广东深圳中学高中数学必修一导学案24.函数不等式

广东深圳中学高中数学必修一导学案24.函数不等式
24．函数与不等式
郝变花 学习目标
1．体会函数与方程、不等式之间的联系，初步掌握函数与方程思想在不等式问题中的应用． 2．重点掌握函数知识在比较大小、研究不等式解集、探讨含参系数不等式能否成立问题、证明不等式问题中的应用．
3．注意体会和总结函数思想、数形结合思想、等价转化思想在本讲中的应用． 一、夯实基础 基础达标
1．()f x 的值域为[]13-，，且存在实数0
x x =，使得()0
f x λ>，
则实数λ的取值范围是（ ）． A ．[)13-， B ．(]13-， C ．()3-∞， D ．()1-∞-， 2．如果
()1101x f x x ⎧⎪=⎨
>⎪⎩，，，，
≤那么
()2f f =
⎡⎤⎣⎦______；不等式
()1
212
f x -≥
的解集是_____．
3．已知函数()2020x x f x x x +⎧=⎨
-+>⎩
，，
，，
≤则不等式()2
f x x ≥的解集是（ ）．
A ．[]11-，
B ．[]22-，
C ．[]21-，
D ．[]12-，
4．设a ，b ，c 均为正数，且12
2log a
a
=，
12
1log 2b
b ⎛⎫
= ⎪⎝⎭，
21log 2c
c ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
，
则（ ）．
A ．a b c <<
B ．c b a <<
C ．c a b <<
D ．b a c << 5．若不等式2
log 0
a x x -<在102x ⎛⎫
∈ ⎪⎝
⎭，范围内恒成立，求a 的范围． 二、学习指引 自主探究
1．设()y f x =，x D ∈是一个函数，我们知道方程()0f x =的解的集合就是函数()y f x =，x D ∈图象与x 轴交点的横坐标的集合，也就是函数()y f x =，x D ∈零点的集合，那么不等式()0f x >或()0f x <的解集与函数()y f x =，x D ∈有何关系呢？
2．设()f x ，()g x 是两个函数，我们知道方程()()f x g x =的解的集合就是函数()f x ，()g x 图象交点的横坐标的集合，那么不等式()()f x g x >的解集与函数()f x ，()g x 有何关系呢？
3．根据上述两个问题的观点，研究一元二次不等式2
0ax
bx c ++>()
0<与二次函数()2
f x ax
bx c
=++的关系．
令()2
f x ax
bx c
=++，重点研究0a >情况．
对于0a <情况如何处理？ 4．（1）二次不等式2
ax bx c ++<在R 上恒成立，系数应
满足什么条件？ （2）二次不等式2
ax bx c ++>解集为()m n ，，系数应满足
什么条件？
5．我们已经知道，定义在D 上的函数()f x 最小值为
m
，则
()f x C
>对一切x D ∈恒成立m C ⇔>．
我们类比得到如下结论：
设()f x ，()g x 都是定义在D 上的函数，则
()()
f x
g x >对一切x D ∈恒成立()
()min
max
f x
g x ⇔>．
以上结论正确吗？如果正确，请证明：如果不正确，请思考：①有无可能从一侧推出另一侧；②给出“()()f x g x >恒成立”的等价条件．
6．设()f x ，()g x 都是定义在D 上的函数，λ是待定常数．
（1）存在x ∈D ，使得()()f x g x λ>+，λ的取值应满足什么要求？
（2）在在1
x ，2
x ∈D ，使得()()12
f x
g x λ>+，λ的取值应满
足什么要求？ 案例分析 1．不等式()2
3ln 0
x x x +--<的解集为__________．
【解析】因为函数()ln f x x x =+是定义在()0+∞，的增函数，
所以()()()()()
2
3
2
3ln 02ln 3ln x
x x x x x x +--<⇔-+-<-+-
()()()()()()223323ln ln x x x x f x f x ⎡⎤⎡⎤
⇔-+-<-+-⇔-<-⎣⎦⎣⎦
()()
()23
20
01
10x x x x x x ≠⎧⎪⇔<-<-⇔⇔<-⎨+<⎪⎩
故不等式()2
3ln x
x x +--<
的解集为()1-∞-，．
2．已知()()
2
0f x ax
bx c a =++<，()10f -=，()20f >，有下列结论：
①0a b +>； ②0a c +>； ③0a b c --<． 其中正确的结论序号为__________．
【解析】由0a <，可知函数()f x 的图象是开口向下的抛物线．
又()10f -=，()20f >，所以
0a b c -+=，()()100f f c >=>，02b
a ->． 所以0
b >，0a
c b +=>，0a b c --<，
a b c c a b ++>⇔+>．
所以答案为①②③
说明：本题考查同学们对二次函数性质和图象的理解，特别是函数的零点、图象的对称轴、图象在y 轴上的截距等的特性．请同学们注意综合考虑条件，由条件推出尽可能多的函数性质，例如由条件可知函数的另一个零点大于2，对称轴在0x =．5的右边等．
3．已知122P ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
，
，函数()()
