑤,得 A=B=C= ,所以△ABC 为等边三角形.
行分析,寻求结论与条件、基础知识之间的关系,找到解决问题的思路,再利
用综合法证明,或者在证明时将两种方法交叉使用.
1
2
做一做 2
已知 a,b,c 是不相等的正实数,试用分析法证明
+ + +
+
+
>6,
只需证明 + + + + + >6,
证明:要证
∵a,b,c 是不相等的正实数,
②
③
④
⑤
探究一
探究二
探究三
点评
解决数学问题时,往往要先作语言的转换,如把文字语言转换成符号语
言,或把符号语言转换成图形语言等.还要通过细致的分析,把其中的隐含条
件明确表示出来.
探究一
探究二
探究三
变式训练 1已知△ABC 为锐角三角形,求证:sin A+sin B+sin
C>cos A+cos B+cos C.
探究二
探究三
变式训练 2已知 a>b>c,求证:-1 + -1 + -4 ≥0.
证明:由 a>b>c 得 a-b>0,b-c>0,a-c>0,要证原不等式成立,只需证明
1
1
+
-
-
≥
4
(-)+(-)
即可,左边通分得
-
(-)(-)
≥
4
-
,即证
-
(-)(-)
因为 PH⊥底面 ABC,所以 PH⊥BC,PH⊥AC 成立.
故只需证 BC⊥PA,且 AC⊥PB 即可.
探究一
探究二
探究三
只需证 PA⊥平面 PBC,PB⊥平面 PAC,
只需证 PA⊥PB,且 PA⊥PC,PB⊥PA,且 PB⊥PC.
因为 PA,PB,PC 两两垂直,上式显然成立.
所以原结论成立,即 H 是△ABC 的垂心.
一步一步地接近要证明的结论,直到完成命题的证明.我们把这样的思维方
法称为综合法.
温馨提示
1.综合法是一种由因索果的证明方法或者是说从题设到结论的逻辑推
理方法,有时也叫作由因导果法(执因索果)或顺推证法.
2.用 P 表示已知条件、已有的定义、公理、定理等,Q 表示所要证的结
论,则综合法可表示如下:
P⇒ Q1→Q1⇒ Q2→Q2⇒ Q3→…→Qn⇒ Q.
§1.2
综合法与分析法
学习目标
思维脉络
1.理解综合法证明题的思考过
程和推理特点,学会运用综合法证明
简单题目.
2.理解分析法证明题的思考过程和
推理特点,学会运用分析法证明简单
题目.
3.能区分综合法、分析法的推理特点,
以便正确选取适当方法进行数学命
题的证明.
1
2
1.综合法
从命题的条件出发,利用定义、公理、定理及运算法则,通过演绎推理,
又 a>0,b>0,∴a+b>0,
只需证 a2-ab+b2>ab 成立,
即证 a2-2ab+b2>0 成立,也就是要证(a-b)2>0 成立,
而由已知条件可知 a≠b,于是有 a-b≠0,
∴BC⊥AC,又 SA⊥平面 ABC,
∴BC⊥SA,由于 SA∩AC=A,
∴BC⊥平面 SAC.故命题①正确,由已知推不出②③命题.
答案:①
4
5
1
2
3
4
5
4.已知 sin α 是 sin θ,cos θ 的等差中项,sin β 是 sin θ,cos θ 的等比中项.求
证:cos 4β-4cos 4α=3.
+ + +
即
+
+
>6.
三式相加得 + + + + + >6,
+ + +
+
+
>6.
1
2
2.分析法
从求证的结论出发,一步一步地探索保证前一个结论成立的充分条件,
直到归结为这个命题的条件,或者归结为定义、公理、定理等,我们把这种
思维方法称为分析法.
△ABC 的内角,这是一个隐含条件,明确表示出来是 A+B+C=π;a,b,c 成等比
数列转化为符号语言就是 b2=ac.此时,如果能把角和边统一起来,那么就可
以进一步寻找角和边之间的关系,进而判断三角形的形状,余弦定理正好可
满足要求.
证明:由 A,B,C 成等差数列,得 2B=A+C.
①
因为 A,B,C 为△ABC 的内角,
温馨提示
1.分析法思考起来比较自然,容易寻找到解题的思路和方法,但思路逆
行,叙述较烦琐.
2.用分析法证明题时,过程必须遵循分析法的模式,不要把结论当条件,
而条件成了要证明的结论.
3.分析法证明数学问题是“执果索因”,而综合法证明数学问题是
“由因索果”,两种方法对立统一,相辅相成,对较复杂问题往往先从结论进
只需证 BC⊥SA(因为 AB⊥BC).
由 SA⊥平面 ABC 可知,BC⊥SA.
所以 AF⊥SC.
探究一
探究二
探究三
点评
在分析法证明中,从结论出发的每一个步骤所得到的判断都是结论成
立的充分条件,最后一步归结到已被证明了的事实.因此,从最后一步可以倒
推回去,直到结论,但这个倒推过程可以省略.
探究一
“要证……只需证……”或用“⇐ ”.
