贵阳市必修第二册第二单元《复数》测试题(含答案解析)

一、选择题
1．设i 为虚数单位，复数23i z i +=
，则z 的共轭复数为（ ） A ．32i - B ．32i +
C ．32i --
D ．32i -+ 2．复数z 满足5(3)2i z i ⋅+=－，则z 的虚部是（ ）
A ．12
B ．1
2－ C ．1
2i － D ．12
i 3．已知平面直角坐标系中O 是原点，向量OA ，OB 对应的复数分别为23i -，32i -+，那么向量BA 对应的复数是（ ）
A ．55i -+
B ．55i -
C ．55i +
D ．55i -- 4．若复数z 满足12z i i •=+，则z 的共轭复数的虚部为（ ） A ．i
B ．i -
C ．1-
D ．1 5．已知复数
，是z 的共轭复数，则= A ． B ． C ．1
D ．2 6．,A B 分别是复数12,z z 在复平面内对应的点，O 是原点，若1212z z z z +=-，则OAB ∆一定是
A ．等腰三角形
B ．等边三角形
C ．直角三角形
D ．等腰直角三角形 7．已知复数1z ﹑2z 满足()120z z r r -=>，复数,*(1)i i n n N ω≤≤∈满足1i z r ω-=或者2i z r ω-=，且i j r ωω-≥对任意1i j n ≤<≤成立，则正整数n 的最大值为（ ）
A ．6
B ．8
C ．10
D ．12
8．已知下列三个命题：①若复数z 1，z 2的模相等，则z 1，z 2是共轭复数；②z 1，z 2都是复数，若z 1+z 2是虚数，则z 1不是z 2的共轭复数；③复数z 是实数的充要条件是z z =.则其中正确命题的个数为( )
A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．3个
9．已知复数z 满足()15i z i -+＝，则z =（ ）
A ．23i +
B ．23i -
C ．32i +
D ．32i - 10．设3i z i +=
，i 是虚数单位，则z 的虚部为（ ） A ．1 B ．-1 C ．3 D ．-3
11．已知复数z 满足()12i z i -=+，则z 的共轭复数在复平面内对应的点在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限
12．设复数11i z i ，那么在复平面内复数1z -对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 二、填空题
13．若复数z 满足|3|1z i -+，则32z i +-（i 为虚数单位）的最小值为______． 14．已知(1,1)OP =，将OP 按逆时针方向旋转
3
π得到OZ ，则Z 点对应的复数为________. 15．已知i 为虚数单位，计算：132cos sin 233i i ππ⎛⎫⎡⎤⎛⎫+÷-= ⎪ ⎪⎢⎥ ⎪⎝
⎭⎣⎦⎝⎭_________. 16．复数1cos z i θ=+，2sin z i θ=-，则复数12z z -的模的最大值为________. 17．复数(1sin )(cos sin )z θθθ=++-i 是实数，[]0,2θπ∈则θ=______.
18．已知复数032z i =+，其中i 是虚数单位，复数z 满足003z z z z ⋅=+，则复数z 的模等于__________.
19．若复数214t z t i
+=-+在复平面内对应的点位于第四象限,则实数t 的取值范围是____. 20．如果复数z 的模不大于1，而z 的虚部的绝对值不小于，则复平面内复数z 的对应点组成图形的面积是___．
三、解答题
21．已知复数z 满足|z |5=z 的实部、虚部均为整数，且z 在复平面内对应的点位于第四象限.
（1）求复数z ；
（2）若()22m m n i z --=，求实数m ，n 的值.
22．设虚数z 满足2510z z +=+.
（1）求z 的值；
（2）若()12i z -在复平面上对应的点在第一、第三象限的角平分线上，求复数z . 23．当实数m 为何值时，复数()
22656z m m m m i =--+++分别是
（1）虚数；
（2）纯虚数；
（3）实数.
24．已知z 是纯虚数，并使得21z i +∈-R ，求z 25．已知复数z =22761
a a a -+-2(56)i a a +--，a R ∈．
（1）若复数z 为实数，求实数a 的值；
（2）若复数z 为虚数，求实数a 的取值范围；
（3）是否存在实数a ，使得复数z 为纯虚数？
26．已知关于x 的方程x 2+kx+k 2﹣2k=0有一个模为1的虚根，求实数k 的值．
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一、选择题
1．B
解析：B
【分析】
由题意首先由复数的运算法则求得z 的值，然后求解其共轭复数的值即可.