2
2
log 22F x ax x =-+的定义域为Q ．
（1）若P
Q ≠∅
，求实数a 的取值范围；
（2）若方程()2F x =在122⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
，内有解，求实数a 的取值范围． 【解析】（1）P Q ≠∅
，则在122⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
，内至少有一个值x ，使2
220
ax
x -+>成立，即在122⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
，内至少有一个值x ，使得222
a x x
>-
+成立．
设
()222
f x x x
=-+
，则
()2
111
222
f x x ⎛⎫=--+
⎪⎝⎭，
当122x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，1122x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，则()f x 在122⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
，上是单调增函数， 所以当2x =时，()
max
12
f x =
；所以当12
x =时，()
min
4
f x =-，
即()f x 的值域是142⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
，， 所以4a >-时，P
Q ≠∅
．
（2）若方程()2
2
log 222
ax x -+=在122⎡⎤⎢⎥⎣⎦，内有解，则在122⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
，内有解2
224
ax
x -+=，
在122⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
，内至少有一个值x ，使得2
22a x x =+成立． 设
()2
222111
222
g x x x x ⎛⎫=+=+-
⎪⎝⎭，可证()y g x =在122⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
，上是减函数， 所以()
()min
3
22
g x g ==
，()
max
1122g x g ⎛⎫== ⎪⎝⎭
；
当122x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，1122x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，则()f x 在122⎡⎤
⎢⎥⎣⎦，上是单调增函数， 所以3122a ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，
时，()2
2
log 222
ax x -+=在122⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
，
内有解． 点评：解答本题的关键是利用函数与方程的思想对原命题进行等价转化．一个看似函数性质讨论的问题被等价转化为不等式有解问题，而一个看似方程解的讨论问题又被转化为求不含参系数函数值域的问题．同学们应从本问题的解法中获得思维的启迪． 4．已知01a b <<<，
（1）试比较b
a 与a
b 的大小；
（2）利用（1），研究函数()ln x f x x =，()01x ∈，的单调性．
【解析】（1）引入中间量a
a ，
对于b
a 和a
a ，由于指数函数x
y a =在R 上单调递减，所
以有b
a
a a <；
对于a b 和a
a ，由于幂函数a
y x =在()0+∞，上单调递增，所
以有a
a
b
a >，于是我 们有b
a
a
b <．
（2）任取1
x ，()2
01x ∈，，且12
x x <，则由（1）知道2
1
1
2
x x x
x <，
两边取自然对数，有2
1
122112
ln ln ln ln x x x
x x x x x <⇔<
()()12
1212
ln ln x x f x f x x x ⇔
<⇔<，
所以函数()ln x f x x =，()01x ∈，单调递增． 三、能力提升 能力闯关
1．（1）已知关于x 的不等式2
266a a x x
->-的解集中恰有
三个整数，则实数a 的取值范围__________．
（2）若关于x 的不等式()2
2
21x ax -<的解集中的整数恰
有3个，则实数a 的取值范围是__________．
2．（1）不等式()2
4420
x a x a +-+->对任意[]11a ∈-，恒成立，
求x 的范围． （2）已知函数(
)()2log
2a
f x a ⎤
=⎦
对任意116
x ⎡⎫
∈+∞⎪⎢⎣⎭
，都有意义，求实数a 的取值范围．
3．已知函数()f x 和()g x 的图象关于原点对称，且
()22f x x x
=+．
（1）求函数()g x 的解析式； （2）解不等式()()1g x f x x --≥． 拓展迁移
1．（1）（2011年天津）对实数a 与b ，定义新运算
“⊗”：11.