探究一
探究二
探究三
典例提升 2
设 a>0,b>0 且 a≠b,求证:a3+b3>a2b+ab2.
思路分析:分析法是“执果索因”,一步步寻求上一步成立的充分条件.
探究一
探究二
探究三
证明:要证 a3+b3>a2b+ab2 成立,
只需证(a+b)(a2-ab+b2)>(a+b)ab 成立.
+
=1,
+
∴ + + 1 +
即
1
1
+
+ +
格式导致了逻辑错误.其证明的模式(步骤)以论证“若 A,则 B”为例:
要证命题 B 成立,只需证命题 B1 成立,只需证命题 B2 成立,……,只需证
A 成立.由已知 A 成立,故 B 必成立.
探究一
探究二
探究三
正确证法:要证不等式 3 + 6 < 4 + 5成立,
只需证 3+2 18+6<4+2 20+5 成立,
只需证明(a-c)2≥4(a-b)(b-c)成立,
由于 a-c=(a-b)+(b-c),因此,该不等式显然成立.
≥
4
.
-
探究一
探究二
探究三
典例提升 3
如图,SA⊥平面 ABC,AB⊥BC,过点 A 作 SB 的垂线,垂足为 E,过 E 作 SC
的垂线,垂足为 F.求证:AF⊥SC.
思路分析:本例所给的已知条件中,垂直关系较多,我们不容易确定如何
1-
=-lg
=-f(x),
1+
1-
∴f(-a)=-f(a)=-b.
答案:B
2
3
4
5
(
)
1
2
3
4
3.已知三棱锥 S-ABC 的三视图如图所示,在原三棱锥中给出下列命题:
①BC⊥平面 SAC;②平面 SBC⊥平面 SAB;③SB⊥AC.
其中命题正确的是
(填序号).
5
1
2
3
解析:由三视图知在三棱锥 S-ABC 中,底面 ABC 为直角三角形且
3.综合法从条件推出结论,较简洁地解决问题,但不便于思考.
1
2
做一做 1
已知 a,b,c 是不相等的正实数,试用综合法证明
证明:∵a,b,c 是不相等的正实数,
∴ 与 , 与 , 与 全不相等,
∴ + >2, + >2, + >2,
在证明中使用它们,因而用综合法比较困难.这时,可以从结论出发,逐步反
推,寻求使要证结论成立的充分条件.
探究一
探究二
探究三
证明:要证 AF⊥SC,
只需证 SC⊥平面 AEF,
只需证 AE⊥SC(因为 EF⊥SC),
只需证 AE⊥平面 SBC,
只需证 AE⊥BC(因为 AE⊥SB),
只需证 BC⊥平面 SAB,
同理 sin B>cos C,
sin C>cos A,
由①+②+③,得
sin A+sin B+sin C>cos A+cos B+cos C.
①
②
③
探究一
探究二
探究三
探究二分析法
分析法的思维特点是从结论出发,倒着分析,逐步逼近已知条件,分
析法的推理过程是寻找上一步成立的充分条件.常用的书面表达方式为
此式即分析中要证的等式,即原式得证.
3
4
5
1
方法二:∵△ABC 三个内角 A,B,C 成等差数列,
∴∠B=60°.
由余弦定理,有 b2=c2+a2-2cacos 60°,
得 c2+a2=ac+b2,
两边加 ab+bc 得 c(b+c)+a(a+b)=(a+b)(b+c),
两边除以(a+b)(b+c)得
=
1+cos4
.
2
∴cos 4β-4cos 4α=3.
1
2
5.△ABC 的三个内角 A,B,C 成等差数列,其对边分别为 a,b,c.
求证:(a+b)-1+(b+c)-1=3(a+b+c)-1.
证明:方法一:要证(a+b)-1+(b+c)-1=3(a+b+c)-1,
1
1
3
+
=
,
+ +
++
++ ++
即证
+
=3,
+
+
即证
+
=1,
+ +
只需证
即证 c(b+c)+a(a+b)=(a+b)(b+c),
即证 c2+a2=ac+b2.
∵△ABC 三个内角 A,B,C 成等差数列,∴∠B=60°.
由余弦定理,得 b2=c2+a2-2cacos 60°,
即 b2=c2+a2-ac,c2+a2=ac+b2,
探究一
探究二
探究三
探究三易错辨析
易错点:因不按分析法的格式证题而致误
典例提升 4
求证: 3 + 6 < 4 + 5.
错证:由不等式 3 + 6 < 4 + 5.
平方得 9+6 2<9+4 5.
即 3 2<2 5.
则 18<20.
因为 18<20,所以 3 + 6 < 4 + 5.
①
②
③
④
错因分析:由于上述分析证法的过程是①⇒ ②⇒ ③⇒ ④,因而上述书写
即证 18 < 20成立,
即证 18<20 成立.
由于 18<20 是成立的,故 3 + 6 < 4 + 5.
1Leabharlann 1.要证 a2+b2-1-a2b2≤0,只要证明(
A.2ab-1-a2b2≤0
2
B.a +b
2
4 +
-12
2
(+)
C.