【详解】
22232323321
i i i i z i i i ++-====--，则32z i =+， 故选B .
【点睛】
本题主要考查复数的运算法则，共轭复数的概念与计算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
2．A
解析：A
【解析】
【分析】 通过5
(3)2i z i ⋅+=－计算出z ，从而得到z ，根据虚部的概念即可得结果.
【详解】 ∵5(3)2i z i ⋅+=－，∴()()()()5232211333322i i i i z i i i i i ----====-+++-， ∴1122z i =
+，即z 的虚部是12
，故选A. 【点睛】 本题主要考查了复数除法的运算，共轭复数的概念，复数的分类等，属于基础题. 3．B
解析：B
【分析】
由向量减法的坐标运算可得向量(5,5)BA OA OB =-=-，根据复数与复平面内的点一一对应，即可得结果.
【详解】
向量OA ，OB 对应的复数分别为23i -，32i -+，
根据复数与复平面内的点一一对应，
可得向量(2,3)OA =-，(3,2)OB =-．
由向量减法的坐标运算可得向量(5,5)BA OA OB =-=-，
根据复向量、复数与复平面内的点一一对应，
可得向量BA 对应的复数是55i -，故选B ．
【点睛】
解决复数与平面向量一一对应的题目时，一般以复数与复平面内的点一一对应为工具，实现复数、复平面内的点、向量之间的转化．
4．D
解析：D
【解析】
【分析】
利用复数的运算法则、共轭复数的定义、虚部的定义即可得出．
【详解】
12iz i =+，()12i iz i i ∴-⋅=-+，2z i =-+
则z 的共轭复数2z i =+的虚部为1．
故选D ． 【点睛】
本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义、虚部的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
5．A
解析：A
【分析】
利用复数除法化简
，再求出共轭复数，进而可得结果.
【详解】
，
，
， 故答案为：A.
【点睛】
复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理
解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.
6．C
解析：C
【解析】 因为1212z z z z +=-，所以22||OA OB OA OB OA OB OA OB +=-∴+=- , 因此0OA OB OA OB ⋅=∴⊥ ，即OAB 一定是直角三角形，选C. 7．C
解析：C
【分析】
用向量,OA OB 表示12,z z ，根据题意，可得OA OB BA r -==，因为1i z r ω-=或者2i z r ω-=，根据其几何意义可得i ω的终点的轨迹，且满足条件的终点个数即为n ，数形结合，即可得答案.
【详解】
用向量,OA OB 表示12,z z ，
因为()120z z r r -=>，所以OA OB BA r -==，
又,*(1)i i n n N ω≤≤∈满足1i z r ω-=或者2i z r ω-=，
则i ω可表示以O 为起点，终点在以A 为圆心，半径为r 的圆上的向量，或终点在以B 为圆心，半径为r 的圆上的向量，则终点可能的个数即为n ，
因为i j r ωω-≥，所以在同一个圆上的两个点，形成的最小圆心角为60︒，
如图所示，则最多有10个可能的终点，即n =10.
故选：C
【点睛】
解题的关键是根据所给条件的几何意义，得到i ω的终点轨迹，根据条件，数形结合，即可
得答案，考查分析理解，数形结合的能力，属中档题.
8．C
解析：C
【分析】
运用复数的模、共轭复数、虚数等知识对命题进行判断.
【详解】
对于①中复数1z 和2z 的模相等,例如1=1+z i ,2z ,则1z 和2z 是共轭复数是错误的;对于②1z 和2z 都是复数,若12+z z 是虚数,则其实部互为相反数,则1z 不是2z 的共轭复数,所以②是正确的;
对于③复数z 是实数,令z a =,则z a =所以z z =,反之当z z =时,亦有复数z 是实数,故复数z 是实数的充要条件是z z =是正确的.综上正确命题的个数是2个.
