广东省高州市第一中学2015-2016学年高一数学下学期期中试题 文

2016年高州一中高一期中考试（文科数学）
一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分。

在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的。

1．某校高中生共有4500人，其中高一年级1000人，高二年级1500人，高三年级2000人，现采用分层抽样抽取一个容量为225的样本，则高一、高二、高三各年级抽取人数分别为（ ） A. 25, 75, 125 B. 75, 75, 75 C. 25, 50, 150 D. 50, 75 ,100
2．某一考点有64个试室，试室编号为064~001，现根据试室号，采用系统抽样的方法，抽取8个试室进行监控抽查，已抽看了005试室号，则下列可能被抽到的试室号是( ) A ．051 B ．052 C ．053 D ．055 3．投掷两枚骰子，则点数之和是6的概率为（ ）
A ．
536 B ．16 C ．215 D ．112
4．已知角的终边过点P （3，-4），则sin cos ∂+∂=（
A.
35 B. 45- C. 15 D. 15
- 5．19
sin()6
π-
的值等于（ ） A.
12 B. 12- C. 22
- 6．执行如图所示的程序框图，若输入A 的值为2，则输出P 的值为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 7．已知tan 2x =-，
，则cos x =（ ）
A C ． D ． 8．已知MA=(-2,4)，MB=(2,6)，则
1
AB 2
=（ ） A. （0，5） B. （2，1） C. （2，5） D.（0，1）
9．在平面区域00x y x y ⎧≥⎪≥⎨⎪
+≤⎩内随机取一点，则所取的点恰好落在圆22
1x y +=内的概率是
A ．2π
B ．4π
C ．8
π
D ．16π
10．已知变量x y 与正相关，且由观测数据算得样本平均数3, 3.5x y ==，则由该观测的数据算得
的线性回归方程可能（ ）
A. 0.4 2.3y x =+
B. 2 2.4y x =-
C.
29.5y x =-+ D. 0.3 4.4y x =-+
11．已知
()sin(2)4
f x x π
=+，则下列结论正确的是（ ）
A. 函数()f x 的最小正周期为2π
B. 函数
()f x 的图象关于点(,0)4π
对称
C. 函数()f x 的图象向右平移8
π
个单位长度可以得到sin 2y x =的图象
D. 函数()f x 在区间5(,)88
ππ
上单调递增
12．在△ABC 中，已知，则
=（ ）
A ．1322A
B A
C -
+ B ．13
22AB AC + C ．1233AB AC + D ．12
33
AB AC -
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填写在相应的横线上。