a a
b a b b a b -⎧⊗=⎨
->⎩
，，
，≤设函数()()()
2
22f x x x x =-⊗-，x R ∈．若
函数()y f x c =-的图像与x 轴恰有两个公共点，则实数c 的取值范围是（ ）． A ．(]
3212⎛
⎫-∞-- ⎪
⎝
⎭，， B ．(]
3214⎛
⎫-∞--- ⎪
⎝
⎭，，
C ．1144⎛⎫
⎛⎫
-∞+∞ ⎪
⎪⎝
⎭⎝⎭
，， D ．31144⎛⎫
⎡⎫--+∞ ⎪
⎪⎢⎝
⎭⎣⎭
，，
（2）若函数()1
24
min 3log
log f x x x ⎧⎫
=+⎨⎬
⎩
⎭
，，其中{}min p q ，表示p ，
q
两者中的较小者，则()2f x <的解集为（ ）．
A ．()04，
B ．()0+∞，
C ．()
()044+∞，，
D ．14⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
， 2．设定义在(]3-∞，上的减函数()f x 满足()()
2
22f a x f a x -+-≤对于[]11x ∈-，恒成立，求实数a 的取值范围．
挑战极限
1．解决下列问题： （1）解不等式
()
33
8
10
501
1x x x x +
-->++．
（2）已知函数ln y x x =-在[)1+∞，上是增函数，*n ∈N ，求证：()ln 1ln 1n n +<+．
课程小结
1．不等式在生产实践和相关学科的学习中应用广泛，又是学习高等数学的重要工具，所以不等式知识是高中数学的重要内容，尤其是解不等式知识，应用更是频繁，如求函数的定义域、值域及求变量取值范围问题等．
2．不等式问题往往与函数概念、图象、性质密切联系，某些解不等式问题如果用纯代数方法不易求解时，可考虑引入函数，从函数性质或函数图象角度研究不等式解集．
3．研究含参数不等式能否成立问题时，可考虑使用“分离参数”这种思维方法，我们称为“分离参数法”，其思维要点是将参变数与主变量分离于表达式的两边，然后根据主变量的取值范围决定参变数的取值范围，这种方法可避免复杂的分类讨论，使问题得到时简单明快的解决，其中渗透的思想方法是“等价转化思想”，即把不等工中恒成立问题转化为求函数的最值问题．
4．构造函数，利用函数的单调性或函数最值是解决比较实数大小、证明不等式问题中常用的方法．
24．函数与不等式
基础达标
1．C ．【解析】存在实数0
x x =，使得()0
f x λ>，等价于
函数()f x 至少有一个函数值大于λ，这意味着函数
()
f x 图象上至少存在一点落在直线y λ=上方，所以函
数()f x 图象的最高点必在直线y λ=上方，即()max
3f x λ=>，
选C ．2．1，
[]
0,1．【解析】
()()201
f f f ==⎡⎤⎣⎦，
()1
212111211012
f x x x x -⇔-⇔--⇔≥≤≤≤≤≤． 3．A ．【解析】解法一：
()2
2
0,
2x f x x x x
⎧⇔⎨+⎩≤≥≥或2
0,10
2x x x x
>⎧⇔-⎨
-+⎩
≤≤≥或01x <≤，即11x -≤≤． 解
法
二
：
()2,0,2
2,0x x f x x x x +⎧==-+⎨-+>⎩
≤，
()2
222202f x x x x x x ∴⇔-+⇔+-⇔-≥≥≤≤
1111x x x ⇔⇔-≤≤≤≤．
解法三：在直角坐标系中，画出函数()y f x =和2
y x =的
图象，不等式()2
f x x ≥的解集就是函数()y f x =的图象落
在函数2
y x =图象上方所有点的横坐标形成的集合，
容易看出为[]1,1x ∈-．
4．A ．【解析】在同一直角坐标系中，作出四个函数
()12
x
f x =，
()122x f x ⎛⎫
= ⎪ ⎪
⎝⎭
，()1
2
log g x x =，()2
12
log g x x =的图象，a 就是
函数()1
f x ，()2
g x 图象交点横坐标；
b
就是函数()()2
2
,f x g x 图象交点横坐标；
c 就是函数()2
f x ，()
1g x 图象交点横坐标，从图上容易看出a b c <<．
5．【解析】方法一：画出()2
f x x =与()lo
g a
g x x =，
不等式2
log a x
x
<在10,2x ⎛⎫
∈ ⎪⎝
⎭范围内恒成立， ∴
不可能1a >，从而01a <<．
在10,2⎛⎫
⎪⎝
⎭上()2
f x x =为增函数，()lo
g a
g x x =减函数， 故必有1122g f ⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
≥，（注意到为什么可取等号？） 即