故选C
【点睛】
本题考查了复数的基本概念,判断命题是否正确需要熟练掌握基础知识,并能运用举例的方法进行判断,本题较为基础.
9．B
解析：B
【解析】
【分析】
根据复数的运算法则计算即可．
【详解】
()15i z i -+＝，
()()()()
51523111i i i z i i i i +-+∴===+++-， 2 3.z i ∴=-
故选B.
【点睛】
本题考查了复数的运算法则和共轭复数的概念，属于基础题
10．D
解析：D
【解析】
因为z=3i i
+13i =-∴z 的虚部为-3，选D. 11．D
解析：D
【解析】
()12i z i -=+，()()()()1i 1i 2+i 1i z ∴-+=+，13213i,i,
22z z =+=+13i,22z z =-的共轭复数在复平面内对应点坐标为13,22⎛⎫-
⎪⎝⎭
，z 的共轭复数在复平面内对应的点在第四象限，故选D. 12．C
解析：C
【分析】
先求出z i =-，11z i -=--，即得解.
【详解】 由题得21(1)21(1)(1)2
i i i z i i i i ---====-++-， 所以11z i -=--，它对应的点的坐标为(1,1)--，
所以在复平面内复数1z -对应的点位于第三象限.
故选：C
二、填空题
13．【分析】设由知点在以为圆心1为半径的圆上及圆的内部表示点与点的距离数形结合即可得到答案【详解】设由可得此式表示复平面上的点在以为圆心1为半径的圆上及圆的内部此式表示点与点的距离故所以的最小值为故答案
1
【分析】
设,,z a bi a b R =+∈，由||1z i +，知点(,)P a b 在以1)A -为圆心，1为半径
的圆上及圆的内部，2z i =
(,)P a b 与点(2)
B 的距离，数形结合即可得到答案.
【详解】
设,,z a bi a b R =+∈，由||1z i +可得22((1)1a b -++≤，此式表示复平面上
的点(,)P a b 在以1)A -为圆心，1为半径的圆上及圆的内部，
2z i =(,)P a b 与点(2)B 的距离，
故min 11PB AB =-==
1.
所以2z i +-1.
1
【点睛】
本题考查复数的几何意义，考查学生数形结合思想以及数学运算求解能力，是一道中档题.
14．【分析】写出P 点对应的复数为根据复数乘法的几何意义可写出Z 点对应的复数【详解】解：由题意得P 点对应的复数为由复数乘法的几何意义得：故填故答案为：【点睛】本题主要考查复数三角形式的几何意义属于基础题
解析：1122
i + 【分析】
写出P 点对应的复数为1i +，根据复数乘法的几何意义可写出Z 点对应的复数.
【详解】
解：由题意得，P 点对应的复数为1i +，
由复数乘法的几何意义得：
11(1)cos sin 3322z i i ππ+⎛⎫=+⋅+=+ ⎪⎝⎭
，
.
故答案为：
1122+. 【点睛】
本题主要考查复数三角形式的几何意义，属于基础题.
15．【分析】先把转化为再利用复数三角形式的除法运算法则即可求出答案
【详解】解：原式故答案为：【点睛】本题主要考查由复数的代数形式转化为复数三角形式以及复数三角形式的除法运算法则属于基础题
解析：144
-+ 【分析】
先把12+转化为cos sin 33i ππ+，再利用复数三角形式的除法运算法则即可求出答案. 【详解】 解：原式cos sin 2cos sin 3333i i π
πππ⎡⎤⎛
⎫⎛⎫=+÷⨯- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝
⎭⎣⎦ cos sin 2cos 3333i isin ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+÷-+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 1cos sin 23333i ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦
14=-+.
故答案为：144
-
+. 【点睛】 本题主要考查由复数的代数形式转化为复数三角形式以及复数三角形式的除法运算法则，属于基础题.
16．【分析】先求再求模将其转化为角度的函数从而求最大值【详解】由题意可得因为故的最大值为故答案为：【点睛】考查向量的减法模的计算以及函数的最大值属综合基础题
【分析】
先求12z z -，再求模，将其转化为角度的函数，从而求最大值.
【详解】
由题意可得12cos sin 2z z i θθ-=-+，
12z z -==，
因为45sin 26θ-，
故12z z -.