2
4
≤0
-1-a2b2≤0
D.(a2-1)(b2-1)≥0
)
探究二
探究三
变式训练 3如图所示,在四面体 P-ABC 中,PA,PB,PC 两两垂直,
且 PH⊥底面 ABC 于 H.求证:H 是△ABC 的垂心.
探究一
探究二
探究三
证明:要证 H 是△ABC 的垂心,
只需证 BC⊥AH,且 AC⊥HB,
只需证 BC⊥平面 PHA,且 AC⊥平面 PHB,
只需证 BC⊥PH,且 BC⊥PA,AC⊥PH,且 AC⊥PB.
思路分析:考虑锐角三角形中三内角的特点,先构造角的不等式,再用函
数的单调性转化为三角函数的不等式.
探究一
探究二
探究三
π
2
π
2
证明:∵锐角三角形中,A+B> ,∴A> -B.
π
π
∴0<2-B<A<2.
又正弦函数在 0,
∴sin A>sin
π
-
2
π
2
上是增加的,
=cos B.
即 sin A>cos B,
∴ + >2, + >2, + >2.
∴ + + + + + >6,原命题得证.
+ + +
+
+
>6.
探究一
探究二
探究三
探究一综合法
综合法就是从已知条件出发,从“已知”过渡到“可知”,关键是充分
挖掘已知条件,合理地选择和利用相关公式、定理等.如果是几何问题,要注
意挖掘几何图形的性质,充分利用性质定理去推证.
典例提升 1
在△ABC 中,三个内角 A,B,C 对应的边分别为 a,b,c,且角 A,B,C 成等差
数列,边 a,b,c 成等比数列,求证:△ABC 为等边三角形.
探究一
探究二
探究三
思路分析:将 A,B,C 成等差数列转化为符号语言就是 2B=A+C,A,B,C 为
所以 A+B+C=π.
π
由①②,得 B= .
3
由 a,b,c 成等比数列,有 b2=ac.
由余弦定理及③,可得 b2=a2+c2-2accos B=a2+c2-ac.
再由④,得 a2+c2-ac=ac,即(a-c)2=0,因此 a=c,从而有 A=C.
π
3
由②③⑤,得 A=B=C= ,所以△ABC 为等边三角形.
行分析,寻求结论与条件、基础知识之间的关系,找到解决问题的思路,再利
用综合法证明,或者在证明时将两种方法交叉使用.
1
2
做一做 2
已知 a,b,c 是不相等的正实数,试用分析法证明
+ + +
+
+
>6,
只需证明 + + + + + >6,
证明:要证
∵a,b,c 是不相等的正实数,
②
③
④
⑤
探究一
探究二
探究三
点评
解决数学问题时,往往要先作语言的转换,如把文字语言转换成符号语
言,或把符号语言转换成图形语言等.还要通过细致的分析,把其中的隐含条
件明确表示出来.
探究一
探究二
探究三
变式训练 1已知△ABC 为锐角三角形,求证:sin A+sin B+sin
C>cos A+cos B+cos C.
探究二
探究三
变式训练 2已知 a>b>c,求证:-1 + -1 + -4 ≥0.
证明:由 a>b>c 得 a-b>0,b-c>0,a-c>0,要证原不等式成立,只需证明
1
1
+
-
-
≥
4
(-)+(-)
即可,左边通分得
-
(-)(-)
≥
4
-
,即证
-
(-)(-)
因为 PH⊥底面 ABC,所以 PH⊥BC,PH⊥AC 成立.
故只需证 BC⊥PA,且 AC⊥PB 即可.
探究一
探究二
探究三
只需证 PA⊥平面 PBC,PB⊥平面 PAC,
只需证 PA⊥PB,且 PA⊥PC,PB⊥PA,且 PB⊥PC.
因为 PA,PB,PC 两两垂直,上式显然成立.
所以原结论成立,即 H 是△ABC 的垂心.
一步一步地接近要证明的结论,直到完成命题的证明.我们把这样的思维方
法称为综合法.
温馨提示
1.综合法是一种由因索果的证明方法或者是说从题设到结论的逻辑推
理方法,有时也叫作由因导果法(执因索果)或顺推证法.
2.用 P 表示已知条件、已有的定义、公理、定理等,Q 表示所要证的结
论,则综合法可表示如下:
P⇒ Q1→Q1⇒ Q2→Q2⇒ Q3→…→Qn⇒ Q.
§1.2
综合法与分析法
学习目标
思维脉络
1.理解综合法证明题的思考过
程和推理特点,学会运用综合法证明
简单题目.
2.理解分析法证明题的思考过程和
推理特点,学会运用分析法证明简单
题目.
3.能区分综合法、分析法的推理特点,
以便正确选取适当方法进行数学命
题的证明.
1
2
1.综合法
从命题的条件出发,利用定义、公理、定理及运算法则,通过演绎推理,
又 a>0,b>0,∴a+b>0,
只需证 a2-ab+b2>ab 成立,
即证 a2-2ab+b2>0 成立,也就是要证(a-b)2>0 成立,
而由已知条件可知 a≠b,于是有 a-b≠0,