13．一间公司的12名员工月薪如下表所示，公司薪金的中位数为_______, 众数为_______.
14．从1，2，3，6这四个表中一次随机地取2个数，则所取两个数的乘积为6的概率为_______. 15．已知向量a ，b 的夹角为120︒，2a =，2b =，则a b +=_______.
16．将函数2sin(4)16
y x π
=-
-图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再将所得
图象沿x 轴向左平移
个单位得到函数g （x ）的图象，则g （x ）=_______.
三、解答题：解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分10分）
已知直线l ：30x my +-=，圆C ：22(2)(y 3)9x -+-=．
（1）若直线l 与圆相切，求m 的值；
（2）当m=﹣2时，直线l 与圆C 交于点E 、F ，O 为原点，求△EOF 的面积．
18.（本小题满分12分）
某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出7名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩（满分100分）的茎叶图如图，其中甲班学生的平均分是85．
（I ） 计算甲班7位学生成绩的方差2
s ；
（II ）从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，求甲班至少有一名学生的概率． 参考公式： 方差()(
)()
2222
121n s x x x x x x n ⎡
⎤=-+-+⋅⋅⋅+-⎢
⎥⎣⎦，
其中12n
x x x x n
++
+=．
19．（本小题满分12分）
20名学生某次数学考试成绩(单位：分)的频率分布直方图如图． (1)求频率分布直方图中a 的值；
(2)分别求出成绩落在[50，60)与[60，70)中的学生人数；
(3)从成绩在[50，70)的学生中任选2人，求此2人的成绩都在[60，70)中的概率．
20．（本小题满分12分）
随着我国经济的发展，居民的储蓄存款逐年增长.设某地区城乡居民人民币储蓄存款（年底余额）如下表：
(Ⅰ)求y 关于x 的回归方程ˆˆˆy
bx a =
+ （Ⅱ）用所求回归方程预测该地区第6年的人民币储蓄存款.
附：回归方程ˆˆˆy bx a =+中122
1,.n
i i i n i
i x y nx y b x nx a y bx ==⎧
-⎪
⎪=⎪⎨-⎪⎪
=-⎪⎩
∑∑
21．（本小题满分12分）
甲 乙
8 9 7 6
8 1 1 3 9
1 1 6
0 x 5 2
6
已知函数1)4
2sin(2)(++
=πx x f
（Ⅰ）求()f x 最小正周期和单调递增区间； （Ⅱ）求()f x 在区间[0,]2
π上的最大值和最小值.
22．（本小题满分12分）
已知函数
()sin()f x wx ϕ=+(0,0)w ϕπ><<的最小正周期为2
π
，图象过点(0,1)P ．
（Ⅰ）求函数
()f x 的解析式；
（Ⅱ）若函数()y g x =的图象是由函数()y f x =的图象上所有的点向左平行移动6
π
个单位长度而得到，且()g x 在区间()0,m 内是单调函数，求实数m 的最大值．
2016年高州一中高一期中考试答案（文科数学）
一、选择题
二、填空题
13．1200；1250； 14．1
3
; 15．2; 16．2sin 21y x =- 三、解答题
17．解：圆C 的圆心C （2，﹣3），r=3． （13=，∴m=．
（2）当m=﹣2时，直线l ：x ﹣2y ﹣3=0， C 到直线l 的距离d ==，
∴|EF|=2
=4．
O 到直线l 的距离为h=
．
∴△EOF 的面积为S=×4×
=
．
18．解（I ）∵甲班学生的平均分是85，
∴
92968080857978
857
x +++++++=．………1分
∴5x =． ………… 3分
则甲班7位学生成绩的方差为
2
s ()()()22222221675007117⎡
⎤=
-+-+-++++⎢
⎥⎣⎦40=… 6分 （II ）甲班成绩在90分以上的学生有两名，分别记为,A B ， …… 7分 乙班成绩在90分以上的学生有三名，分别记为,,C D E ． … 8分
从这五名学生任意抽取两名学生共有10种情况：()()(),,,,,,A B A C A D ()()()()()()(),,,,,,,,,,,,,A E B C B D B E C D C E D E ． ………9分 其中甲班至少有一名学生共有7种情况：
()()(),,,,,,A B A C A D ()()()(),,,,,,,A E B C B D B E ． …………10分
记“甲班至少有一名学生”为事件M ，则()7
10
P M =
，成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，甲校至少有一名学生的概率为710
．
19．解：(1)据直方图知组距为10，由
(2a ＋3a ＋7a ＋6a ＋2a )×10＝1，
解得a ＝1
200
＝0.005.
(2)成绩落在[50，60)中的学生人数为2×0.005×10×20＝2. 成绩落在[60，70)中的学生人数为3×0.005×10×20＝3.
(3)记成绩落在[50，60)中的2人为A 1，A 2，成绩落在[60，70)中的3人为B 1，B 2，B 3，则从成绩在[50，70)的学生中任选2人的基本事件共有10个，即(A 1，A 2)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，B 3)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，B 3)，(B 1，B 2)，(B 1，B 3)，(B 2，B 3)．
其中2人的成绩都在[60，70)中的基本事件有3个，即(B 1，B 2)，(B 1，B 3)，(B 2，B 3)．
故所求概率为P ＝3
10.
20. 试题解析： (1)1536
5,3,7.255
n x y ==
=== 12
2222222
21
15263748510537.212(12345)553555310n
i i i n
i i x y nx y x nx ==-=?????创=-=++++-?-?åå
从而12ˆˆˆ1.2,7.2 1.23 3.610
b
a
y bx ===-=-?. 故所求回归方程为ˆ 1.2 3.6y x =+. (2)将6x =代入回归方程可预测该地第6年的人民币储蓄存款为ˆ 1.26 3.610.8().y
=?=千亿元
21
．解（Ⅰ）因为())14
f x x π
=
++
所以函数)(x f 的最小正周期为ππ
＝＝
2
2T . 由222,()2
4
2k x k k z π
π
π
ππ-
≤+
≤+
∈，得单调递增区间为3,,88k k k z ππππ⎡
⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ （Ⅱ）由1)4
2sin(2)(++
=π
x x f
当]2,
0[π
∈x 时，]4
5,4[42πππ
∈+
x
由正弦函数x y sin =在]4
5,4[π
π上的图象知， 当2
4
2π
π
=
+
x ，即8
π
=
x 时，)(x f 取最大值12+；
当454
2ππ
=
+
x ，即4
π
=x 时，)(x f 取最小值0. 综上，)(x f 在[0,]2
π上的最大值为12+，最小值为0.
22．解（Ⅰ）因为()f x 的最小正周期是2π，所以
2T ωπ
=
，得4ω=． ……2分 所以()sin(4)f x x ϕ=+．
又因为()f x 的图象过点(0,1)P ，所以
2()
2
k k ϕπ=π+∈Z ，
因为0ϕ<<π，所以
2ϕπ
=
． ………………………………5分
所以
()sin(4)
2f x x π
=+，即()cos 4f x x =． …………………………………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知()cos 4f x x =，由题设可得
2()cos(4)
3g x x π
=+
．…8分
因为(0,)x m ∈，所以
2224(,4)333x m πππ+
∈+，…………………10分
要使函数()g x 在区间(0,)m 内是单调函数，
只有243m π+≤π，所以12m π
≤
． 因此实数m 的最大值为12π
．。