.
【点睛】
考查向量的减法、模的计算以及函数的最大值.属综合基础题.
17．或【解析】【分析】由复数的虚部为0求得再由的范围得答案【详解】是实数即又或故答案为：或【点睛】本题主要考查了复数的代数表示法实部虚部的概念利用三角函数求角属于中档题 解析：
4
π或54π. 【解析】
【分析】 由复数z 的虚部为0求得tan θ，再由θ的范围得答案.
【详解】
(1sin )(cos sin )z i θθθ=++-是实数，
cos sin 0θθ∴-=，即tan 1θ=，
又[0,2],θπ∈
4π
θ∴=或54
π， 故答案为：
4
π或54π 【点睛】
本题主要考查了复数的代数表示法，实部、虚部的概念，利用三角函数求角，属于中档题. 18．【分析】可设出复数z 通过复数相等建立方程组从而求得复数的模【详解】由题意可设由于所以因此解得因此复数的模为：【点睛】本题主要考查复数的四则运算相等的条件比较基础
【分析】
可设出复数z ，通过复数相等建立方程组，从而求得复数的模.
【详解】
由题意可设z a bi =+，由于003z z z z ⋅=+，所以 (32)(23)(33)(23)a b a b i a b i -++=+++，因此32332323a b a a b b -=+⎧⎨+=+⎩，解得132a b =⎧⎪⎨=-⎪⎩
，因此复数z
2
=
. 【点睛】
本题主要考查复数的四则运算，相等的条件，比较基础. 19．【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数再由复数在复平面内对应的点位于第四象限列出不等式组求解即可得结论【详解】在复平面内对应的点位于第四象限解得实数的取值范围是故答案为【点睛】复数是高考中的必 解析：()1,2-
【分析】
直接由复数代数形式的乘除运算化简复数z ，再由复数214t z t i
+=-+
在复平面内对应的点位于第四象限列出不等式组,求解即可得结论.
【详解】 ()()2
222i 114441i i i t t z t t t t ⎡⎤-++=-+=-+=--+⎢⎥-⎣⎦， 在复平面内对应的点位于第四象限,
24010t t ⎧->∴⎨--<⎩
，解得12t -<<， ∴实数t 的取值范围是()1,2-，故答案为()1,2-.
【点睛】
复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成
不必要的失分.
20．【解析】分析：先根据复数的模以及复数的虚部列不等式再根据扇形面积减去三角形面积得弓形面积详解：设则如图因此复平面内复数z 的对应点组成图形为两个弓形其面积为扇形面积减去三角形面积是点睛：本题重点考查复 解析：23-3π 【解析】
分析：先根据复数的模以及复数的虚部列不等式，再根据扇形面积减去三角形面积得弓形面积. 详解：设(,)z x yi x y R =+∈，则2211,2x y y +≤≥ ，如图,2.3
AOB π∠=
因此复平面内复数z 的对应点组成图形为两个弓形，其面积为扇形面积减去三角形面积是21212232(111sin )232332
πππ⨯⋅-⨯⨯⨯=- 点睛：本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如
()()()(),(,,.)++=-++∈a bi c di ac bd ad bc i a b c d R . 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b 22a b +(,)a b 、共轭为.-a bi
三、解答题
21．(1) 12z i =-或2i z =-.
(2) 3m =±，5n =.
【分析】
（1）利用已知条件，设出复数z ，通过225(,)a b a b +=∈Z 及所对点所在位置求出即可
复数z ；
（2）利用（1），结合复数的乘法运算求解m ，n 的值
【详解】
（1）设(,)z a bi a b =+∈Z ，则225(,)a b a b +=∈Z ，
因为z 在复平面内对应的点位于第四象限，所以0a >，0b <，
所以12a b =⎧⎨=-⎩或21a b =⎧⎨=-⎩
， 所以12z i =-或2i z =-.
（2）由（1）知12z i =-或2i z =-，
当12z i =-时，234z i =--；当2i z =-时234z i =-.