1
4
11
log log 24
a a a =≥，得
1
411
216a a ⇒≤≤．又01a <<，所以1
116a <≤．
方法二：由方法一知，01a <<．于是()2
log a h x x x
=-在10,
2⎛⎫ ⎪⎝
⎭
上为增函数，后略． 自主探究
1．【解析】不等式()0f x >解的集合就是函数()y f x =，x D ∈图象落在x 轴上方点的横坐标的集合；不等式()0
f x <
解的集合就是函数()y f x =，x D ∈图象落在x 轴下方点的横坐标的集合．
如果我们能够准确知道函数()y f x =，x D ∈图象与x 轴的相交情况，那么不等式()0f x >或()0f x <的解集也就能够直观地获得．
如右图，我们可以得到：()1
0f x x x >⇔<或2
3
x
x x <<．
)
2．【解析】不等式()()f x g x >解的集合就是函数()f x 图象落在函数()g x 图象上方点的横坐标的集合．我们也可以令()()()F x f x g x =-，则不等式()()f x g x >解的集合就是函数()F x 的图象落在x 轴上方点的横坐标的集合．
如上图，我们可以得到：不等式()()f x g x >解为1
x x <或
23
x x x <<．
3．【解析】
对于0a <情况，我们可以在二次不等式2
ax bx c ++>两边
同时乘以1-即可将目标不等式转化为上述三种情
形．
4．【解析】（1）二次不等式2
ax bx c ++<在R 上恒成立，
意味着二次函数()2
f x ax
bx c
=++图象恒在x 轴下方，所以
系数应满足2
0,40.
a b ac <⎧⎨
∆=-<⎩
（2）令()2
f x ax
bx c
=++，二次不等式2
ax
bx c ++>解集为(),m n 意味着当且仅当(),x m n ∈时，函数()2
f x ax
bx c
=++图象落在
x
轴上方，所以问题等价于：0a <
且m ，n 是二次函数()2
f x ax bx c
=++两个不同的零点，故
有
a <，2
40
b
ac ∆=->，b m n a +=-，c
mn a
=． 说明：不可忽视0a <，2
40
b a
c ∆=->这两个条件．
5．【解析】不正确．可以从右侧推出左侧，但从
左侧不能推出右侧．
()()
f x
g x >恒成立()()0f x g x ⇔->恒成立()()min
f x
g x ⇔->⎡⎤⎣⎦
恒成立
说明：()()min
f x
g x -⎡⎤⎣⎦并不是()
()min
max
f x
g x -，而是函数()()
y f x g x =-的最小值．
【解析】（1）存在x ∈R ，使得()()f x g x λ>+，意味着函数()f x 图象上至少存在一点在函数()g x λ+图象上方，这样理解我们得不出关于λ的取值结论．令
()()()
F x f x g x =-，则问题可转化为：存在x ∈R ，使得()F x λ>，
这等价于()
nax
F x λ
>，即T λ<．
（2）存在1
2
,x x ∈R ，使得()()1
2
f x
g x λ>+，意味着函数()f x 的
值域中至少有一个函数值大于函数()g x λ+某一个函数值，这等价于函数()f x 图象的最高点不能低于函数
()g x λ
+图象的最底点，所以问题等价于
()()max min
f x
g x λ>+⎡⎤⎣⎦．
能力闯关
1．（1）[)(]1,24,5∪；（2）2549
916a <≤． 【解析】
（1）作出函数()2
6f x x x
=-的图象作出水平线2
6y a
x
=-，
观察可得()()
2
261f a a f <-≤，
取2
865
a
a -<-≤-，解得[)(]1,24,5a ∈∪．
a
a
（2）显然0x ≠，于是2
x >．
不等()
2
2
21x ax
-<两边同除以2
x 得
2
12a x ⎛⎫>- ⎪
⎝⎭
．令1t x
=，不等式可化为()2
2a t >-．
作出函数()()2
2f t t =-的图象，作出水平线y a =．
分析可知当1t =，12，1
3
满足()2
2a t >-时， 2
12a x ⎛⎫
>- ⎪
⎝⎭
的解集中的整数恰有3个．于是1134f a f ⎛⎫⎛⎫
< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
≤，即
2
2
112234a ⎛⎫⎛⎫
-<- ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
≤．
2．【解析】（1）将左边视为a 的函数，则()()2
220