因为()22
m m n i z --=，所以234m m n =±⎧⎨-=⎩
，解得3m =±，5n =. 【点睛】 本题考查复数的模长公式，考查复数的乘法运算，考查计算能力，是基础题
22．（1）5；（2
）
22i -
或22-+. 【分析】
（1）设z x yi =+（x 、y R ∈，i 为虚数单位），根据条件2510z z +=+得出x 、y 所满足的关系式，从而可得出z 的值；
（2）将复数()12i z -表示为一般形式，然后由题意得出实部与虚部相等，并结合2225x y +=，求出x 、y 的值，即可得出复数z .
【详解】
（1）设z x yi =+（x 、y R ∈，i 为虚数单位），
则()25252z x yi +=++，()1010z x yi +=++， 由2510z z +=+
=2225x y +=，
因此，5z =
=； （2）()()()()()121222i z i x yi x y y x i -=-+=++-，
由于复数()12i z -在复平面上对应的点在第一、第三象限的角平分线上，则
22x y y x +=-，
所以22325y x x y =-⎧⎨+
=⎩
，解得x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪
⎩
x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
.
因此，i 22
z
=-
或22i -+. 【点睛】 本题考查复数模的计算，同时也考查了复数的几何意义，解题时要结合已知条件将复数表示为一般形式，考查运算求解能力，属于中等题.
23．（1）m≠-2且m≠ -3; （2）m=3； （3）m=-2或m=-3.
【分析】
由已知条件分别得到（1）虚数：得到 256m m ++≠0；（2）纯虚数：得到 26m m --＝0并且256m m ++≠0（3）实数；2 56m m ++=0；分别解之即可．
【详解】
复数()22656z m m m m i =--+++是：
（1）虚数：得到 256m m ++≠0，解得m≠-2且m≠ -3;
（2）纯虚数： 得到 26m m --＝0并且256m m ++≠0解得m=3
（3）实数：2 56m m ++=0解得m=-2或m=-3
故答案为m≠-2且m≠ -3; m=3； m=-2或m=-3.
【点睛】
本题考查了复数的基本概念；关键是由题意，得到复数的实部和虚部的性质．
24．-2i
【分析】
设()z bi b R =∈，代入
21z i +-进行化简，根据21z i
+-为实数，列方程，解方程求得b 的值，也即求得z .
【详解】 设()z bi b R =∈，代入21z i +-得()()()()
()212221112bi i b b i bi R i i i ++-+++==∈--+，所以20b +=，解得2b =-.所以2z i =-.
【点睛】
本小题主要考查复数除法运算，考查复数是纯虚数、实数的概念和运算，属于基础题. 25．（1）6；（2）(,1)
(1,1)(1,6)(6,)-∞--+∞；（3）不存在实数a 使得复数z
为纯虚数．
【分析】
根据z a bi =+为实数、虚数和纯虚数的条件，列方程，解方程求得a 的值.
【详解】
由于210a -≠，所以1a ≠±.
（1）当z 为实数时，2560a a --=，解得6a =.（2）当z 为虚数时2560a a --≠，结合1a ≠±可知，a 的取值范围是()()()(),11,11,66,-∞-⋃-⋃⋃+∞.（3）当z 为纯虚数时，2227601560a a a a a ⎧-+=⎪-⎨⎪--≠⎩，方程227601a a a -+=-解得6a =，2560a a --≠解得1a ≠-且6a ≠，两者没有公共元素，故不存在实数a 使得复数z 为纯虚数．
【点睛】
本小题主要考查复数z a bi =+是实数、虚数和纯虚数的条件，属于基础题.
26．1
【解析】
分析：设两根为1z 、2z ，则21=z z ， 21==1z z ，得12=1z z ⋅，利用韦达定理列方程可求得k 的值，结合判别式小于零即可得结果.
详解：由题意，得()222423800k k k k k k ∆=--=-+<⇒<或83
k >
， 设两根为1z 、2z ，则21=z z ， 21==1z z ，得12=1z z ⋅，
212=2z z k k ⋅- 221k k ⇒-= 1211k k ⇒==．
所以1k =
点睛：本题考查复数代数形式乘除运算，韦达定理的使用，实系数方程有虚数根的条件，共轭复数的性质、共轭复数的模，意在考查基础知识的掌握与综合应用，属于中档题.。