x a x -+->对任意[]1,1a ∈-恒成立，
令()()()2
22f a x a x =-+-，()f a 的图象即为直线．
()0
f a >恒成立(
)()10
10
f f ⎧->⎪⇔⎨
>⎪⎩
，解得1x <功3x >． （2()2
20
a >在1,16x ⎡⎫
∈+∞⎪⎢⎣⎭
上恒成立，
令(
)()
2
2g x a =
，1,16
x ⎡⎫
∈+∞⎪⎢⎣⎭
，显然函数()g x 单调递增， ()2
min 11
4164
g x g a ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，
于是问题又等价于
()2min 11
140164
4g x g a a ⎛⎫==->⇔<
⎪⎝⎭，又
0,1
a a >≠，
所以实数a 的取值范围是10,4⎛⎫
⎪⎝
⎭． 3．【解析】（1）设函数()y f x =的图象上任意一点()
0,
Q x y 关于原点的对称点为(),P x y ，则2
00,2
0,2
x x y y +⎧=⎪⎪⎨
+⎪=⎪⎩即00
,,
x
x y
y =-⎧⎨
=-⎩
因为
点()
0,
Q x y 在函数()y f x =的图象上，
所以()
()
2
2y x x -=-+-，即2
2y x
x
=-+，故()2
2g x x
x
=-+．
（2）由()()1g x f x x --≥，可得2
21
x
x -≤，
构造()2
2k x x =，()1r x x =-，画出函数()y k x =，()y r x =的图象，
观察图象，得不等式()()1g x f x x --≥解集为11,2⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
． 拓展迁移
1．（1）B ；（2）C ．
【解析】（1）由()()2
2
21x x x ---≤得312
x -≤≤
()2
232,1,23, 1.2
x x f x x x x x ⎧--⎪⎪∴=⎨
⎪-><-⎪⎩≤≤或其图象如右．
作直线y c =，它与()f x 的交点个数一()y f x c =-零点个数一致．
观察可知，(]3,21,4c ⎛⎫
∈-∞--- ⎪⎝
⎭∪ （2）分别画出函数()1
4
3log x F x =+，()2
log G x x =的图象，容
易知道
()2
121
44
log ,04,min 3log ,log 3log ,
4.
x x x x f x x x <⎧⎧⎫⎪=+=⎨⎬⎨+>⎩⎭⎪⎩≤
从图上容易得到()204f x x <⇔<<或4x >，故应选C ． 2．【解析】原问题等价于2
2
23
a x a
x +--≤≤对于[]1,1x ∈-恒
成立， 即
2
223,2
a x a a x x ⎧+⎪⎨--++⎪⎩≤≥对于[]1,1x ∈-恒成立．
令()3g x x =+，2
3a x +≥对于[]1,1x ∈-恒成立，则()
2
min a
g x ≤，
而()min
2g
x =，故22,
a x ≤
令()2
2
h x x
x =-++，2
22
a
a x x --++≥对于[]1,1x ∈-恒成立，则
()
2max a h x ≥．
而
()2
199244h x x ⎛
⎫=--+
⎪⎝
⎭≤
，故2
9
4
a
a -≥
，解得a 或a ，
所以实数
a 的取值范围是⎡⎢⎣
⎦
．
挑战极限
1．【解析】（1）直接解这个高次分式不等式会比较困难，若能注意到
()3
3
8
102251111x x x x ⎛⎫⎛⎫
+=+ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭+，则不等式可化为
3
3
225511x x
x x ⎛⎫⎛⎫+>+ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭
，
于是，我们构造函数()3
5f x x
x
=+，容易证明该函数在R
上是单调增函数，则原不等工可化为：
()21f f x x ⎛⎫> ⎪+⎝⎭
，即等价于21
x x >+，解之得12x -<<或2x <-． （2）观察结构发现()11n n =+-，
所以要证不等式()ln 1ln 1n n +<+成立，只需要证明
()()1ln 1ln n n n n +-+>-成立即可．
构造函数()ln f x x x =-，因为函数()ln f x x x =-在[)1,+∞上是增函数．
而11n n +>≥，所以()()1f n f n +>，即()()1ln 1ln n n n n +-+>-， 所以()ln 1ln 1n n +<+成立．。